高等数学第一节函数.ppt

高等数学,课本,（本科少学时类型）（第三版）上册,同济大学应用数学系 编,高等教育出版社,一、什么是高等数学？,1、高数简介,高等数学是大学的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分方面的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，使学生在受到数学分析基本概念、理论、方法以及运用这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练的基础上，提高抽象概括问题能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识自我更新奠定必要的基础。,2、研究对象（函数关系）,3、研究方法 极限方法,4、主体内容,1）微积分学理论（一元与多元）；,2）空间解析几何与向量代数、无穷级数、常微分方程。,5、高等数学与初等数学的区别,二、为什么要学习高等数学？,1、训练思维的需要（数学是思维的体操）；,2、数学是科学技术的载体，为学习后继课程提供必须的数学工具；,3、实现理想的需要（考研、考公都会用到）。,三、怎样才能学好高等数学？,四、几点要求：,1、一专：上课专心听课认真做笔记；,2、二要：要及时预习按时到课，作业要按时完成；,3、三记：记重点、难点，记分析思路，记补充内容；,4、四带：教材、笔记本、练习本、笔。,第一章 函数与极限,微积分的研究对象是函数，和初等数学讨论函数不同的是，微积分是以极限的方法来考察和认识函数的变化过程及内在属性。,本节概要,自然界的各种事物都是在不断变化着的，反映这种变化过程的量是变量。各种事物的变化又是相互联系和相互制约的，反映和表示这种既相互联系又相互制约的变化过程的数量关系的就是所谓的函数。,第一节 函数,集合是数学中最基本的概念之一，所谓最基本概念就是不能由其它概念来定义，只能通过常识来描述。指定的具有“某种属性”的有限多个或无限多个一类事物的全体称为一个集合，构成集合的每一个事物称为该集合的一个元素。若事物 a 是集合 M 的一个元素，记作 a M，若事物 a 不是集合 M 的元素，则记作 a M,(1)集合的定义,具有“某种属性”，简单地讲，就是能给定一条规则以区分集合中的元素，即任意给出一个事物，根据这个条规则能确定该事物是否属于这一集合。,由有限个元素组成的集合称为有限集，由无穷多个元素组成的集合称为无限集。表示集合的方法通常有两种：列出集合中所有元素，其形式为 A=A中的所有元素.列出集合中元素的属性，其形式为 M=x x 所具有的特征.,枚举法,(2)集合的表示,元素属性表示法,设有集合 A、B，若对 a A，都有a B，则称 A 是 B 的子集，记作：A B.不含任何元素的集合称为空集，记作:空集可认为是任何集合的子集。,子集的概念,(3)集合间的关系,空集的概念,设有集合 A、B，若有 A B，且 B A，则称 A、B 相等，记作：A=B 例如，若 A=1,2，B=x x 2-3x+2=0，则有 A=B.两集合相等的意义就是彼此相互包含，这一定义实际也给出了集合相等的证明方法，即证明两集合相等就是证明它们相互包含。,集合相等的概念,设有集合 A、B，由至少属于 A、B 中一个的元素的全体所构成的集合称为集合 A、B 并，记作:AB.即有 AB=x x A 或 x B.,集合的并,(4)集合间的运算,设有集合 A、B，由同时属于 A、B 的元素的全体所构成的集合称为集合 A、B 交，记作:AB.即有 AB=x x A 且 x B.,集合的交,区间是一类特殊的数集，它通常用来表示连续型变量的变化范围。区间可分为两类，一类是有限区间，另一类是无穷区间。设 a,b R，且 a b，则数集 x a x b 称为开区间，记作:(a,b)，即(a,b)=x a x b.,开区间,(1)有限区间,设 a,b R，且 a b，则数集 x a x b 称为闭区间，记作:a,b，即 a,b=x a x b.由开区间和闭区间的概念容易理解，下列数集均称为半开半闭区间：(a,b=x a x b，a,b)=x a x b.数 b-a 称为上述这些区间的长度，长度为有限值的区间称为有限区间。上述这些区间的长度均为有限数，故均是有限区间。,闭区间,半开半闭区间,长度为无穷大的区间称为无穷区间。下列数集均为无穷区间：(a,+)=x a x，a,+)=x a x；(-,b)=x x b，(-,b=x x b.,(2)无穷区间,邻域是一类特殊的区间，它在数轴上表示以一点为 中心，以某正数为半径的点的全体。