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第十一章 线性空间与线性映射,线性代数有两个“线性”，一是线性空间，二是线性映射。线性代数研究线性空间之间的线性映射的性质。,本章包括四节。前两节是关于线性空间的，重点是线性空间、线性空间的基与维数三个概念；后两节是关于线性映射的。其中第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示，这使得在第十章中“冒然闯入”的那个“矩形阵列”有了实在的目的。最后一节给出描述线性映射性质的两个重要概念：线性映射的零空间和值域空间。,通常，人们认为这章内容比较抽象，其实还是很直观的，因为在二维和三维的情况下，本章的内容都能具体“画出来”。建议读者在学习这章的时候，用二维和三维空间中的具体例子，想象概念的几何形象。,11.1 线性空间,11.2 线性空间的基与维数,11.3 线性映射的矩阵表示,11.4 线性映射的零空间与值域,11.1,11.1 线性空间,11.1.1 线性空间的概念,在我们的观念中，我们生活于其中的空间，是由点组成的。,在空间中取定一点O，见图11.1-1，则空间中的点与位置向量r，建立一一对应关系，这样我们的生活空间可以看作是向量空间(本章中用加粗的字母表示向量)。,空间中的向量,可以相加,也可以乘一数。见图11.1-2、图11.1-3。,11.1,因而在向量空间中，形如,的式子是有意义的，这个式子称为向量a与b的线性组合。人们把加法与数乘叫线性运算。于是人们也把向量空间叫线性空间。,ka+lb,线性运算具有下述性质：,VS1：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+(-a)=0,a+0=a,11.1,数乘满足下列运算律：,VS2：(a+b)=a+b,(+)a=a+a,1 a=a,0 a=0(左边为数0，右边为向量0),VS 是Vector Space 的缩写，VS1可分别读作：向量空间的第一组性质。类似的可说VS2。,在整个数学中，这种具有线性运算并且满足VS1、VS2八条运算规律的集合太多了。例如，闭区间a,b上的多项式集合，闭区间a,b上所有连续函数构成的集合。,还有后面遇到的R2，R3，Rn，人们把这样的集合叫向量空间,或线性空间。,11.1,定义：,给定集合V,在其上定义了加法和数乘两种运算,满足VS1、VS2八条运算规律,称V为向量空间或线性空间,其中的元素叫向量。,注意，术语“向量空间”和“线性空间”表示一个概念。,例对二元有序数组的集合R2,按照如下定义的加法和数乘：,两向量相加，就是对应分量相加,11.1,数乘向量，就是数乘向量的各个分量,检验R2按照如上定义的加法和数乘，构成一个向量空间,解：记 a=，b=，c=，0=，则,VS1：,由 a+b=，b+a=,即见 a+b=b+a,由 a+(b+c)=,(a+b)+c=,即见 a+(b+c)=(a+b)+c,11.1,即见 a+0=a,即见(a+b)=a+b,由 0+a=a,由 a+(-a)=0,VS2：由(a+b)=，a+b=,即见 a+(-a)=0,由(+)a=，a+a=,即见(+)a=a+a,11.1,即见 1 a=a,即见 0 a=0,由 1 a=a,由 0 a=0,可见，二元有序组的集合R2是一向量空间。,也许你认为上面的检验过程没有必要，因为这八条运算性质的成立几乎是显然的。我们之所以这样做，是想让你实实在在的体验这一检验的过程，因为检验一个空间是否为线性空间，都要遵循相同的检验过程。,11.1,类似地，我们可检验：所有三元有序数组的集合,是一线性空间。,一般地，所有n元有序数组的集合,按照“两向量相加，就是对应分量相加”、“数乘向量，就是数乘向量的各个分量”定义加法与数乘，构成一线性空间。,11.1,解：首先，集合C a,b上可定义加法和数乘，即,Rn是我们今后使用的基本空间，有必要再提醒你，回顾一下这里的加法与数乘是怎么规定的。,例检验闭区间a,b上，所有连续函数的集合C a,b是一线性空间。,(其中，C是continuous 的第一个字母，符号C a,b读作：闭区间a,b上所有连续函数的集合),两个连续函数的和，还是连续函数,连续函数乘一数，还是连续函数,设f,g,h C a,b(即函数f,g,h是集合C a,b的元素)，则,VS1：f+g=g+f,(f+g)+h=f+(g+h),0+f=f,f+(-f)=0,11.1,可见，闭区间a,b上全体函数的集合，也是一个线性空间。