傅里叶(Fourier)级数.ppt

,一、问题的提出,二、三角级数 三角函数系的正交性,三、函数展开成傅里叶级数,第七节 傅里叶(Fourier)级数,四、正弦级数 余弦级数,本节研究由三角函数组成的级数 三角级数,在实际问题中，有很多周期运动，数学上用周期函数来描述和研究它们，其中正弦函数是一种最常用而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数,一、问题的提出,对于反映较复杂周期运动的非正弦周期函数，能否用较简单的周期函数（三角函数）组成的级数来表示和讨论呢？,可用以下不同频率正弦波逐个叠加：,类似于函数的幂级数展开，,例如矩形波,非正弦周期函数,用正弦函数组成的级数表示,一般地，函数可表示为,物理意义：把一个比较复杂的周期运动看作许多不同频率的简谐振动的叠加.,电工学上，这种展开称为谐波分析.,二、三角级数 三角函数系的正交性,1.三角级数,称为三角级数，,2.三角函数系的正交性,三角函数系,三、函数展开成傅里叶级数,问题:,1.若能展开,系数 是什么?,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,上式两边积分，,由正交性,两边同乘以 再积分，得,两边同乘以 再积分，得,f(x)的傅里叶系数,傅里叶级数,2.傅里叶级数的收敛性,问题:,若周期为 的函数 可积，则,(1)连续或只有有限个第一类间断点，,狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),则f(x)的傅里叶级数收敛,并且,如果它满足在一个周期内:,(2)至多只有有限个极值点,注,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且,(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);,(2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,例1,为周期的矩形脉冲的波形,将其展开为傅里叶级数.,以,和函数图象为,所求函数的傅氏展开式为,3.非周期函数的傅里叶展开,作法:,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,延拓的周期函数的傅氏级数展开式在,收敛于,例2,展开为傅里叶级数.,将函数,所求函数的傅氏展开式为,*4.可以利用傅氏展开式求数项级数的和,进一步，若记,四、正弦级数 余弦级数,只含有正弦项,的傅里叶级数，称为正弦级数,(或只含有常数项和余弦项),(或余弦级数).,正弦级数,余弦级数,傅氏级数,定理,展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为,（偶函数）,同理可证(2).,偶函数,定理证毕.,奇函数,证明,因此,称为正弦级数.,称为余弦级数.,解,所给函数满足,例4,成傅氏级数.,狄利克雷充分条件.,和函数图象,观察两函数图形,解,所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.,例5,展开成傅氏级数,其中,是正常数.,将周期函数,对于非周期函数，实施奇（偶）延拓后就可以展开成正弦级数或余弦级数.,则有如下两种情况,奇延拓:,偶延拓:,解,(1)求正弦级数.,将函数,分别展开成正弦级数和余弦级数.,例6,(2)求余弦级数.,1.傅里叶级数；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分条件；,4.非周期函数的傅氏展开式；,傅氏级数的意义整体逼近,小 结,5.奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小结,傅氏级数的意义整体逼近,小 结,傅氏级数的意义整体逼近,思考题,思考题解答,2.函数,是周期函数在一个周期上的表达式，在,x=0处其傅里叶级数收敛于？,答：,因x=0是函数的间断点，故收敛于,作业,习题11-7 p.250,1.(3);2.(2);3;,6.,练 习 题,练习题答案,