邻域可分为两类，一类是实心邻域，另一类是空心邻域。设 a,是两个实数，0，数集 x x-a 称为点 a 的 邻域，记作:U(a,)，即 U(a,)=x x-a=(a-,a-).,实心邻域,(3)邻域,在点 a 的 邻域中去掉中心点 a 后所得点集，称为点 a 的 空心邻域，记作:函数在一点的性状不仅和该点的函数值有关，还和函数在该点邻近点处的函数值有关。邻域的重要性就在于用以讨论函数在一点的性状与其邻近点处性状的关系。,空心邻域,(1)函数关系举例,客观事物总是变化着的，而其变化过程必然总是伴随着各种不同量的变化，且不同量在各自的变化范围内变化时常常是既相互联系又相互制约的。这种不同变量间既相互联系又相互制约的关系就是所谓 函数关系。,例：某一天的气温和时间的关系是一种函数关系。在此问题中包含两个变量：气温 C，时间 t.两变量在各自的变化范围内变化，变化时彼此间既相互联系又相互依存，因而气温 C 和时间 t 构成函数关系。,例：设有边长为 a 的正方形金属薄板，在其四角各剪去一个边长为 x 的小正方形做成无盖正方体小合，试考察小正方形边长 x 与金属合的容积 V 间的函数。问题中包含两个变量：小正方形的边长 x，容积 V，两变量在一定的范围内变化，变化时两变量间有对应关系 V=x(a-2 x)2.因而小正方形的边长 x和所做成的金属合的容积 V构成函数关系。,例：在解析式 中，变量 x，y 构成函数关系。此解析式包含两个变量：x、y 两变量各在一定范围内变化，变化时两变量 x、y 间有对应关系：因此两变量 x、y 间构成函数关系。,例：表达式 给出了变量 x，y 间的一个函数关系。此解析式包含两个变量：x、y 两变量各在一定范围内变化，x、y 变化时其对应关系以一个由多个式子组成的分段表达式给出。因此两变量 x、y 间构成函数关系。,函数关系的特点及构成函数关系一般条件,由以上的例可见，构成函数关系需满足以下条件:在一个变化过程中至少存在两个变量，两个变量各在 一定范围内变化。当一个量变化时，另一个也随之发生 变化，当一个变量取定某一定值时，另一个也随之确定。各变量在其各自变化范围内变化时，遵守确定的对应法则。,设 x、y 是两个变量，D 是一个给定数集，如果按照某个法则 f，对于每个数 x D，变量 y 都有唯一确定的值和它相对应，则称这个对应法则 f 为定义在 D 上的函数。数集 D 叫做称为该函数的定义域，x 称为自变量,y 称为因变量。与自变量 x 对应的因变量 y 的值记作 f(x)，称为函数 f 在点 x 处的函数值。比如当 x 取值 x 0 D 时，y 对应的值就是 f(x 0).当 x 遍取定义域 D 的所有值时，对应全体函数值所组成的集合 W 称为函数的值域，即 W=y y=f(x)，x D.,(2)函数定义,(3)函数定义说明,函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素：定义域 D f：自变量的变化范围。对应法则 f：自变量与因变量的对应规则。函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即 R f=y y=f(x)，x D f=f(D f).函数的两个要素实际也给出了判别两函数是否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。,构成函数的两个要素,记号的双重身份法,需注意定义中记号的双重身份，x 既表示自变量又表示自变量的值；y 既表示因变量又表示因变量的值。因此在以后抽象命题的讨论中，应注意区分字母 x、y在所论命题中的意义。定义中记号 f 表示自变量 x 与因变量 y 间的对应法则，记号 f(x)表示自变量 x 所对应函数值。但在一些问题的讨论中，为叙述方便，也常用记号 f(x)，x D,或 y=f(x)，x D 来表示定义在 D 上的函数值。,记号 f 与 f(x)的区别,对应法则与函数记号,函数记号是可以任意选取的，除常用的 f 外，还可用其它英文字母或希腊字母表示，如 g、F、等。相应地，函数可记作 y=g(x)，y=F(x)，y=(x)等。有时还可直接用因变量记号来表示函数，即把函数记作 y=y(x).一般而言，不同的字母表示不同的对应法则。特别是在同一问题中，在讨论到几个不同函数时，需用不同记号来表示不同的函数。,函数性质与自变量、因变量所用字母无关,函数的性质取决于其定义域与对应法则，在表示形式上体现在定义域与对应法则所用的字母，而与自变量和因变量用什么字母无关。