你可能会说，此处只是把那八条性质罗列了一遍，而没有给什么“证明”。这是因为这八条性质的成立太显然了，以至于我们不需要再给出什么证明。,类似地，你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间。,VS2：(f+g)=f+g,(+)f=f+f,1 f=f,0 f=0,所有mn矩阵的集合,按矩阵的加法与数乘,成为一线性空间。,应该指出,R2,R3,一般地Rn,这些空间是线性代数中的常用空间。,向量空间是一个“具有两种运算、八条性质的集合”。在向量空间中，我们可以作这两种运算，并且只要遵循八条运算规律，运算就不会出错。,11.2 线性空间的基与维数,11.2.1 线性组合,11.2,给定向量组a1,an,b，若存在常数k1,kn,使得,b=k1a1+kn an,称b可由a1,an 线性表示，也说b是a1,an 的线性组合。,或 a=a1 e1+a2 e2,11.2,在R3中，给出向量组,e1=，e2=，,则向量a=可由e1，e2线性表示；,11.2.2 线性相关,11.2,给定一组向量a1,an，若其中有一个可由其余线性表示,则称向量组a1,an 线性相关。,你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因为没有比这更直白的说法了。你就记住：,“线性相关，就是有一个向量可由其余线性表示”。,这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。,11.2,向量组a1,an 线性相关的充要条件是：,定理：,存在不全为0的数k1,kn，使得,k1a1+kn an=0,证：设a1,an 线性相关，则有一个向量可由其余线性表示。不妨设这个向量就是a1,即存在k2,kn，使得,a1=k2a2+kn an,于是-a1+k2a2+kn an=0,由于k1=-1 0，因而存在不全为0的数k1,kn，使得,k1a1+kn an=0,11.2,：设存在不全为0的数k1,kn，使得,k1a1+kn an=0,不妨设k1 0(k1,kn都一样)，于是,a1=a2 a3-an,即，a1 可由其余线性表示。,由定理，线性相关也可如下定义：,定义：,11.2,若存在不全为0的数k1,kn，使得,k1a1+kn an=0,称向量组a1,an 线性相关。,向量组a1,an 不线性相关，称向量组线性无关，即,k1a1+kn an=0,只有当k1,kn 全为0才成立。,11.2,解：设k1e1+k2 e2=0(右边为向量0),即，,所以，,即，式k1e1+k2 e2=0只有k1,k2 全为0时才成立。故向量组e1，e2 线性无关。,11.2,因为式k1e1+k2 e2+k3 e3=0，只有在k1,k2,k3全为0时才成立。,两个向量a1，a2线性相关，比如a1=ka2，这两个向量共线；,三个向量a1，a2，a3线性相关，比如a1=k2a2+k3a3，即a1在a2，a3张成的平面上，即这三个向量共面。,11.2.3 向量空间的基,11.2,设V是一向量空间，a1,an 为V中的一组向量，满足,a1,an线性无关，,称a1,an 为V中的一组基，ai称为第i个基向量，并称V为n维向量空间。,V中任一向量可由a1,an 唯一线性表示，,有一组基，沿着各个基向量，可画一条坐标轴，于是可建立一个坐标系，见图11.2-1、图11.2-2。,11.2,有一个“坐标系”，每条轴上的单位向量就构成一组“基”。,例如，在R2中，见图11.2-3：,因此，基与坐标系是等价的，通常人们形象的称坐标系为“标架”，而把基向量称为“标架向量”。,e1,e2线性无关，,任一向量可由e1,e2唯一线性表示，,则e1,e2为R2的一组基,且R2为二维向量空间。,再例如，在R3中，,e1,e2,e3线性无关，,任一向量可由e1,e2,e3唯一线性表示，,则e1,e2,e3为R3的一组基，且R3为三维向量空间。,11.2,显然，向量空间中的基不是唯一的。,a1,a2线性无关，,任一向量可由a1,a2唯一线性表示，,即，a1,a2也是R2的一组基。,一般地，在Rn中，使用起来最方便的是基,称e1,e2,en为Rn的标准基。,例如，在R2中，取 a1=，a2=，则,e1=，e2=，en=,11.2.4 向量的坐标表示,11.2,设V为n维向量空间，b1,bn 为V的一组基。