保险精算人寿保险趸缴纯保费.ppt
第三章人寿保险趸缴纯保费,知识回顾,常见概念中英文单词对照(1),趸缴纯保费精算现值死亡即刻赔付保险死亡年末给付保险定额受益保险,Net single premiumActuarial present valueInsurances payable at the moment of death Insurances payable at the end of the year of deathLevel benefit insurance,常见概念中英文单词对照(2),定期人寿保险终身人寿保险两全保险生存保险延期保险变额受益保险,Term life insuranceWhole life insuranceEndowment insurancePure endowment insuranceDeferred insuranceVarying benefit insurance,第一节 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理,什么是人寿保险人寿保险，又称生命保险，是以人的生命为保险标的，以人的生死为保险事故，当发生保险事故时，保险人对被保险人履行给付保险金责任的一种保险。狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。广义的人寿保险包括以保障期内被保险人死亡为标的的死亡保险(狭义寿险)，也包括以保障期内被保险人生存为标的的生存保险、两全保险和年金保险。,人寿保险的分类,受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行即期保险延期保险,保障标的的不同人寿保险（狭义）生存保险两全保险 保障期是否有限 定期寿险 终身寿险,人寿保险的特点,保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。,人寿保险的保费,寿险保费是寿险产品的价格，是投保人转移风险所付出的代价，也是保险人进行经营活动的物质基础。投保人：通过缴纳保费投保，获得死亡、生存或养老等方面的保险保障保险人：通过获得保费，建立保险基金，一部分作为保险金的给付，另一部分作为保险人在经营管理上的必要开支寿险保费的构成总保费（营业保费）包括：纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用,保费的缴纳方式和影响因素,保费缴纳方式趸缴保费法：在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值自然保费法 均衡保费法计算保费考虑的因素死亡率：预定死亡率利率：预定利率费用率：预定费用率,纯保费厘定原理,基本原则保费净均衡原则用公式表示为：寿险趸缴纯保费未来保险金给付的精算现值 解释：保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。,趸缴纯保费厘定的假定条件,趸缴纯保费的假定条件:假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。,基本符号,投保年龄 的人。的人的剩余寿命。人的极限年龄 保险金给付函数。贴现函数。保险给付金在保单生效时的现时值,趸缴纯保费的厘定,趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于人寿保险的保险金给付方式死亡即刻给付：连续型寿险死亡年末给付：离散型寿险,第二节 死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定,死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。,主要险种的趸缴纯保费的厘定,终身寿险n年期定期寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的终身寿险延期m年的n年期的两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险,1、终身寿险,定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，投保保额bt=1元终身寿险基本函数关系其中，t是保单签单生效到保险给付时的时间长度，Z表示未来给付保险金在签单时的现值。,趸缴纯保费的厘定,符号：厘定：,现值随机变量的方差,方差公式记（相当于利息力翻倍以后终身寿险的趸缴保费）所以方差等价为,例3.1(P59),设(x)投保终身寿险，保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为计算,例3.1答案,例3.1答案(2),例3.2(P59页例),假设有100个互相独立的年龄为x岁的被保人都投保了保险金额为10元的终身寿险，随机变量T(x)的概率密度函数是 fT(x)(t)=e-t，=0.04，t0 保险金于被保人死亡当时给付，保险金给付是从某项基金中按利息力=0.06计息支付。试计算这项基金在最初时刻的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保人的死亡给付的概率达到95%。,2、n年定期寿险,定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：岁的人，投保保额bt=1元n年定期寿险基本函数关系,趸缴纯保费的厘定,符号：厘定：,现值随机变量的方差,方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为,例3.4(P62),设计算,例3.4答案,3、n 年定期生存保险,定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。假定：岁的人，保额bt=1元，n年定期生存保险基本函数关系,趸缴纯保费的厘定,符号：趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差：,4、n年定期两全保险,定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。假定：岁的人，保额bt=1元，n年定期两全保险基本函数关系,趸缴纯保费的厘定,符号：厘定记：n年定期寿险现值随机变量为 n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为Z 已知则,现值随机变量方差,n年两全保险的方差为：进一步地有：,例3.4续,设计算,例3.4续答案,5、延期终身寿险,定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：岁的人，保额bt=1元，延期m年的终身寿险基本函数关系,死亡即付延期终身寿险趸缴纯保费的厘定,符号：厘定：,延期终身寿险趸缴纯保费的厘定,由定义令t=m+r，则有,现值随机变量的方差,方差公式记所以方差等价于,例3.3(P61),假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知求：,例3.3答案,延期m年n年定期寿险,延期m年死亡即刻给付的n年定期寿险的趸缴纯保费：且有：,例3.5(P63),设死亡力为常数，利息力为常数。