y=f(x)，x D；y=f(x)，x E；y=g(x)，x D，y=g(x)，x E，通常表示不同的函数。y=f(x)，x D；u=f(x)，x D；y=f(t)，t D；u=f(t)，t D；却表示同一个函数。,例如：y=f(x)=sin x，x R=(-,+)；y=f(x)=sin x，x D=(-,)表示不同的函数，因为它们的定义域不同。y=f(x)=lg x 2，x D=(-,0)(0,+)；y=g(x)=2lg x，x E=(0,+)；表示不同的函数，因为它们的定义域不同。y=f(x)=sin x，x R=(-,+)；y=f(t)=sin t，t R=(-,+)；u=f(t)=sin t，t R=(-,+)；均表示同一个函数，因为它们的定义域和对应法则都相同。,函数定义域是构成函数的两要素之一，确定函数定义域一般根据三条原则：由问题的实际意义确定定义域 V=x(a-2 x)2，0 1 x x-1=(1,+).,(4)函数概念的进一步讨论,函数定义域的确定,对应法则应是自变量和因变量间确定的对应规则。这种“确定性”包含两层意思：一层意思是，对于给定的自变量 x 的取值 x 0，因变量的值 f(x 0)必须是确定的；另一层意思是，对于给定的自变量的一个取值 x，对应的因变量的值 f(x)通常是一个，若对应因变量的值不止一个，但其取值的个数及取值形式必需是确定的。,对应法则是确定的对应规则,例如：在长途汽车行驶过程中，汽车行驶的“速度”与某乘客的“饭量”是同一过程中的两个变量，但二者不构成函数关系。因为它们之间的关系不是确定的。又如：在用老虎机赌博过程中，赌徒投入老虎机的“钱数”与老虎机吐出的“钱数”是同一过程中的两个变量，但二者不构成函数关系。因为它们之间的关系不是确定的。,例：若约定以 x 表示自变量，y 表示因变量，则式子 x=C 不构成 x、y 间的函数关系。因为此时因变量 y 的取值及值的个数都不是确定的。另一方面，式子 y=C 却构成 x、y 间的函数关系，因为对于任意的 x，总有唯一确定的 y=C 与之对应。,对应法则是确定的自变量和因变量间的对应规则，它可由多种不同形式给出。在气温和时间的函数关系问题中，时间和气温间的对应法则 C=C(t)常由曲线图给出。,对应法则形式可以是多样的,例：设有方程 y 3+x y 2+x 2y+x 3+1=0，则此方程确定了 x、y 间的一个函数关系，对应法则即为给定方程。若任意给定 x=x 0，则由方程解的存在性知，必存在相应的 y=y 0，满足 由函数定义，方程确定了 y 是 x 的函数。一般地，对于形如 F(x,y)=0 的方程，只要其满足一定的条件都可确定一个函数 y=f(x).,例：设“y 是不超过 x 的最大整数”，则对任意 x R，按照这句话可构成 x，y 间的一个函数关系，记作：y=f(x)=x，这一函数称为 取整函数。显然对于任意实数 x n,n+1 R，都有 y=x=n.例如，取 x=5/7，则有 y=5/7=0，取 x=-，则有 y=-=-4，即这句话可构成 x，y 间的一个函数关系，因此对应法则也可由一句话给出。,当函数以解析式给出时，函数的对应法则可以不是一个解析式，有时一个函数的对应法则要用几个式子才能表示，这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子表示的函数称为分段函数。例如，绝对值函数 就是一个分段函数。它的定义域为 D=(-,+)，值域为 R f=0,+).,又如，符号函数 也是一个分段函数。它的定义域为 D=(-,+)，值域为 R f=-1,0,1.需注意的是，分段函数是用多个式子表示的一个函数，而不是多个函数。,例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不超过3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超过 3km 时,除起步费外，对超过 3km 但不超过 10 km 的部分，按每千米 2 元计费，对超过 10 km 的部分按每千米 3 元计费,试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系。由于出租车按里程的不同有不同的计费标准，因而车费 C 与行驶里程 s 间的函数关系应是分段函数。为写出此分段函数的表达式，首先应写出对各不同行车里程的车费 C 与里程 s 间的函数表达式，再将其综合成一个统一的表达式。