《化学中的群论》课件.ppt

化学中的群论,内容：第一章 群的基础知识 第二章 分子的对称性与对称性操作 第三章 群的表示 第四章 群在化学研究中的应用实例,参考书,群论在化学中的应用 美F.A.科顿 科学出版社群论与分子对称性 誉文德 华南工学院出版社群论及其在物理和化学中的应用 方可 重庆大学出版社物理学中的群论 马中骐 科学出版社,我们周围到处都有对称性的存在，一般人们认为有对称性的东西是美的。,群论在量子化学和光谱学的研究中也是最有力的数学工具之一，它帮助人们预测、解释、简化复杂的理论和数据。,抽象群的数学理论是近世代数学和有关对称性一般研究结果。,群论是数学中的一门学科，但同时被应用到许多科学领域。例如：点论在化学中用来描述分子的对称性,洛伦兹群是相对论的核心部分，空间群在晶体物理的研究中起到关键的作用。,第一章 群的基础知识,1.1 群的定义和性质,在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群。,1.集合对乘积的封闭性.集合中任意两元素的乘积仍属此集合。即,2.乘积满足结合律,3.集合中存在恒元E（单位元），用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变，即,4.任何元素R的逆元R-1存在于集合中，满足,一、定义,二、群的一些基本概念,有限群的阶：群中元素的个数称为有限群的阶。Abel群：群中任意两元素的积一般不对易。即RSSR 若RS=SR，则此群叫Abel群。循环群：若群G=E=Rn,R,R2,Rn-1,则它是一个n阶循环群，记作Cn。R称为G的生成元。例：在二维平面上绕原点顺时针连续旋转/3的操作构成的群G=E=R3(/3),R(/3),R2(/3)就是C3群。因为群中任意元素有如下形式：Rk,Rl RkRl=RlRk,k,ln,所以循环群是Abel群。但逆命题不成立。元素的阶：有限群的任一元素自乘若干次后，必可得到恒元。若Rn=E，称n为元素R的阶。,三、群的例子,1.所有有理数的集合对于普通数的加法构成无限加法Abel群。单位元：0n的逆元：-n加法满足封闭性和结合率,4.所有n维空间Rn中的向量X=（x1,x2,xn)的集合对于向量的加法构成群。恒元：零向量逆元：a=(a1,a2,an)-a=(-a1,-a2,-an)封闭性：满足结合律：满足,2.除零外的所有实数的集合对于普通数的乘法构成无限乘法Abel群。单位元：1n的逆元：1/n乘法满足封闭性和结合率,3.立定，向左转，向后转，向右转对于连续动作构成四阶群。单位元：立定逆元：立定立定 向左转 向右转 向后转向后转封闭性：满足结合律：满足,四、群表和重排定理,1.群乘法表,1,-1,i,-i对于数的乘法构成群,立定（），向左转（），向后转（），向右转（）,从此群表中可以看出，和 1，-1各自形成子群。上面两个群都是Abel群，群元素在表中相对于主对角线是对称的。,对于有限群，群元素数目有限，我们有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表称为群的乘法表，简称群表。,Abel群的乘法表：群元素在表中相对于主对角线是对称的。,循环群的乘法表：当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元素移到最右面去。,例 G=E=R4,R,R2,R3,R14分别表示在一平面内绕一点顺时针旋转/4的操作。其乘法表如下,2.群表定理（重排定理）,一个群的所有元素，在群表的每一行（或一列）都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。,例：写出正三角形对称群D3的乘法表，并判断是否Abel群。,对称元素：A 三角形绕OA轴转动角 B 三角形绕OB轴转动角 C 三角形绕OC轴转动角 D 绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转2/3 F 绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转4/3 E 不动,正三角形的对称变换,正三角形对称变换群D3的乘法表,习题,1.举例说明一阶群、二阶群、三阶群、四阶群。,2.G是由a、b、c三个元素所构成的集合，它们的乘法表如下，判断G是否构成群？,3.证明下列四个方阵A、B、C、D对于矩阵的乘法构成一个群V：写出V的乘法表。V是否循环群？V是否Abel群？,1.2 子群,一、定义 群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满足群的四个条件，则称为群G的子群。,例：在整数群加法群Z中，整数n的一切倍数所构成的集合对于数的加法显然构成一个群，因此它是Z的子群。