傅立叶基础知识.ppt

2023年9月21日,自动化学院408教研室,第七章 傅立叶变换 7.1傅立叶变换的基础知识7.2傅立叶变换概念与性质7.3傅立叶变换应用,2023年9月21日,自动化学院408教研室,本章要点,傅立叶变换的概念傅立叶变换的性质傅立叶变换的应用,2023年9月21日,自动化学院408教研室,7.1 傅立叶变换的基础知识,傅立叶变换的历史傅立叶变换学习线索信号的基本概念函数正交概念傅立叶级数傅立叶积分,2023年9月21日,自动化学院408教研室,傅立叶变换历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,7.1.2 傅立叶变换的学习线索,该部分的特点：课时不多，概念复杂，非常有用。重视基本概念数学基础与应用背景相结合 高等数学、复变函数。信号（声、光、电、热、振动）分析与处理，图象处理。演示,2023年9月21日,自动化学院408教研室,学习线索,基本概念,傅立叶级数,三角形式,复指数形式,傅立叶积分,傅立叶变换,性质,应用,正交函数,两种,条件,狄里克利条件,积分定理,积分定理,信号处理,周期信号,非周期信号,连续,离散,频谱分析,2023年9月21日,自动化学院408教研室,傅立叶分析的几个情况,离散周期信号的傅里叶分析离散非周期信号的傅里叶分析连续周期信号的傅里叶分析连续非周期信号的傅里叶分析,2023年9月21日,自动化学院408教研室,傅立叶变换的类型,离散傅立叶变换连续傅立叶变换快速傅立叶变换二维傅立叶变换,2023年9月21日,自动化学院408教研室,1、信号,7.1.3 信号的基本概念,信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个独立变量的函数。例如，在电子信息系统中，常用的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数；又如在图像处理系统中，描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x,y)的函数，等等。如果信号是单个独立变量的函数，称这种信号为一维信号。一般情况下，信号为n个独立变量的函数时，就称为n维信号。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2 系统 由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生态系统等。系统可以看作是变换器、处理器。电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电路图，由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,3 信号与系统,2023年9月21日,自动化学院408教研室,为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图所示。如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,信号理论,信号分析：研究信号的基本性能，如信号的 描述、性质等。信号传输：通信的目的是为了实现消息的传输。原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输击鼓鸣金；GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景；光纤通信带来了更加宽广的带宽；信号的传输离不开信号的交换。信号处理：对信号进行某种加工或变换。目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,4、信号的分类 确定信号与随机信号 任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,连续信号与离散信号 一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。这里“连续”一词是指在定义域内（除有限个间断点外）信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2023年9月21日,自动化学院408教研室,数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。,模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号.,抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号。,量化,抽样,2023年9月21日,自动化学院408教研室,周期信号与非周期信号 周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为 f(t)=f(t+nT),n=1,2,3,-t f=f(k+nN),n=1,2,3,-k,(k取整数),2023年9月21日,自动化学院408教研室,瞬态信号：除准周期信号外的一切可以用时间函数描述的非周期信号。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,下列波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？,连续信号,离散信号,离散信号数字信号,2023年9月21日,自动化学院408教研室,l 指数衰减,l 指数增长,l 直流(常数),6 常用的连续时间信号1)指数信号,2023年9月21日,自动化学院408教研室,重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。,单边指数信号,通常把 称为指数信号的时间常数，代表信号衰减速度，具有时间的量纲。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,衰减正弦信号：,2、正弦信号,2023年9月21日,自动化学院408教研室,讨论,3复指数信号,2023年9月21日,自动化学院408教研室,4抽样信号(Sampling Signal),2023年9月21日,自动化学院408教研室,在随机信号分析中占有重要地位。