,以 C=C(s)表示这个函数，其中 s 的单位是 km，C的单位是元。按问题的规定：当 0 3 时，C=10+2(s 3)+3(s 10)=3s 6.上述车费 C 与行驶里程 s 间的函数关系可写为：,例：设收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100 台以上的，每多订购一台，销售价就降低一分，但最低价为每台 75 元。试考虑以下问题：(1)将每台收音机的实际价格 p 表为订购量 x 的函数；(2)将厂方所获得的利润 P 表示为订购量 x 的函数；(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利多少？由于每台收音机的实际价格是随采购量 x 的大小而变化的，因此其实际价格 p(x)及厂方所得利润 P(x)均是采购量 x 的分段函数。,对于分段函数表达式的确定，应先根据问题的条件逐段写出其对应的式子，再综合成总的表达式。按厂方的销售定价，此时每台收音机的价格为 p(x)=90，厂方所获得的利润 P(x)与订购量 x 的关系为 P(x)=(90-60)x=30 x.,0 x 100,C.P.U.Math.Dept.杨访,按厂方的销售计划，此时每台收音机的价格为 p(x)=90-(x-100)0.01 可解得 x 1600.厂方相应的利润为 按厂方的销售计划，此时每台收音机的价格为 p(x)=75，厂方相应的利润为 P(x)=(75-60)x=15 x.,100 x 1600,x 1600,综上讨论，求得厂方每台收音机的实际价格 p(x)及利润 P(x)与采购量 x 关系的分段函数为 令：x=1000，可求得即订购 1000 台，厂方可获利 2100 元。,微积分用形数结合的方法研究函数性质，通过函数图形考察函数性质是研究函数的基本手段之一，作给定函数图形是研究函数的基本方法。设有函数 y=f(x)，x D，任取 x D，由对应法则 f 可确定数 y，由此可得有序数组(x,y)，于是在直角坐标系下可确定 xOy 平面上的点 P(x,y)，让 x 遍取 D 中的值可得一个点集 C=P(x,y)y=f(x),x D，该点集就称为函数 y=f(x)的图形。,(5)函数的图形,函数图形的概念,研究函数性质既要注意不同函数具有的特性，也应了解它们可能具的有某些共同性质，理解和掌握函数的共性对函数的研究和讨论是必不可少的。函数有界性概念是函数在数集上的一种总体性质，它所描述的是在自变量的一定变化范围内函数值的变化范围大至“有多大”。由于确定函数的值域常较麻烦，而确定函数的有界性相对方便，因而函数的有界性对函数各类问题的讨论有重要意义。,设函数 y=f(x)的定义域为 D，数集 X D，如果存在正数 M，使得对任一 x X，都有 f(x)M，就称函数 y=f(x)在 X 内 有界。如果这样的正数 M 不存在，则称函数 f(x)在 内无界。,(1)函数有界性的定义,(2)函数有界性的几点说明,“界”的不唯一性,函数只要有界，则其“界”总不是唯一的。因为对数集 X 而言，若存在一个 M 0，使得 f(x)M,则必有 f(x)M+1，从而 M+1 也是 f(x)的一个“界”。因此考虑函数有界性，关键在于确定其“界”的存在性，至于界 M 的具体值通常并不特别重要的。例如，就函数 y=sin x 而言，对数集 X=(-,+),存在数 M=1，使得 sin x 1.因此，数 M=1 是函数 y=sin x 在数集 X 上的一个界，但同时有 sin x 2,即 M=2 也是函数 y=sin x 在数集 X 上的一个界。,对给定的函数，通常并不能一般性地说其有界或无界，而必需在指定数集上考虑其有界性。因为即使该函数在某一数集上无界，在另一数集上却可以是有界的。例如，函数 y=tan x 在数集(-/2,/2)内虽然无界，但其在数集(-/4,/4)内却是有界的。,函数的有界性是和数集相联系的,又如，函数 y=1/x 在区间(0,1)内无界，但其在点 x 0=1/100 的某邻域 U(x 0,)内却是有界的。,(1)函数单调性的定义,设函数 f(x)的定义域为 D，区间 I D.如果对于区间 I 上的任意两点 x 1、x 2，当 x 1 f(x 2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减小的。,(2)函数单调性的几点说明,函数的单调性是对区间而言的,对于微积分的讨论而言，在连续分布的数集上比较函数值的大小才有实际意义，故通常是在区间上而非在离散数集上定义和考察函数的单调性，这是和函数的有界性的定义不同之处。