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新人教版八年级上册期末总复习,第11章 三角形第十二章 全等三角形地十三章 轴对称地十四章 整式的乘法与因式分解第十五章 分式,第11章三角形中的边角关系,【第1篇】读爱丽莎的眼睛有感 今年寒假，我读了一本书，名叫爱丽莎的眼睛。这本书是橡树上的逃亡的大结局。跟橡树上的逃亡一样是法国作家蒂莫泰德丰拜勒所著。托比在光人生活的草原上获得了新生，但他心里难以抹去失去亲人的伤痛。直到大树上的作家波尔科楠流落到了草原。他告诉托比，托比的父母并没有死，而爱丽莎即将被迫成为新一代暴君莱奥布吕的妻子。他要拯救父母，要拯救爱丽莎。托比和两个光人伙伴冒险回到了大树。幼年逃亡曾经救过托比的尼尔再一次给了他最有力的帮助。托比只身冒险，深入乔密西的树洞工厂，救出了所有被奴役的光人。而爱丽莎也乔装逃出了莱奥布吕囚禁她的树梢鸟巢，回到了巴斯巴翰希。寻找爱丽莎的托比和莱奥在巴斯布翰希的冰湖上展开款生死决斗。幸好被爱丽莎阻止了，因为爱丽莎已经从母亲所讲的故事中得知莱奥就是她同父异母的哥哥。而杀死他们父亲的人就是乔密西。于是，托比和爱丽莎一起到了树梢鸟巢，救出了托比的父母，杀死了作恶多端的乔密西和老虎。托比了解了自己的身世之谜，大树也重获新生！是什么使托比取得了胜利？没错，正是他和平民主的信念。他不会唯我独尊，不,1三角形的概念,三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.,不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形,1三角形的概念,不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形,注意：1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；2:三角形是一个封闭的图形；3:ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义,2三角形的三边关系,注意：1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是:两边之差第三边两边之和,三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边.,3三角形的高、中线、角平分线、,注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。三角形三条高所在直线交于一点,(1)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,表示法：AD是ABC的BC上的高线.ADBC于D.ADB=ADC=90.,注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形,(2)三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段,表示法：AD是ABC的BC上的中线.BD=DC=BC.,3三角形的高、中线、角平分线、,4三角形的分类：,1：按边分类,2：按角分类,5 对“定义”的理解：,能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。,注意：明确界定某个对象有两种形式：揭示对象的特征性质；例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 明确对象的范围。例如：整数和分数统称为有理数,考点一：数三角形的个数,例1 图中三角形的个数是（）A8 B9 C10 D11,B,考点二：三角形三边关系,例2：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是()A1，2，3 B2，5，8 C3，4，5 D4，5，10,例3：下列各组条件中，不能组成三角形的是()A.a+1、a+2、a+3(a3)B.3cm、8cm、10 cm C.三条线段之比为1:2:3 D.3a、5a、2a+1(a1),C,C,考点二：三角形三边关系,例3ABC的三边长分别为4、9、x,求x的取值范围；求ABC周长的取值范围；当x为偶数时，求x；当ABC的周长为偶数时，求x；若ABC为等腰三角形，求x,考点三：三角形的三线,例4：下列说法错误的是（）A:三角形的三条中线都在三角形内。B:直角三角形的高线只有一条。C:三角形的三条角平分线都在三角形内。D:钝角三角形内只有一条高线。,例5：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中 线，高和这边所对角的角平分线，最短的是（）A:中线。B:高线。C:角平分线。D:不能确定。,B,B,6三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180,(2)从剪拼可以看出：A+B+C=180,（1）从折叠可以看出：A+B+C=180,(3)由推理证明可知：A+B+C=180,证明三角形内角和定理的方法,添加辅助线思路：1、构造平角,2,1,E,D,1,2,E,D,F,1,2,添加辅助线思路:2、构造同旁内角,（,E,D,F,（,（,1,2,3,4,（,7三角形的外角,三角形的外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.,三角形的外角与内角的关系：,2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；,1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补；,3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。,4:三角形的外角和为360。,考点四：三角形内角和定理：,解：设B=x，则A=3x，C=4x，从而:x+3x+4x=180，解得x=22.5 即：B=22.5，A=67.5，C=90,例3 ABC中，B=A=C，求 ABC的三个内角度数.,例4 如图，点O是ABC内一点，A=80，1=15，2=40，则BOC等于（）A.95 B.120 C.135 D.650,分析与解：O=180-（OBC+OCB）=180-（180-（1+2+A）=1+2+A=135,考点四：三角形内角和定理：,巩固练习,1.在ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足abc,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个？,变式：1.已知小明家距离学校10千米,而小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到学校的距离是d千米,则d满足？,2.如图，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于点D，求ABD的度数。,答案ABD=30,变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3米和7米，问这个等腰三角形的周长是多少？,2.如图，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于点D，求ABD的度数。,答案ABD=30,变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3米和7米，问这个等腰三角形的周长是多少？,3.如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由.,4.如图，ACBD，AE平分BAC交BD于点E，若1=64，则2=.,5.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）,A6 B7 C8 D9,6.已知：如图，ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P求证：P=90,8.如图1，求证：BOC=A+B+C,如图2，ABC=100，DEF=130，求A+C+D+F的度数,7.求证：三角形内角之和等于180,10.已知如图所示,在ABC中,DE/BC,F是AB上的一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,求证EGHADE.,9.如图，已知，直线ABCD，证明：A+C=AEC.,例2、如图，已知AD是ABD和ACD的公共边.,证法：延长ADBDE=B+3 CDEC+4（三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两内角之和）BDC=BDE+CDE B+C+3+4.又 BAC 3+4,BDC B+C+BAC,E,证明：BDC=BAC+B+C,附加：证明：等腰三角形两底角的平分线相等。已知：如图，在ABC中AB=AC，BD，CE是ABC的角平分线。求证：BD=CE.,第十二章 全等三角形,一.全等三角形：,1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性质？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,知识回顾：,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,回顾知识点：,边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”),方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2)已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角(AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3)已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法：QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法：QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线：1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；,（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”,练习1：如图，AB=AD,CB=CD.求证:AC 平分BAD,2、如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,B=C,试问AD=AE吗？为什么？,解：AD=AE,3、如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OCAO平分BAC吗？为什么？,答：AO平分BAC,4、如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DCAB,练习5：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？,AB=ED,AC=EF,BC=DF,DC=BF,7：已知 AC=DB,1=2.求证:A=D,8、如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。,ABFDEC,CBFFEC,ABCDEF,答：,9、如图，已知E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,10、已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？,分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此ADBC。C符合题意。,说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角。,例题精析：,连接例题,例2如图2，AECF，ADBC，ADCB，求证：ADFCBE,分析：已知ABC A1B1C1，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.,例3已知：如图3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高.求证：AD=A1D1,图3,例4：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。,分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出已知求证后，再写出证明过程。