,于是，xV，x可表示为b1,bn 的线性组合，即,x=x1 b1+xn bn,应该注意，向量的坐标表示与向量本身是不同的两个概念。向量是一个几何的概念，与坐标系的选取无关；而向量的坐标表示与坐标系的选取有关。,11.2,在n维向量空间V中取定一组基，V中的向量与Rn中的向量便建立了一一对应关系。这种对应还保持向量的线性运算关系。因此，可把Rn看作V的表示。于是，只要在n维向,量空间V中取定一组基，V就可以用Rn来表示，V中的向量就可用Rn中的向量来表示。,11.3 线性映射的矩阵表示,11.3.1 线性映射,11.3,设V，W是两个线性空间，映射A：VW，满足,L1：A(x+y)=Ax+Ay,L2：A(x)=Ax,称A：VW为线性映射，L1,L2称为线性性质。,线性映射在数学中太多了。我们在中学学过的函数,y=Ax,(其中A是直线y=Ax的斜率)就是一个RR的线性映射，因为,11.3,由于,还有，定积分运算同样是一个线性映射。,可见求导运算，是个线性映射。,由于,可见不定积分运算，也是个线性映射。,11.3,在线性代数中，有两个“线性”：一是线性空间，一是线性映射。线性代数主要研究线性空间之间线性映射的各种性质。,下面我们将看到，当在n维线性空间中取定一个基，线性映射就可用一个矩阵来表示。这种表示，使得对线性映射的研究，完全变成了对矩阵的研究。,11.3.2 用矩阵给出线性映射,给出一个mn矩阵A=，按照矩阵乘法，,由y=Ax xRn 给出一个由RnRm的映射，不妨就称为映射A，,A把Rn中的向量x=,映为Rm中的向量 y=。,11.3,例如，给出23矩阵A=，可给出一个R3R2的映射,y=Ax,由矩阵的运算性质可知，由矩阵A给出的映射，具有,由，可知，A把 映为。,由，可知，A把 映为。,.A(x1+x2)=A x1+A x2,.A(x)=Ax,即，由矩阵A给出的映射是一线性映射。,11.3.3 线性映射用矩阵表示,11.3,设V为n维线性空间，W为m维线性空间，T：VW为线性映射,在V中取定一个基,v1,v2,vn,则任一向量v可由v1,v2,vn唯一线性表示,v=x1v1+x2v2+xnvn,于是向量v有坐标表示，从而V可由Rn表示。,在W中取定一个基,w1,w2,wm,11.3,则任一向量w可由w1,w2,wm唯一线性表示,w=y1w 1+y2w2+ymwm,下面来看映射T用什么表示。,T 映v1 到Tv1，Tv1为W中的向量，于是可由w1,w2,wm唯一线性表示,Tv1=a11w1+a21w2+am1wm,类似地，有,于是向量w有坐标表示，从而W可由Rm表示。,Tv2=a12w1+a22w2+am2wm,Tvn=a1nw1+a2nw2+amnwm,11.3,于是，,以这些坐标为列，可构造矩阵A,Tv1 有坐标表示；Tv2 有坐标表示；，,Tvn 有坐标表示；,A=,11.3,下面我们将说明线性映射T：VW，可由线性映射A：RnRm来表示。,由 w=Tv，有 y1 w1+ym wm,=T(x1v1+xnvn),=x1T v1+xnTvn(利用T的线性性质),=x1(a11 w1+a12w2+am1wm),+x2(a12 w1+a22w2+am2wm),+,+xn(a1n w1+a2n w2+amnwm)(将Tvi代入),=(a11 x1+a12 x2+a1nxn)w1(按wi合并项),+(a21 x1+a22 x2+a2nxn)w2,+,+(a m1 x1+a m2 x2+a mnxn)wm,11.3,比较两边，有,y1=a11 x1+a12 x2+a1nxn,y2=a21 x1+a22 x2+a2nxn,ym=am1 x1+am2 x2+amnxn,用矩阵乘法表示：,11.3,于是，线性映射T：VW，可由RnRm的线性映射,Tv的坐标表示 可由矩阵A与v的坐标表示 相乘得到。,y=A x,表示，也说T由A表示。这样对线性映射T的研究，也就化成了对矩阵A的研究。,11.3.4 矩阵运算的映射意义,11.3,设 T：VW，由y=A x表示，F：VW，由y=Bx表示，,则 T+F：VW，由y=(A+B)x表示，,即：矩阵的加法，表示线性映射的和。,设 T：UV，由y=B x表示，F：VW，由z=A y表示，,则复合映射,F o T：UW,由 z=Ay=ABx 表示，,可见，矩阵的乘法表示线性映射的复合。,11.4 线性映射的零空间与值域,11.4.1 子空间,11.4,设V是向量空间，若V的非空子集FV，对于V中的加法和数乘是封闭的，即x，yF，有,x+y F，(x+y还在F中),例如，R3中，所有第三分量是0的向量,x F，(x还在F中),称F为V的线性子空间(即，F按照V中的加法与数乘也是一个线性空间)。