数列是一类特殊函数，其自变量是下标(在自然数集内取值)，故其单调性是对下标而言的。对给定数列 x n，若对一切 n 有 x n x n+1)，则称此数列是单调增加的(减小)。,数列的单调性是对下标而言的,由于要求 x1、x 2 必须是任意的，直接验证不等式 f(x1)f(x 2)常是困难的。因此，函数单调性的定义通常并不能提供判别函数单调性的一般方法。应用一般将其转化为证函数增量的保号性，即设法证明有 f=f(x 2)-f(x1)0,(或 f 0).函数增量保号性证明的一般方法将在微分学应用中讨论。,函数单调性的证明,函数的单调性与“1-1对应”关系,函数单调性的一个重要应用就是判别函数的定义域与值域之间的“1-1对应”关系。函数是否是“1-1对应”的对函数性质的讨论常是重要的，籍此可确定函数的单值性及反函数的存在性。然而对于给定函数，直接判断其是否具有这种“1-1对应”关系往往是困难的。函数的单调性给出了判别是否具有“1-1对应”关系的充分条件，即若 y=f(x)在其定义域 D f 上单调，则有,(1)函数奇偶性的定义,设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称，若对于任意的 x D,f(-x)=f(x)恒成立，则称 f(x)为偶函数;若对于任意 x D,f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数。需注意的是，函数的奇偶性是定义在以原点为对称的区间上的，非对称区间上不能定义奇偶性。例如，不能说函数 y=sin x，x 0,是奇函数。,奇函数和偶函数有明显的几何特征：奇函数的图形对称于原点；偶函数的图形对称于 y 轴。,奇函数图形,偶函数图形,奇、偶函数的几何性质,对于形式较为复杂的函数，直接根据定义判别其奇、偶性有时较麻烦。应用中常可考虑通过奇、偶函数的运算性质判别其奇、偶性。奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相应的奇、偶性。例如：奇奇=奇，偶偶=偶；奇奇=偶，偶偶=偶。,奇、偶函数的运算性质,C.P.U.Math.Dept 杨访,奇偶性是函数一种基本性质，利用这种基本性质常可方便地对函数的其它性质进行讨论。然而，对于定义在对称区间上的函数而言，其未必总具有奇偶性。因此若能将定义在对称区间上的函数表示为奇函数与偶函数,则可使其部分地具有奇函数与偶函数的性质。具体有如下结果：定义在对称区间上的函数总可分解为奇函数与偶函数之和，且分解形式是唯一的。,函数分解为奇函数和偶函数,证可分解性,设有定义在对称对称区间-a,a 上的函数 f(x)，假定 f(x)可分解为两个函数之和，即 f(x)=F(x)+G(x)其中 F(x),G(x)分别为-a,a 上的偶函数和奇函数,为证可分解性只需求出 F(x),G(x)的具体形式。由于 F(x),G(x)分别是-a,a 上的偶函数和奇函数，故有 F(-x)=F(x)，G(-x)=-G(x).代入式 f(x)=F(x)+G(x)得 f(-x)=F(-x)-G(-x)=F(x)-G(x),由、两式解得 设 f(x)另有分解式 f(x)=F1(x)+G1(x)F1(x)、G1(x)分别为-a,a 上的偶函数和奇函数。因此有 F(x)+G(x)=F1(x)+G1(x)为说明分解的唯一性只需证有 F(x)=F1(x)，G(x)=G1(x)在式中用-x 代 x 得 F(-x)+G(-x)=F1(-x)+G1(-x),证分解的唯一性,由所设 F(x)、F1(x)为-a,a 上的偶函数，G(x)、G1(x)为-a,a 上的奇函数，即有 F(-x)=F(x)，G(-x)=-G(x)，F1(-x)=F1(x)，G1(-x)=-G 1(x).代入式得 F(x)-G(x)=F1(x)+G1(x)结合 式 F(x)+G(x)=F1(x)+G1(x)解得 F(x)=F1(x)，G(x)=G1(x).即 f(x)的奇、偶分解式是唯一的。,(1)函数周期性的定义,设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在不为零的数 l 使得对 x D，有 x l D，且 f(x+l)=f(x)恒成立，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期。通常所说的周期函数的周期是指其最小正周期。,(2)关于定义的说明,周期函数定义域的无界性,若 f(x)为数集 D 上的周期函数，则 D 必为无界数集。