光滑离散函数导数.ppt

光滑离散函数导数在过程评价中的应用,课件制作:华东师范大学附属东昌中学 费宗翔,资料来源:教育过程系统测评方法与实践,一、信息,对信息有不同的定义：“消息就是信息”，或“有用消息就是信息”等。华东师大信息科技教材定义为“信息指数据、消息中包含的意义”。本书定义：没有差异就没有世界，差异就是信息。,二、信息是有密度的,电子数字计算机中的信息，都以离散脉冲表示。教育教学评价中，也碰到大量离散数据。数据表达了某种实际意义，例如身高、体重、成绩、人数差异，因此是信息。,信息密度定义 定义：设 为信息密度尺度，简称为信息密度，记,映射,测度,则信息密度,二、信息是有密度的,将黑点看成一个个数据,信息密度低,信息密度高,二、信息是有密度的,有离散序列,若取其中：,n个数,则信息密度,故当离散序列中的数据全部用上时，信息密度最大。,5个数,2个数,连续函数有导数、微分和微分方程。近20年来，离散函数在导数、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了实用数学模型的精度（有的高达99%以上）。,三、离散数据的导数,1连续函数的导数,一元函数y=x(t)的导数一般形式定义为,定义：当函数在一点的左极限等于右极限并等于该点的函数值时，函数在该点连续。,这是函数 的图像，该函数在点p处连续可导。,p,2光滑离散函数的导数,当k足够大时，k时刻的函数值x(k)小于k时刻以前所有（离散）函数值之和，即,时，称x(k)为光滑离散函数。,定义：光滑离散函数的导数定义为,3比较光滑离散函数和连续函数的导数,光滑离散函数的导数为,一元函数y=x(t)的导数为,离散函数信息密度足够大时：t=1,由光滑离散函数导数的定义知，导数是x(k)和x(k-1)的二元组合，并称之为导数偶对，记为（x(k)，x(k-1)）。光滑离散函数的导数，是偶对导数的映射,4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,k不同，偶对就不同，导数dx/dt也不同。事实上，每一个dx/dt都是在一定的背景值(k)下得到的，故称(k)为k时刻导数dx/dt的背景值。,4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,连续函数导数是在t 0条件下定义的。当t足够小时，导数偶对x(t)和x(t-t)几乎重合。,背景值(t)到偶对x(t)和x(t-1)具有平射性。,t 0时(t)=x(t)=x(t-1),连续函数,光滑离散函数的导数，尽管时间间隔t 足够小，甚至也可以写成t 0，但是时区测度mx(k)，x(k-1)=1的性质却始终没变，对应的背景值(k)，应该取x(k)和x(k-1)中的哪一个，也始终存在，并成了问题的关键。,4光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性,定理：当以偶对（x(t)，x(t-1)）的均值生成z1(k)为背景值(k)时，(k)到偶对（x(t)，x(t-1)）具有平射性。,三、过程评价中的应用,过程评价：根据学生在学习过程中记录下的一系列数据，对学生的学习效果和成绩给予评定。即，根据已知数据，推测出整体发展情况和最终结果。,例如：下图中，红点表示某一学生在学习过程中的一些已记录数据。,数据较少，信息密度较低，构不成光滑离散函数，较难推测出学生的学习情况。,数据多，信息密度高，构成光滑离散函数，能比较准确的掌握学生的学习情况。,三、过程评价中的应用,我们知道，连续函数的导数的几何意义是在函数图像上某点的斜率(k)。,k0,是减函数，f(x+x)f(x)，学生成绩处于下降阶段；,k0,是增函数，f(x+x)f(x)，学生成绩处于上升阶段；,k0时，若k值不断增加，学生成绩突飞猛进。,k0时，若k值不断减小，成绩迅速下滑。,三、过程评价中的应用,在光滑离散函数中，如何选取一点测斜率呢？,根据前面介绍的平射行原理，选取偶对（x(t)，x(t-1)）的均值生成z1(k)为背景值(k)，并从该点测斜率，可得出准确的发展情况。,谢谢！,