试求延期m年死亡即刻给付的n年定期寿险的趸缴纯保费。,6、延期m年n年定期两全保险,定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险假定：岁的人，保额bt=1元，延期m年的n年定期两全保险基本函数关系,趸缴纯保费的厘定,符号：厘定且有：,7、递增终身寿险,定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次（连续递增）,一年递增一次,现值随机变量趸缴保费厘定,一年递增m次,现值随机变量趸缴保费厘定,一年递增无穷次（连续递增）,现值随机变量趸缴保费厘定,8、递减定期寿险：一年递减一次,现值随机变量趸缴保费厘定,例3.6(P66),第三节 死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定,死亡年末赔付的含义死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加1。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。,基本符号,岁投保的人整值剩余寿命 保险金在死亡年末给付函数 贴现函数。保险赔付金在签单时的现时值。趸缴纯保费。,定期寿险死亡年末赔付场合,基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命，则,趸缴纯保费的厘定,符号：厘定：,现值随机变量的方差,公式记等价方差为,自然纯保费,在人寿保险中，纯保费通常称为自然纯保费，记为cx，有：自然纯保费随着投保人年龄的增大而增加。,趸缴纯保费图示,x+n,x+m,变额趸缴纯保费（死亡年末给付）图示,递减趸缴纯保费（死亡年末给付）图示,死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳,常用计算基数,计算基数引进的目的：简化计算常用基数：死亡基数和生存基数,用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费,变额趸缴纯保费（死亡年末给付）的基数表示,换算基数表,教材P370-372附录(A)给出了死亡换算基数和生存换算基数(年实质利率6%)。,例3.7(P51例3.1.1),有100个40岁的人共同建立一个互助基金，成员死亡后指定的受益人可在当年末领取10 000元保险金。他们决定使用1990-1993年的中国人寿保险业经验生命表之男女混合表和预定利率6%来计算趸缴纯保费。如果第2年和第5年各死亡1 人，第1年实际得到的利率为6%，第2年和第3年为6.5%，第4年和第5年为7%，试求第5年末基金的预期积累值与实际积累值之差。,例3.8(P55例3.1.3),设年龄为35的人购买离散型的保额为5 000元的25年期两全保险，试求保单的趸缴纯保费(利率为6%)。,例3.9(P57),(1)设（30）的人，购买递增的30年定期寿险，保险利益是：第1年死亡在年末赔付1 000元，第2年死亡年末赔付1 100元，依此类推，第30年死亡年末给付3 900元。计算该保单的趸缴纯保费(i=0.06)。(2)设（30）的人，购买递减的20年定期寿险，保险利益是：第1年死亡在年末赔付5 000元，第2年死亡年末赔付4 900元，依此类推，第20年死亡年末给付3 100元。计算该保单的趸缴纯保费(i=0.06)。,死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD),在相邻整数年龄之间死亡服从均匀分布假设（UDD），且满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的 倍。条件1：条件2：只依赖于剩余寿命的整数部分，即,死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定）,以终身寿险为例：,死亡即刻给付趸缴纯保费的计算,在相邻整数年龄之间死亡服从均匀分布假设（UDD），即可将死亡即刻给付人寿保险趸缴纯保费转化为死亡年末给付趸缴纯保费，进而通过换算基数表进行计算。,例3.10(P68),假设某（40）的人投保了一份死亡当即给付的递减的10年定期寿险。考虑第1年死亡即刻赔付1 0000，第2年死亡即刻赔付9 900元，并以此类推递减人寿保险。试在死亡均匀分布假设下，按i=0.06计算趸缴纯保费。,死亡年中给付假定,在实务中，死亡即刻给付的寿险趸缴纯保费最常用的计算方法就是假定一个被保人的死亡都发生在一年的中点，即总是取T(x)=K(x)+1/2，此时：死亡后即刻给付之趸缴纯保费=相应的死亡年末给付之趸缴纯保费相应地，教材P373-375附录(B)给出了连续模型在此假设下的死亡换算基数。相应的公式参见教材P69页。,例3.11(P70例3.3.2),某30岁的被保人购买一个30年两全保险，第一个10年保额为25 000元，第二个10年保额为50 000元，第三个10年保额为100 000元，被保人死亡即刻给付。试计算30岁被保人的趸缴纯保费(预定年利率6%)。,例3.12(P70例3.3.3),现年36岁的被保人购买一份终身寿险保单，规定被保人在10年内死亡即刻给付保险金15 000元，在10年后死亡即刻给付保险金20 000元。试计算该保单的趸缴纯保费(预定年利率6%)。,例3.13(P70例3.3.4),现年30岁的被保人购买了一张某定期寿险保单，保单利益如下：被保人于第一个保单年度内死亡，给付1 000元，第二个保单年度内死亡给付1 200元，第三个保单年度内死亡给付1 400元，依此类推，共计20年。试计算其趸缴纯保费(预定年利率6%)。,第四节 递归公式,一、死亡年末给付的寿险的趸缴纯保费递推公式公式一：理解：(x)购买的死亡年末给付的单位金额终身寿险的价值等于(x)在第一年死亡的情况下获得1单位的赔付额加上生存满一年的情况下的趸缴保费。,递推公式,公式二：解释：个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的。,递推公式,公式三：解释(x)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和（等于一系列一年期保险金给付的精算现值之和）。,递推公式,在公式利用，得：,这就是说，趸缴纯保费赚得的利息具有双重效应，一是增加了趸缴纯保费（由年龄x岁至x+1岁，二是承担了设想的一年期保险给付的精算现值。,二、死亡即刻给付趸缴纯保费的递推,死亡即刻给付的终身寿险的趸缴纯保费的微分方程是：,类似的，趸缴纯保费在瞬间赚得的利息具有双重效应，一是体现了瞬间趸缴纯保费的增加，二是体现了瞬间保险金的给付情况。,练习与作业,P73-76 1-5，7-9，11-19，21，22注意：书本中对生存保险的记号印刷有误，要注意识别。,