因为由周期函数的定义，对任意自然数 n 有 x D x l D x n l D 从而 D 既无上界又无下界。由此可推出，若 f(x)的定义域为有界数集，则 f(x)不可能是周期函数。尽管通常所说的周期函数周期指的是最小正周期，但这往往是对初等函数而言的。事实上，对一般周期函数而言，并非总有最小正周期。,最小正周期问题,例：考虑迪利赫勒函数 的周期性。就 x 为有理数和无理数分别进行讨论：由有理数的运算性质知，对任一有理数 q，若 x 为有理数，则 x+q 为有理数，于是(x+q)=1=(x)；若 x 为无理数，则 x+q 为无理数，于是(x+q)=0=(x)由此可知，任何有理数 q 均是函数(x)的周期，因此它没有最小正周期。,周期函数的判别是较为困难的。其原因在于，根据周期函数定义，要说明 f(x)是数集 D 上的周期函数，需证明方程 f(x+l)-f(x)=0 有正数公式解 l，而由方程理论知，即使对于简单的多项式方程，五次以上的方程没有公式解，因此要说明 l 的存在性常有困难。常用的确定函数周期性的方法有：用定义进行判别；通过性质进行判别；利用零点进行判别；利用几何方法进行判别。,周期函数的判别,函数 y=f(x)反映了一个变化过程中两个变量 x 和 y 间的对应关系，根据问题的具体情况选择一个变量 x作为自变量，另一个就是因变量。当自变量 x 在定义域 D 内取定一个值后，因变量 y 的值也随之唯一确定。然而，自变量与因变量的选择并不是绝对的，往往是根据讨论的需要确定的。数学上，如果把一个函数中的自变量和因变量对换后能得到新的函数，就把这个新函数称为原来函数的反函数。,(1)反函数的概念,(2)反函数的定义,设函数 y=f(x)的定义域是数集 D，值域是数集W,若对于每个 y W，都有唯一确定的 x D，适合关系 f(x)=y，那么就把此 x 值作为取定的 y 值的对应值，从而得到定义在 W 上的新函数，这个新的函数称为函 数 y=f(x)的反函数，记作：x=f-1(y).这个函数定义域为W，值域为D.相对于反函数 x=f-1(y)来说，原来的函数 y=f(x)称为直接函数。,直接函数与反函数的映射关系图,(3)函数对应法则的映射概念,函数的映射概念就是将函数的对应法则视作数集 D 与数集 W 间的一种映射关系，即将一数集 D 中的点通过映射转换到另一数集 W 中。,(4)反函数相关问题,反函数的相对性,反函数并不是一个独立概念，而只是相对于直接函数的一种称呼，它与直接函数实际是同一函数关系的两种不同表达形式。对给定的函数 x=(y)，不能说它是或不是反函数，而只能说它是或不是某函数 y=f(x)的反函数，这就是反函数的相对性。由此相对性概念，直接函数 y=f(x)也是其反函数 x=f-1(y)的反函数。,S,t,反函数概念虽是相对的，但从性质考虑，它又具有自身的独立性。因此，在具体研究函数性质时，常将直接函数与其反函数作为两个不同的函数看待。例如，指数函数 y=a x 与对数函数 y=log a x 互为反函数，但二者都有其自身的独特性质。因此，在研究函数性质时，通常将指数函与对数函数看作两类不同的函数。,反函数性质的独立性,反函数的表示记号,由于直接函数与反函数的关系既具有相对性又具有各自的独立性，因此根据讨论问题的要求不同，反函数可有两种不同的表示方法。若从直接函数与反函数是同一函数关系的两种不同 表达形式考察二者的联系，对给定的 y=f(x),x D，常将其反函数记作 x=f-1(y),y f(D).若分别考察直接函数与反函数各自的性质，对给定 的 y=f(x),x D，则仍按照以 x 表示自变量的习惯，将其反函数记作 y=f-1(x),x f(D).,反函数与直接函数图形的对应关系,由于对于给定的直接函数，其反函数有两种不同表示法，反函数相应的图形也不同，它们与直接函数的图形也有两种不同的对应关系。具体讲，对于给定的直接函数 y=f(x),x D.若其反函数记作 x=f-1(y)，y f(D)，则二者的图形为同一条曲线。若其反函数记作 y=f-1(x),x f(D)，则二者的图形关于直线 y=x 对称。,直接函数图形,对应反函数图形,直接函数图形,对应反函数图形,直接函数图形,对应反函数图形,设有函数 y=f(x)在 D 内单调增加(单调减小)，则其必存在单值反函数 y=f-1(x)，且 y=f-1(x)在 f(D)内也是单调增加(单调减小)的。,C.P.U.Math.Dept.杨访,任取 y1,y2 f(D)，且 y1 x 2，则由于 f(x)是单调增加的，故必有 y1=f(x 1)f(x 2)=y2；如果 x 1=x 2，则由函数定义 y1=f(x1)=f(x2)=y2.