,说明：文字证明题的书写格式要标准。,如图：将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知1+2=100，则A=度；,50,例5、如图6，已知：A90，AB=BD，EDBC于 D.求证：AEED,提示：找两个全等三角形，需连结BE.,图6,例6、如图：AB=AC，BD=CD，若B=28则C=；,5、如图5，已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F.,提示：由条件易证ABCCDA 从而得知BACDCA，即：ABCD.,第十三章 轴对称,小结与复习,把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点_.,一.轴对称图形,1、轴对称图形：,2、轴对称：,3、轴对称图形和轴对称的区别与联系,轴对称图形,轴对称,区别,联系,图形,(1)轴对称图形是指()具 有特殊形状的图形,只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条,(1)轴对称是指()图形 的位置关系,必须涉及()图形;(2)只有()对称轴.,如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称.,如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.,一个,一个,不一定,两个,两个,一条,知识回顾：,4、轴对称的性质：,关于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。,解:,3.,1、什么叫线段垂直平分线？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。,2、线段垂直平分线有什么性质？,线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等（纯粹性）。,你能画图说明吗？,二.线段的垂直平分线,3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）,4.线段垂直平分线的集合定义：,线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。,三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.,点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为_.,(x,y),(x,y),1、完成下表.,(-2,-3),(2,3),(-1,-2),(1,2),(6,-5),(-6,5),(0,-1.6),(0,1.6),(-4,0),(4,0),2、已知点P(2a+b,-3a)与点P(8,b+2).若点p与点p关于x轴对称，则a=_ b=_.若点p与点p关于y轴对称，则a=_ b=_.,练 习,2,4,6,-20,(抢答),思考：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点,你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?,15,点（x,y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x,y）,类似:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则;,归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线x=m对称，则;,y1=y2,x1=x2,X2=2m-x1,y2=2n-y1,(m=),(n=),4.利用轴对称变换作图：,如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？,A,B,L,P,三.（等腰三角形)知识点回顾,1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）,四.（等边三角形)知识点回顾,1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。,1、如图，在ABC中，AB=AC时，(1)ADBC _=_;_=_(2)AD是中线_;_=_(3)AD是角平分线_ _;_=_,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,练习：,例 1：如图 1，AD 是ABC 的角平分线，BEAD 交 AD 的延长线于 E，EFAC 交 AB 于 F，求证：AFFB.,图 1,BEAE，BEFFEA90，ABEBAD90.ABEFEB，BFEF，AFFB.,证明：AE 平分BAC，BADCAD，EFAC，CADAEF.BADAEF，AFEF.,求证：BC AB.,例 2：试证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，,那么它所对的直角边等于斜边的一半,已知：在ABC 中，C90，A30.如图 2.,图 2,12,证明：如图 3，作出ABC 关于 AC 对称的ABC.则 ABAB.CAB30，BBBAB60.ABBBAB.,图 3,又ACBB，,1如图 4，AD 是ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC 是等腰三角形的是_(把所有正,确答案的序号都填写在横线上)BADACD；BADCAD；ABBDACCD；ABBDACCD.,图 4,2某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它的,周长为(,),C,A9 cmB12 cmC15 cmD12 cm 或 15 cm,3等腰三角形的一个角为 30，则底角为_,30或 75,DBCEAC A.,4已知：如图 5，ABAC，BDAC.,12,图 5,方法二：BDAC，DBC90C.ABAC，ABCC.,求证：,DBC,1,2,A,.,证明：方法一：作A 的平分线 AE 交 BC 于 E，ABAC，AEBC.CEAC90.BDAC，CDBC90.,5如图 6，在ABC 中，ABAC，在 AB 上取一点 E，在AC 延长线上取一点 F，使 BECF，EF 交 BC 于 G，EMCF.