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9.1 多元函数的基本概念,一、平面点集 n维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,一、平面点集 n维空间,1、平面点集,就表示坐标平面。,(2).坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集。,记作：,、邻域,说明（1）若不需要强调邻域半径,也可写成,（2）空心邻域：,、点与点集关系、区域,例如，,即为开集,(1)按点在内或外来考虑有内点,外点,边界点。,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,对于平面点集E，,如果存在某一正数r，,使得,其中O是坐标原点，,那么E称为有界集。,否则称为无界集。,r,E,内点一定是聚点；,几点说明：,(2)按点的近旁是否密集着的点来考虑聚点or孤立点。,反之若存在一个P的去心邻域没有E中的点，则称P为E的孤立点。,内总有E中的点，,那么称P是E的聚点。,若对于任意给定的0，点P的去心邻域,边界点可能是聚点；,例,(0,0)是边界点也是孤立点,也可能是孤立点,满足 的点既是边界点又是聚点,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,练习：书P64，题1,、n维空间,n维空间的记号为,n维空间中的线性运算：,零元：,设,当 时，为数轴、平面、空间两点间的距离,设两点为,n维空间中两点间距离公式,（1）点P到原点距离：,（3）变元x在Rn中趋于固元a：,（2）结合向量的线性运算，空间中两点距离可表示为：,n维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,引例:,圆柱体的体积,三角形面积的海伦公式,、二元函数的定义,二、多元函数的概念,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,记作,称为自变量;,称为因变量;,练习：练习册P13，一,、多元函数的自然定义域,使函数有意义的变元的值所组成的点集称为函数的定义域（自然定义域）。,例求下列函数的定义域：,解,、二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,如：,平面.,上半球面.,旋转抛物面.,（抛物线 绕z轴旋转）,函数的定义域就是曲面在xoy坐标面上的投影。,(也称为 n 重极限),当 n=2 时,二元函数的极限（二重极限）可写作：,记作,则称 A 为函数,三、多元函数的极限,或,或,说明：,(1).定义中 的方式是任意的；,(2).二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例4 求证,证,当 时，,原结论成立,例 求极限,=0,无穷小和有界函数的乘积是无穷小,例 求极限,例5 求极限,多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则,解,当点,沿 x 轴,趋于点O(0,0)时，,不存在,当点,沿 y=x,趋于点O(0,0)时，,此例说明，所谓多重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P0时,f(x,y)都无限接近A,确定极限不存在的常用方法：,例 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,四、多元函数的连续性,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在,、定义3.设 n 元函数,定义在 D 上,如果存在,否则称为不连续,则称 n 元函数,D 上连续.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,例 求极限,原式,解:,函数定义区域为,故函数在点（1,2)处连续,一般地，求 时，如果f(P)是初等函数，,且P是f(P)的定义域的内点，那么f(P)在点P处连续，,于是,解:原式,例 求,分子有理化后约分,分析:,、有界闭区域上多元连续函数具有性质：,性质（最大值和最小值定理）,在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得,性质（介值定理）,在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于,最大值研究和最小值,最大值和最小值之间的任何数值,