高等数学级数的概念和敛散性.ppt

【重、难点】重点：级数的相关概念，由数列知识引出。难点：正确判断级数的敛散性，由实例讲解方法。,【授课时数】总时数：4学时.,【学习目标】1、知道级数的相关概念和性质；2、会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性；3、会判断交错级数和一般级数的敛散性。,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,一、问题的提出,1.级数的定义,一般项,3.级数的分类,2.级数的部分和,记作,二、级数的概念,上述数列中,(1)、(2)是数项级数，(3)、(4)是函数项级数.,4.级数的收敛与发散,解,例1 判别级数,的敛散性.,解,例2 判别无穷级数,的敛散性.,解,例3 讨论等比级数,的敛散性.,收敛,发散,发散,发散,综上知,等比级数（几何级数）,注意：,(可以用(2)来快速判断级数的发散.),三、基本性质,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性不变.,1.定义:,级数称为正项级数.,2.比较审敛法,四、正项级数及其审敛法,使用比较审敛法常用的三个结论:,解,例4 判断下列级数的敛散性:,解,例4 判断下列级数的敛散性:,小结,1.级数的概念,2.级数的部分和,3.级数的收敛与发散,4.级数的基本性质,5.正项级数的概念,6.正项级数的比较审敛法,练 习 题,3.比较审敛法的极限形式,4.极限审敛法：,解,原级数发散.,例5 判断下列级数的敛散性:,原级数收敛.,例5 判断下列级数的敛散性:,解,5.比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法)：,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,例6 判断下列级数的敛散性:,解,例6 判断下列级数的敛散性:,(比值审敛法失效,改用比较审敛法),例6 判断下列级数的敛散性:,解,例6 判断下列级数的敛散性:,解,故该级数收敛.,6.根值审敛法(柯西判别法)：,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,五、交错级数及其审敛法,解,故原级数收敛.,例7 判断下列级数的敛散性:,解,故原级数收敛.,例7 判断下列级数的敛散性:,定义1:正、负项任意出现的级数称为任意项级数.,定理的作用：,任意项级数,正项级数,六、绝对收敛与条件收敛,解,故由定理知原级数绝对收敛，即原级数收敛.,例8 判断下列级数的敛散性:,解,故由定理知原级数绝对收敛，即原级数收敛.,例8 判断下列级数的敛散性:,解,级数，故原级数条件收敛.,例8 判断下列级数的敛散性:,小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,发散,收敛,通过本课题学习，学生应该达到：1会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性；2会判断交错级数和一般级数的敛散性。,（一）P120习题8.1；（二）P122习题8.2.,【授课小结】,【课后练习】,