这两种情形都与假设 y1 y2 不符，故必有 f-1(y1)=x1 x2=f-1(y2).即 f-1 在 f(D)内是单调增加的。,f(x)为单调增加的情形,f(x)为单调减小的情形,任取 y1,y2 f(D)，且 y1 y2，按函数 f 的定义，对 y1，在 D 内存在唯一的原像 x1，使得 f(x1)=y1，于是 f-1(y1)=x1.同理，对 y2，在 D 内存在唯一的原像 x2，使得 f(x2)=y2，于是 f-1(y2)=x 2.如果 x1 x2，则由于 f(x)是单调减小的，故必有 y1=f(x1)y2 不符，故必有 f-1(y1)=x1 x2=f-1(y2).即 f-1 在 f(D)内是单调减小的。,实际应用中，给定函数 y=f(x)在其定义域 D 内常常并不是单调的，因而并不能直接应用反函数存在定理确定其反函数的存在性。对于这种情形，可考虑将函数定义域分割为若干个单调区间，再在各单调区间上逐段应用反函数存在定理以确定其反函数的存在性。,反函数存在定理的应用问题,正弦函数 y=sin x,x(-,+),y-1,1 是多叶函数，且对于 y-1,1，在(-,+)内都有无穷多个 x 的值，满足 sin x=y.因此不能确定函数 y=sin x在(-,+)内存在反函数。如果将正弦函数的定义域按其单调区间进行分割，即将(-,+)分割为 2k-/2,2k+/2-/2,/2，则 y=sin x 在各单调区间上均存在反函数。例如，若将 x 限制在-/2,/2内，可确定 y=sin x 相应的反函数，这个反函数称为反正弦函数，记作：y=arcsin x.,单调区间内的函数图形,对应反函数图形,类似地可定义，正切函数 y=tan x，y(-,+),x(k-/2,k+/2),k=0,1,2,，在其单调区间(-/2,/2)内的反函数，反正切函数 y=arctan x，x(-,+),y(-/2,/2).余切函数 y=tan x，y(-,+),x(k,(k+1),k=0,1,2,，在其单调区间(0,)内的反函数反余切函数 y=arctan x，x(-,+),y(-/2,/2).,单调区间内的函数图形,对应反函数图形,从计算的角度讲，由给定直接函数 y=f(x)求其反函数 y=f-1(x)，就是由方程 y=f(x)解出 x 的过程。但若要求单值反函数，则需考虑函数 y=f(x)的单调区间及确定相应的单值枝。例：求函数 的反函数。易求得给定函数的定义域与值域分别为 x D=(-,-11,+)，y R f=0,+).,由直接函数方程解出 x,求给定函数的单值反函数,给定方程两边取指数函数有 由直接函数与其反函数的定义域与值域的关系有 x D=R f-1=(-,-1 1,+)，y R f=Df-1=0,+).,对调 x、y 的位置,(1)函数复合问题与复合函数的概念,设有作直线运动的物体，其质量为 m，速度为 v，则物体的速度 v 与其动能 E 的函数关系为 若物体所作的是自由落体运动，则其下落速度 v 与时间 t 的函数关系为 v=g t.通过变量 v 的联系使得物体下落时间 t 与动能 E 构成函数关系。可求得该作自由落体运动的物体下落时间 t 与动能 E 的函数关系为,复合函数的概念,从运算角度看，时间 t 与动能 E 的关系的建立就是将物体下落时间 t 与速度 v 的函数关系式 v=v(t)代入动能 E 与速度 v 的函数关系式 E=E(v)而得的。这种将一个函数代入另一个相关函数形成新函数的过程称为函数的复合，通过函数复合所得的函数称为复合函数。上述函数复合过程一般形式为：设有函数 y=f(u)，u D1，y W1；u=(x),x D2，u W2 通过代入法便可得到新的函数形式 y=f(x).,由函数复合的概念会产生如下问题：是否任意两个函数 y=f(u)，u=(x)通过代入法 总可复合成新的函数 y=f(x)？或者说，在什么 条件下两函数可复合为新的函数 y=f(x)?如果两个函数 y=f(u)，u=(x)能复合为新的函 数 y=f(x)，其定义域是什么？复合函数的定义域与原先函数的 定义域有什么关系？,函数复合的条件,例：设有函数 y=f(u)=arcsin u，其中 u=(x)=a x+a-x，x D=(-,+)，u W=2,+).考察两函数能否通过代入法复合成新的函数。将 u=(x)=a x+a-x 代入 f(u)=arcsin u，可得形式函数 y=f(x)=arcsin(a x+a-x).然而这一形式函数并不构成 x、y 间的函数对应关系。