,二、判断1.判别有限群的子集是否构成子群时，检验子集是否满足封闭性就够了。2.不含恒元的子集肯定不是子群。3.任何群都有两个平庸的子群：恒元和整个群，但通常不把它们计入子群之列。4.群G的阶数g一定是子群H阶数h的整数倍。阶数为素数的群没有非平庸子群，且一定是循环群。5.寻找有限群的子群的最好方法就是先列出它的全部循环子群，然后把若干循环子群合起来，看它们是否满足封闭性。,例：找出正三角形对称群D3的所有子群。,子群：E，A，E，B，E，C，E，D，F,三、陪集和不变子群,设群G阶为g，有子群H，阶为h:H=S1,S2,S3,Sh,S1=E.任取群G中不属于子群H的元素Rj，把它左乘或右乘到子群H上，得到群G的两个子集：RjH=Rj,RjS2,RjS3,RjSh,HRj=Rj,S2Rj,S3Rj,ShRj,RjH称为子群H的左陪集，HRj称为右陪集。,陪集的性质：1.陪集和子群没有公共元素；2.陪集不包含恒元，陪集一定不是群G的子群；,从群的乘法表上很低容易找到子群的陪集。事实上，乘法表里与子群元素有关的各列中，每一行的元素分别构成子群或左陪集，而与子群元素有关的各行中，每一列的元素分别构成子群或右陪集。,若子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等，RjH=HRj,即 RjSu=SvRj则此子群称为不变子群，或称为正规子群。注意此定义并不要求不变子群的元素和群G中所有其它元素对易。,Abel群的所有子群都是不变子群。,找出子群：E，A，E，D，F的左右陪集，并判断此子群是否正规子群。,例：正三角形对称变换群D3的乘法表,子群E，A的左陪集有两个：D，B和F，C，右陪集也有两个：D，C。左右陪集不对应相等，因此，此子群不是不变子群。另一个子群E，D，F 是不变子群，陪集是A，B，C,1.3 共轭元素和类,如果A，B和X是一个群G中任意三个元素，它们存在下面的关系：B=X-1AX 则称B是借助于X所得到的相似变换，也称A和B是共轭的。共轭元素有下面的一些性质：1.每个元素都与其自身共轭，即在群中任选一元素A，则定能至少找到一个元素X，可使A=X-1AX2.如果A与B共轭，则B与A也共轭。3.与同一元素共轭的元素也相互共轭。,所有互相共轭的元素的集合称为类。互相共轭的元素存在某共同的性质，这就是互相共轭元素的集合称为类的原因。,1.同类元素的阶必相同，但阶数相同的元素不一定属于同一类。,一个群除了可以选出适当的元素组成子群外，还可以按相似变换的方法将群的元素分为更小的集合-类。,2.如果乘法表中取左乘元素和右乘元素的排列次序相同，则在乘法表中关于对角线对称的两元素互相共轭，互相共轭的元素也一定会在乘法表关于对角线对称的某位置出现。,例：找出正三角形对称群D3的所有类。,E，E，F，A，B，C,1.4 同构和同态,一、同构 若群G和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同构，记作GG。,互相同构的群，它们群的性质完全相同。研究清楚一个群的性质，也就了解了所有也它同构的群的性质。在群同构的定义中，元素之间的对应规则没有什么限制。如果选择的规则不当，使元素的乘积不能按此规则一一对应，并不等于说，这两个群不同构。,1,-1,i,-i对于数的乘法构成群,立定（），向左转（），向后转（），向右转（）,练习：设R为全体实数对加法组成的群，R为全体实数对乘法作成的群，试建立一一对应关系，证明两群同构。,建立(x)=ex(e为自然对数的底）是R与R的一一对应关系，显然(x+y)=ex+y=ex ey=(x)(y)故RR。,二、同态 若群G和G的所有元素间都按某种规则存在一多对应关系，即G中的任一元素都唯一地对应G中一个确定的元素，G中任一元素至少对应G中一个元素，也可以对应G中若干个元素，它们的乘积也按同一规则一多对应，则称两群同态，记作GG。若GG，群G只反映了群G的部分性质。,1.5 群的直接乘积,如果存在阶数分别为h和k的两个群 H=H1=E，H2，Hh K=K1=E，K2，Kk若它们满足下列条件：(1)任意两个群H、K中取出的两个元素都可对易；（2）H、K中除E外没有共同元素。则取每个群的每个元素与另一个群的所有元素的乘积所得的集合形成H、K的群的直接乘积，简称直积。可表示为 G=H K=E，EK2，EK3，EKk,，H2K1，H2Kk，HhK1,HhKk,例：我们可以通过两条垂直的直线坐标构造出平面直角坐标系，并进一步构造出空间直角坐标系。反之，我们研究空间向量，可以把它分解到三个相互垂直的坐标轴上来讨论。,从群的直积定义中我们可以看出，取群的直积给出了一种扩大群的最简单的方法。反之，我们可能分一个群为几个直因子群，从对直因子群的性质研究，可以知道直积群的一些性质。,