求证：EGFG.,图 6,BEMB，EBEM.又BECF，EMFC.,MEGCFG(AAS)EGFG.,证明：EMFC，EMBACB，MEGF.又ABAC，BACB.,6等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，求等腰三角形底角的度数,当等腰三角形为钝角三角形时，如图 7(2)，BACB，ACD40，BAC9040130.,BACB,1801302,25.,底角度数为 65或 25.,7如图 8，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图空白方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形,图 8,解：如图9.,图 9,8如图 10，已知四边形 ABCD，你能画出它关于 y 轴对称,的图形吗？它的对应顶点的坐标是怎样变化的？,图 10,解：能；如图 11，四边形 ABCD的四个顶点的坐,标分别为 A(0,5)，B(2,0)，C(4,3)，D(2,2)，即对,应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等,图 11,第十四章 整式与因式分解复习,本章知识导引,整式,整式的概念,单项式多项式,系数次数项次数,整式的运算,整式乘法,互逆运算,整式除法,因式分解,概念方法,同类项合并同类项,整式加减,幂的运算单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式,提公因式法公式珐,互逆变形,知识要点:一、幂的4个运算性质,二、整式的乘、除,三、乘法公式,四、因式分解,幂的4个运算法则复习,考查知识点：（当m,n是正整数时）1、同底数幂的乘法：am an=am+n 2、同底数幂的除法：am an=am-n；a0=1(a0)3、幂的乘方:(am)n=amn 4、积的乘方:(ab)n=anbn,解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆,知识点一,例2 计算：(-2x2)3=_本题中积的乘方运算是通过改变运算顺序进行的，即将各个因式的积的乘方转化为各个因式的乘方的积，前者先求积后乘方，后者则先乘方再求积例3 计算：(-1)2009+0=零指数的考查常常与实数的运算结合在一起，是易错点,-8x6,0,2.若10 x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.,3.计算：0.251000（-2）2000,逆用幂的4个运算法则,注意点：,（1）指数：加减,乘除,转化,（2）指数：乘法,幂的乘方,转化,（3）底数：不同底数,同底数,转化,1.(x-3)x+2=1,x+2=0,x=-2,原式=102x103y10=(10 x)2(10y)310,0.5（-2）2000=,a0=1(a0),知识点2 整式的乘除法相关知识：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式常见题型有填空题、选择题和计算与化简求值等低中档题,例(1)计算：2x3(-3x)2=_(2)计算：6m3(-3m2)=_.单项式的乘除法中若有乘方、乘除法等混合运算，应按“先算乘方，再算乘除法”的顺序进行在进行单项式的乘除法运算时，可先确定结果(积或商)的符号，再按法则进行计算,18x5,-2m,乘法公式复习,计算：(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4)(x+4y-6z)(x-4y+6z)(x-2y+3z)2,平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2,三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,知识点三,(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2),=9x2-16-(6x2-4x+9x-6)=9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-5x-10,=(1-x2)(1+x2)(1+x4)=(1-x4)(1+x4)=1-x8,(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4),(x+4y-6z)(x-4y+6z),=x+(4y-6z)x-(4y-6z)=x2-(4y-6z)2=x2-(16y2-48yz+36z2)=x2-16y2+48yz-36z2,(x-2y+3z)2,=(x-2y)+3z2=(x-2y)2+6z(x-2y)+9z2=x2-4xy+4y2+6zx-12yz+9z2=x2+4y2+9z2-4xy+6zx-12yz,三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,运用乘法公式进行简便计算,计算:(1)98102(2)2992(3)20062-20052007,(1)98102=(100-2)(100+2)=1002-22=9996,(2)2992=(300-1)2=3002-23001+1=90401,(3)20062-20052007,=20062-(2006-1)(2006+1)=20062-(20062-12)=20062-20062+1=1,活用乘法公式求代数式的值,1、已知a+b=5，ab=-2，求（1）a2+b2（2）a-b,a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,2、已知a2-3a+1=0，求（1）（2）,3、已知 求x2-2x-3的值,1、因式分解意义：,因式分解问题归纳小结,和,积,2、因式分解方法：,一提,二套,三看,二项式：,套平方差,三项式：,套完全平方与十相乘法,看：,看是否分解完,3、因式分解应用：,提：,提公因式,提负号,套,知识点四,因式分解复习,1.从左到右变形是因式分解正确的是()A.x2-8=(x+3)(x-3)+1B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)D.,D,2.