因为对 x D=(-,+)，u=a x+a-x 2，即 u=(x)=a x+a-x D f，故形式函数 y=f(x)=arcsin(a x+a-x)无意义。,两函数 y=f(u)，u=(x)能否通过代入法复合成新函数，取决于二者定义域与值域的相互关系。具体可分为三种情形：若 W D f 则 y=f(u)，u=(x)能通过代入法构成复合函数 y=f(x)，且有 D f=D；,若 W D f，但 W D f 则 y=f(u)，u=(x)也能通过代入法构成复合函数 y=f(x)，但 f(x)的定义域 D f 一般要小于内层函数的定义域 D，即有 D f D.,若 W D f=则 y=f(u)，u=(x)不能通过代入法构成复合函数 y=f(x).由上讨论知，要判别两函数 y=f(u)，u=(x)能否通过代入法构成复合函数，关键要看是否有,例：设有函数 y=f(u)=lg u，其中 u D f=(0,+)，y W f=(-,+)，u=(x)=sin x，x D=(-,+)，u W=-1,1.考察两函数能否通过代入法复合成新的函数。如果能，试确定复合函数的定义域。将 u=sin x 代入 f(u)=lg u，可得形式函数 y=f(x)=lg sin x.为判断此形式函数能否构成 x、y 间的函数关系，考察外层函数定义域与内层函数值域的交集是否非空，即是否有 WD f.,因为 D f=(0,+)，W=-1,1，W D f=(0,+)-1,1=(0,1.故两函数可通过代入法构成复合函数 y=f(x).先从外层函数考察，为使 y=lg u 有意义，需有 u D f=(0,+)，即 u 0.再考察相应内层函数的要求，为使 u=(x)=sin x 0，需有 x(2k,2(k+1)，由此求得复合函数 y=f(x)=lg sin x 的定义域为：D f=(2k,2(k+1)，(k=0,1,2,).,考察内层函数值域与外层函数定义域关系,确定复合函数的定义域,若函数 y=f(u)的定义域为 D1，函数 u=(x)的定义域为 D 2，值域为 W2，并且 W2 D1，那末对每个数值 x D 2，有唯一确定的数值 u W 2 与值 x 对应。由于 W2 D 1，对这个值 u 也属于函数 y=f(u)的定义域 D1，因此有唯一确定 y 值与值 u 对应。这样，对于每个数值 x D 2，通过 u 就有唯一确定的 y 值与之对应，从而得到一个以 x 为自变量 y 为因变量的函数 y=f(x)，x D 2，这个函数称为由函数 u=(x)和 y=f(u)复合而成的复合函数，变量 u 称为复合函数的中间变量。,(2)复合函数的一般定义,(3)复合函数的分解,在微积分的讨论和应用中，除了要讨论函数的复合问题外，更常见的是要考虑和函数复合过程相反的问题 函数的分解。函数的分解就是将一个复合函数还原成若干个简单函数。所谓简单函数就是仅含基本初等函数及四则运算而不包含复合过程的函数。将复合函数分解简单函数就可较方便地讨论和研究函数的性质。因此，正确进行函数的分解是讨论函数性质的基本功。,例：试分解下列函数(1)y=sin 3(1+2x)y=f(u)=u 3，u=(x)=sin(1+2x).y=f(u)=lnu，u=(v)=tanv，,(3)y=arccos a-x 2 y=f(u)=arccos u，u=(v)=a v，v=(x)=-x 2.y=f(u)=u 4，u=(v)=v=(x)=1-x 2.,高等数讨论的对象主要由以下五类最基本的函数构成，这些函数统称为基本初等函数。幂函数：y=x，(为常数)；指数函数：y=a x，(a 为常数,a 0,a 1)；对数函数：y=log a x，(a 为常数,a 0,a 1)；三角函数：y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x；反三角函数：y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x.,(1)基本初等函数,(2)初等函数的定义,由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合过程所构成的，并且可由一个式子表示的函数称为初等函数。由基本初等函数通过四则运算及复合运算可生成任意多个函数，因此初等函数是由无穷多个函数构成的一大类函数。由于初等函数的表达形式直接明了，研究起来比较方便，应用也十分广泛，它们是高等数学讨论的主要对象。,例：指出下列函数是否为初等函数 是初等函数。因为它是由基本初等函数经由四则运算和复合运算构成的。(2