傅里叶信息光学Chap.ppt
1-7 傅里叶变换 Fourier Transform一、定义,函数g(x)在(-,+)上满足狄氏条件(绝对可积,有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数,由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:,g(x):原函数,G(f):像函数或频谱函数,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform一、定义,x 和 f 称为一对共轭变量,g(x)和G(f)称为傅里叶变换对,描述了各频率分量的相对幅值和相移.,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform二、广义 F.T.,对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.,例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积,某个可变换函数组成的系列不符合狄氏条件的函数,其变换式的极限原来函数的广义F.T.,可定义:g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t,则 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform共轭函数的 F.T.,若g(x)G(f),g*(x)?,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform四、F.T.定理-F.T.的基本性质,1.线性定理 Linearity,2.空间缩放 Scaling,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform空间缩放,注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform四、F.T.定理 3.平移定理 Shifting,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform四、F.T.定理 4.帕色伐(Parsval)定理,|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),Parsval定理说明,信号的能量由其频谱曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform四、F.T.定理 5.卷积定理,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform利用卷积定理的例子,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform练习:P43,1.25(1),1-7 傅里叶变换 Fourier Transform练习:P43,1.25(1)画图说明,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform四、F.T.定理 6.自相关定理,自相关与功率谱的关系:,证明提示:利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.,反过来有:,7.F.T.积分定理,在函数 g 的各连续点上,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform例:P43,1.28(1)利用相似性求傅里叶逆变换:,画图,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform五、可分离变量函数的变换,按二维F.T.的定义:,注意:不可与两个函数乘积的F.T.相混淆!,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform六、傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.,g仅是半径r的函数:g(r,q)=gR(r).依F.T.定义:,极坐标变换,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform六、傅里叶-贝塞尔变换,利用贝塞尔恒等式:,则在极坐标中:,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform六、傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.,作变量替换,令r=2prr,并利用:,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform傅里叶变换的计算方法,1.用定义直接计算:rect(x),circ(r),.2.用广义傅里叶变换的定义计算并求极限:1.3.用傅里叶变换的性质间接导出:,F.T.的积分定理 F.T.的卷积定理,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform常用傅里叶变换对,1-7 傅里叶变换 Fourier Transform常用傅里叶变换对,练习,P43:1.25(2)(3)1.30(1),
