预备知识函数(应用高等数学).ppt
高等应用数学,学习高等数学的目的、作用、内容及方法,一、为什么要学习高等数学？二、高等数学主要学些什么？三、怎样才能学好高等数学？,为什么要学习高等数学？,高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中的“数量关系”与“空间形式”。世界上任何客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。,为什么要学习高等数学？,凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，无处不用数学。,为什么要学习高等数学？,数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形式和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型。,为什么要学习高等数学？,要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学恩格斯 数学是打开科学大门的钥匙培根德国大数学家、天文学家、物理学家高斯说：“数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。”,为什么要学习高等数学？,一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步马克思 培根曾说：“数学使人精细”伽里略、惠更斯、牛顿都认为：“科学工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用要大”,为什么要学习高等数学？,第一个诺贝尔物理奖得主伦琴在回答“科学家需要什么样的修养”这一问题时，说：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”被誉为“计算机之父”的冯诺伊曼认为“数学处于人类智慧的中心领域”,高等数学主要学些什么？,广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学。一般认为，16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。初等数学：包括小学的算术，中学的代数，平面几何，立体几何，平面三角等。大学里开设的高等数学课的内容有微积分学和级数、常微分方程，但主要部分是微积分学。,高等数学主要学些什么？,应用高等数学的内容主要是微积分学。微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。应用高等数学主要内容包括：函数、极限、连续、一元函数微分学和一元函数积分学。,怎样才能学好数学？,数学具有三个显著的特点：（1）高度的抽象性（2）严谨的逻辑性（3）广泛的应用性,怎样才能学好大学数学？,大学数学的教学与中学数学的教学相比，有以下三个显著的差别：1、课时少。每周一次课，一般不可能课堂提问和课堂练习。2、时间长。每一次课是连续讲授两节课。3、进度快。由于高等数学的内容极为丰富，而学时又有限，因此，每次上课内容较多。,基本要求,预习听课（适当记笔记）总结复习（做作业，看课外书）,预备知识 函数,在某过程中数值保持不变的量称为常量,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,用字母x,y,t等表示变量.,预备知识 函数,常量与变量,一、函数的有关概念,逻辑符号,定义1,1、函数的定义,记作,一、函数的有关概念,一、函数的有关概念,2、函数的三要素,定义域,对应法则,值域,两个函数相同：定义域和对应法则都相同,两个基本要素,在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。对于用函数解析式表示的函数，它的定义域应使函数表达式本身有意义.,（1）在分式中，分母不能为零；,（2）在根式中，负数不能开偶次方根；,（3）在对数式中，真数不能为零和负数；,（4）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；,（5）如果函数表达式中含有分式、根式、对数式及反三角函数式，则应取各部分定义域的交集.,一、函数的有关概念,函数定义域的求法,一、函数的有关概念,3、函数记号,一、函数的有关概念,4、函数的表示方法,表格法、图示法和解析法（公式法）.,公式法（解析法）:抽象，简明，便于研究函数的性质,图示法：形象、直观、粗略,表格法：便于查找函数值,一、函数的有关概念,5、分段函数,定义2 在自变量不同的取值范围内用不同的解析式来表示的函数称为分段函数。,注意：,1.分段函数的定义域是其各段子区间的并集；,2.分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数.,一、函数的有关概念,6、显函数与隐函数,定义3,例如：,注：不是任意方程都能确定隐函数,定义4,且有,若,则称 f(x)为偶函数;,若,则称 f(x)为奇函数.,说明:,在 x=0 有定义,则当,必有,(1)奇、偶函数的定义域必须对称于坐标原点.,为奇函数时,二、函数的基本性质,1、奇偶性,奇函数,偶函数,几何特征,二、函数的基本性质,1、奇偶性,奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。如图,二、函数的基本性质,2、周期性,定义5,注：(1)T为周期。(2)如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么就把这个正数称为最小正周期。,当,时,称,为 D上的,单调递增函数;,称,为 D 上的,单调递减函数；,的单调增区间。,区间D称为,的单调减区间。,区间D称为,二、函数的基本性质,3、单调性,定义6,单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数；,单调增区间与单调减区间统称为单调区间。,二、函数的基本性质,4、有界性,都有,定义7,(1)若,使得,则称函数,在I上有界，,或称函数,是有界函数。,使得,(2)若,都,则称函数,在I上无界，,或称函数,是无界函数。,几何特征,二、函数的基本性质,4、有界性,三、反函数,1、反函数的定义,定义8,习惯上将x作为自变量,矫形反函数,直接反函数,三、反函数,2、反函数的求法,求反函数的过程,直接反函数,矫形反函数,三、反函数,3、反函数的性质,性质1 反函数的图形与原函数的图形关于直线y=x对称。,性质2 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。,性质3 单调函数一定有反函数。,注：不是所有函数都存在反函数。,一一对应函数有反函数。,四、基本初等函数,定义9 以下六种函数统称为基本初等函数,（2）幂函数,（5）三角函数,（3）指数函数,（6）反三角函数,（4）对数函数,（1）常数函数,四、基本初等函数,（1）常数函数,四、基本初等函数,（2）幂函数,四、基本初等函数,（2）幂函数,2023/9/19,36,同一坐标系中幂函数的图象,四、基本初等函数,（2）幂函数,四、基本初等函数,（3）指数函数,四、基本初等函数,指数运算性质,四、基本初等函数,（4）对数函数,四、基本初等函数,对数运算性质,自然对数,正弦函数,余弦函数,四、基本初等函数,（5）三角函数,四、基本初等函数,（5）三角函数,四、基本初等函数,（5）三角函数,四、基本初等函数,（6）反三角函数,四、基本初等函数,（6）反三角函数,四、基本初等函数,（6）反三角函数,四、基本初等函数,（6）反三角函数,五、复合函数,1、复合函数,定义10,由函数,可构成复合函数,例,五、复合函数,1、复合函数,复合函数的分解：分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.,2、简单函数,定义11 由基本初等函数经过有限次四则运算所得到的的函数，通常称为简单函数。,六、初等函数,定义12 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数，否则就是非初等函数。,注：分段函数一定不是初等函数。,都是初等函数,所以幂指函数也是初等函数,六、初等函数,