下列各式是完全平方式的有(),A,B.C.D.,D,因式分解复习,把下列各式分解因式：1.x 5-16x 2.4a 2+4ab-b 2,3.m 2(m-2)-4m(2-m)4.4a 2-16(a-2)2,（1）提公因式法（2）套用公式法,二项式:平方差,三项式:完全平方,1、多项式x2-4x+4、x2-4的公因式是_,2、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则m=_,5、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=_,3、已知x2-8x+m是完全平方式，则m=_,4、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_,x-2,4,16,4,4,-mx,8,6、如果(a2+b2)(a2+b2-1)=20,那么a2+b2=_,5,-4(不合题意),运用因式分解进行简便计算,1、计算(-2)2008+(-2)2009,2、计算：,3、计算:2005+20052-20062,4、计算:3992+399,找规律问题,观察:,请你用正整数n的等式表示你发现的规律.,正整数n,找规律问题,观察下列各组数,请用字母表示它们的规律,n是正整数,找规律问题,观察下列各组数,请用字母表示它们的规律,n是正整数,设(n为大于0的自然数).(1)探究an 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出a1，a2，a n，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an 为完全平方数(不必说明理由).,两个连续奇数的平方差是8的倍数,前4个完全平方数为16、64、144、256,n为一个完全平方数的2倍，an是一个完全平方数,第十五章 分式的复习,知识回顾,关键词：分式有意义的条件是：(),关键词：分式有意义的条件是:(),B,分母不等于0,分子为0，分母不为0,A,知识回顾,3.化简,并写出每一步变形的依据,解：原式,（平方差和完全平方公式）,（分式的基本性质）,关键词：分式的基本性质、约分、最简分式,知识回顾,1,【关键词】约分与通分，分式运算.,5.计算：（1）,（2）,典型例题,巩固练习：,A,3,典型例题,典型例题,试一试,=,想一想,分式方程,分式方程的定义,像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程.,解分式方程的一般步骤,1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.,解分式方程的思路是：,分式方程,整式方程,去分母,一化二解三检验,练一练,2.某工程队要修路am，原计划平均每天修bm，因天气原因，实际每天平均少修cm(cb)，实际完成工程将比原计划推迟 天。,x=-1,知识回顾,B,D,1.分式方程 的解是（）,x=2,知识回顾,-6,【关键词】解分式方程的一般步骤及增根的产生.,典型例题求解,解下列方程,(5),(6),1、如果整数、满足等式,，求与的值。,解：,解得：,列分式方程解应用题,常见题型及相等关系,1、行程问题：,基本量之间的关系：路程=速度 X 速度，即s=vt,常见的相等关系：,(1)、相遇问题：甲行程+乙行程=全路程,(2)、追及问题：(设甲的速度快),1)、同时不同地：甲用的时间=乙用的时间 甲的行程-乙的行程=甲乙原来相距的路程,2)、同地不同时：甲用的时间=乙用的时间-时间差 甲走的路程=乙走的路程,3)、水(空)航行问题：顺流速度=静水中航速+水速 逆流航速=静水中速度 水速,2、工程问题,基本量之间的关系：,工作量=工作效率 X 工作时间,常见等量关系：,甲的工作量+乙的工作量=合作工作量,注：工作问题常把总工程看作是单位1，水池注水问题也属于工程问题,例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙两车的速度。,分析：本题把时间作为考虑的着眼点。设甲的速度为 x 千米/时 1)、相等关系：乙的时间=甲的时间,2)、乙用的时间=,3)、甲用的时间=,例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙两车的速度。,解：设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千米 根据题意，得,解之得，x1=16,x2=-2,都是原方程的根 但x=-2 不合题意，舍去,所以x=16时，x+4=20,答：甲车的速度为16千米/小时，乙车的速度为20千米/小时。,例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？,分析：设工作总量为1，工效 X 工时=工作量,设规定日期为 x 天，则甲乙单完成各需x天、(x+6)天，甲乙,的工效分别为,(1)、相等关系：甲乙合做4天的量+乙单独做(x-4)天的量=总量1,列出方程：,(2)、相等关系：甲 做工作量+乙做工作量=1,列出方程得：,例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？,解：设规定日期为x天，根据题意得,解得 x=12,经检验，x=12是原方程的解。答：规定日期是12天。,1、审题；2、设未知数；,列分式方程解应用题的一般步骤,3、找出能表示题目全部含意的相等关系，列出分式方程；,4、解分式方程；,5、验根：先检验是否有增根，再检查是否合符题意；,6、写出答案。,小结,本章回顾与总结,3,8:12:15,D,x1,1、如图：在ABC中，C=900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。,12,c,A,B,D,E,全等三角形机动练习：,2.如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。,答：,ABCDEF,证明：,3.如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF已知：EGAF 求证：,高,拓展题,4.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,5.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,6.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG 为等腰直角三角形。,7.已知：如图21，ADBAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,