高二数学辗转相除法.ppt

辗转相除法与更相减损术,算 法 案 例,高二.五班,1.回顾算法的三种表示方法：,复习引入:,2.思考：,小学学过的求两个数的最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,例：求下面两个正整数的最大公约数：,求22和6的最大公约数,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？,例：如何算出8251和6105的最大公约数？,22634；6 412；4 220,6cm,22cm,？,试用数学的方法，求得此正方形的边长？,新课讲解：,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,欧几里德,辗转相除法,又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法,其可追溯至3000年前。,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,(1)、算法步骤：,第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.,(2)、程序框图：,(3)、程序：,INPUT“m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（1）、九章算术中的更相减损术：,1、背景介绍：,（2）、现代数学中的更相减损术：,2、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例:用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以，98和63的最大公约数等于7,3、方法：,1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,(1)、算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.,*思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,(2)、程序框图,(3)、程序,INPUT“a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND,比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,小结,学以致用,1.求解不定方程326X+78Y=2的一组 整数解,学以致用,2.设计一个程序，求两个正整数的最小公倍数。（提示：最小公倍数=两数之积除以最大公约数）,学以致用,3.甲，乙，丙三种溶液分别重147克，343克，133克，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶 最多装多少？,作业：1、P47 12、P50 2,