高等数学方明亮6.5平面及其方程.ppt

2023/9/19,1,第五节 平面及其方程,第六章,（The Planes and Its Equations),四、小结与思考练习,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,2023/9/19,2,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,(The Point-Normal Form Equations of a Plane),2023/9/19,3,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.(自学课本 例2）,利用点法式得平面 的方程,例1 求过三点,2023/9/19,4,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,2023/9/19,5,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,2023/9/19,6,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,(General Equation of a Plane),2023/9/19,7,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,2023/9/19,8,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例2 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,(自学 课本 例3）,例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,(自学课本 例4）,2023/9/19,9,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,（The Angle between Two Planes）,2023/9/19,10,特别有下列结论：,2023/9/19,11,因此有,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.（课本 例6）,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,例4 一平面通过两点,2023/9/19,12,外一点,求,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.（课本 例7）,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),例5 设,2023/9/19,13,求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成,四面体的球面方程.（补充题）,例6,解:设球心为,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,从而,2023/9/19,14,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2023/9/19,15,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2023/9/19,16,课外练习,习题65 1；2；7；8；9（1）（3）；10；11,思考与练习,答案：,2023/9/19,17,答案：,2023/9/19,18,解:已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,3.求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,（课本习题6-5 5）,