,5钟形脉冲函数(高斯函数),2023年9月21日,自动化学院408教研室,7.1.3 正交函数概念,正交矢量正交函数,2023年9月21日,自动化学院408教研室,一、正交矢量,矢量：V1 和 V2 参加如下运算，是它们的差，如下式：,2023年9月21日,自动化学院408教研室,表示 和 互相接近的程度,当，完全重合，则随夹角增大，减小；当，和 相互垂直。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,二维正交集 三维正交集,2023年9月21日,自动化学院408教研室,二、正交函数,令 则误差能量 最小。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,解得,2023年9月21日,自动化学院408教研室,三、正交条件,若，则 不包含 的分量，则称 和 正交。正交的条件：,2023年9月21日,自动化学院408教研室,例：,试用sint 在区间（0，2）来近似,1,t,0,-,1,2023年9月21日,自动化学院408教研室,解：,所以：,2023年9月21日,自动化学院408教研室,例：试用正弦sint 在（0，2）区间内来表示余弦cost。显然,所以,说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,四、正交函数集,n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足正交特性，即,则此函数集称为正交函数集,2023年9月21日,自动化学院408教研室,任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似,由最小均方误差准则，要求系数 满足,2023年9月21日,自动化学院408教研室,在最佳逼近时的误差能量,2023年9月21日,自动化学院408教研室,五、复变函数的正交特性,两复变函数正交的条件是：,2023年9月21日,自动化学院408教研室,六、典型的正交函数集,三角函数集 复指数函数集,所以：可以用三角函数集表示一个函数；也可以用复指数函数集表示一个函数。,2023年9月21日,自动化学院408教研室,三角函数是正交函数,2023年9月21日,自动化学院408教研室,周期为2的函数（信号）傅立叶级数三角形式、复指数形式。非周期函数（信号）的傅立叶级数,7.1.4 傅立叶级数,2023年9月21日,自动化学院408教研室,7.1.4.1 信号（函数）的傅立叶级数,一、三角形式的傅立叶级数 1.任意信号的三角形式傅立叶级数展开,是区间,上的一个完备正交函数集，周期,2）满足一定条件的任一函数,在区间,描述为：,1）,都可以,2023年9月21日,自动化学院408教研室,其中：,ii),iii),i),2023年9月21日,自动化学院408教研室,3）对于周期函数,，由于,只要积分区间大小为T1），故在,4）存在的充分非必要条件：狄利克雷条件,一周期内,绝对可积，即,积分值与积分区间无关,（,均可以展成傅立叶级数。,一周期内,间断点有限个；,极值有限个；,2023年9月21日,自动化学院408教研室,5）其它三角形式,ii),iii),iv),，,i),2023年9月21日,自动化学院408教研室,定理,代入傅立叶级数中,2、周期为信号傅立叶级数,2023年9月21日,自动化学院408教研室,则有,2023年9月21日,自动化学院408教研室,则有,2023年9月21日,自动化学院408教研室,解,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2023年9月21日,自动化学院408教研室,解,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2023年9月21日,自动化学院408教研室,另一种解法:,解,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2023年9月21日,自动化学院408教研室,二、以 为周期的函数的傅里叶级数复指数形式,2023年9月21日,自动化学院408教研室,欧拉(Euler)公式,2023年9月21日,自动化学院408教研室,由泰勒级数展开,同样若 展开，可得到,欧拉公式与三角函数的关系,2023年9月21日,自动化学院408教研室,三角函数可表示为,2023年9月21日,自动化学院408教研室,代入欧拉公式,2023年9月21日,自动化学院408教研室,即为傅里叶系数的复数形式,即得傅立叶级数的复数形式,2023年9月21日,自动化学院408教研室,解,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2023年9月21日,自动化学院408教研室,原来的周期信号,二项近似,四项近似,一百项近似,信号的近似,圖 14.2,2023年9月21日,自动化学院408教研室,常用波形的傅立叶级数,表 14.2,2023年9月21日,自动化学院408教研室,表 14.2,2023年9月21日,自动化学院408教研室,小结,2.联系应用背景；,1.重视基本概念;,2023年9月21日,自动化学院408教研室,4.求傅立叶级数展开式的步骤;,(1).画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);,(2).求出傅氏系数;,3.以2L为周期的周期函数的傅立叶系数,傅立叶级数,相应奇函数,偶函数的F-系数和级数;,(3).写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,2023年9月21日,自动化学院408教研室,5.(1)傅里叶级数的复数形式,注:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的复数形式较简洁且只用一个算式计算系数,(2)傅里叶系数的复数形式,2023年9月21日,自动化学院408教研室,1任意信号的指数傅立叶级数展开,为区间,上的完备正交函数集，周期,任意,其中，,2023年9月21日,自动化学院408教研室,2周期函数,积分值,与,无关（只要积分区间大小为）,故在,有,其中,2023年9月21日,自动化学院408教研室,3,与,=,的关系,=,i),=,=,，,=,ii),，,iii),