,是R3的一个子空间，即XOY坐标平面。,11.4.2 线性映射的零空间与值域,11.4,线性映射A：RnRm，确定两个重要的子空间。,A的零空间：Rn中所有被A映到0的那些向量的集合,x|x Rn，Ax=0,称为A的零空间(null space)，记为N(A)，即,N(A)=x|x Rn，Ax=0,线性映射A的零空间也称为A的核(kernel)。,我们来验证N(A)是Rn的子空间：,设x1,x2 N(A)，即Ax1=0，Ax2=0，则,A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0，A(kx1)=kAx1=0,即见，若x1,x2在零空间中，则x1+x2 和kx1也在零空间中，A的零空间对加法和数乘是封闭的，因而是是Rn的子空间。,11.4,线性映射A：RnRm，确定两个重要的子空间。,y|y Rm，存在x Rn，使得Ax=y,称为A的值域空间(range)。A的值域常记为A(Rn)，即,A(Rn)=y|y Rm，存在x Rn，使得Ax=y,我们来验证A(Rn)是Rm的子空间：,设y1,y2 A(Rn)，即x1,x2，使得,Ax1=y1，Ax2=y2,于是 y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2),即见y1+y2 是x1+x2在A下的象，因而y1+y2 A(Rn)。,k y1=k Ax1=Akx1，,即见k y1是kx1在A下的象，因而k y1 A(Rn),因而A(Rn)对加法和数乘是封闭的。,11.4,x=x1 e1+xn en,于是,线性映射的零空间的维数叫线性映射的零化度(nullity),值域空间的维数叫线性映射的秩。,对y A(Rn)，x Rn，使得y=Ax，注意x可由基向量e1,e2,en唯一线性表示,y=A(x1e1+xn en),=x1A e1+xn A en,这说明，值域空间的任一向量，都是向量组Ae1,Aen的线性组合。但要注意，Ae1,Aen一般不是一个基。,11.4,例线性映射A：R3 R3，由下式给出：,求线性映射A的零空间、值域、零化度与秩。,解：见图11.4-1。,由于对任一向量 x=,有Ax，,11.4,可以看出，A的秩与零化度满足关系：,称此为秩加零化度定理。,对任一形为x=的向量，有Ax=。,可见，A的零空间，是基向量e3所在的直线(也就是过去所说的Z轴)。值域空间是基向量e1,e2张成的平面(也就是过去所说的XOY平面)，e3所在的直线上的向量被映成了0向量(也说e3轴被零化了)。,直观上，e3方向被“坍缩”(坍塌萎缩)了，整个三维空间坍缩为二维，坍缩掉了一维，保持了二维。坍缩掉的维数，就是A的零化度。保持的维数，就是A的秩。,A的秩+A的零化度=A的定义域R3的维数,11.4,例线性映射A：R3 R3，由下式给出：,求线性映射A的零空间、值域、零化度与秩。,解：见图11.4-2。,由于对任一向量 x=,有Ax，,11.4,A的秩+A的零化度=A的定义域R3的维数,可见，A的零空间，是基向量e1,e2张成的平面(也就是过去所说的XOY平面)，值域空间是基向量e3所在的直线(也就是过去所说的Z轴)。基向量e1,e2张成的整个平面上的向量被映成了0向量(也说整个平面被零化了)。,直观上，e1,e2张成的整个平面被“坍缩”了，整个三维空间坍缩为一维，坍缩掉了二维，保持了一维。坍缩掉的维数，就是A的零化度。保持的维数，就是A的秩。可以看出，A的秩与零化度仍然满足关系：,对任一形为x=的向量，有Ax=。,11.4.3 线性映射与线性方程组解的关系,11.4,线性方程组,称为齐次线性方程组。,线性方程组,称为非齐次线性方程组。,11.4,齐次线性方程组与非齐次线性方程组的区别，就是右边常数项是0，还是不是0。,齐次线性方程组可记为,Ax=b,记 A=，x=，0=，b=。,Ax=0,非齐次线性方程组可记为,可见，求齐次线性方程组的解，也就是求线性映射,y=Ax,的零空间。由此可知齐次线性方程组的解集是一个线性空间。,11.4,对非齐次线性方程组，当bA(Rn)，即b不在线性映射的值域中，没有x被A映到b，方程组也就没有解。当b在线性映射的值域中，则有x被A映为b，x就是非齐次线性方程组一个解。看非齐次线性方程组有无解，也就是看b是否在A的值域中。,