11线性空间的概念.ppt
线 性 空 间 引 论,Department of Mathematics,College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,课前预习、课中提高效率、课后复习,作业要求,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,线 性 空 间 与 线 性 映 射,第 一 章,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；,2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,3,理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,了解线性空间同构的含义.,重点:线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与 坐标变换.难点:基变换与坐标变换,常见数域：复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；,一,数域的定义,（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域）,说明：,是一个数域,例1证明：数集,为数域,二、数域的性质定理,任意数域F都包括有理数域Q,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商，,定义1 设 是一个非空集合，为一数域在V上定义运算如下：)对任意两个元素，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作,三,线性空间的定义和举例,若对于任一数 与任一元素，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的线性空间记为:,八条运算规律:,例1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作,一般线性空间的判定方法,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律,例2 数域F上次数小于n的多项式的全体，记作：,例3,不是线性空间,可以验证：构成数域F上的线性空间,是一个线性空间.,例5.正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,下面一一验证八条线性运算规律：,证明:,所以对定义的加法与乘数运算封闭,所以 对所定义的运算构成线性空间,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例6.个有序实数组成的数组的全体,解答:,1零元素是唯一的,证明:,假设 是线性空间V中的两个零元素，,由于,所以,二,线性空间的性质,2负元素是唯一的,证明,则有,向量 的负元素记为,证明,4如果，则 或.,证明,假设,那么,又,同理可证：若 则有,证：设,而数域F中有无限多个不同的数，所以V中有无限,多个不同的向量.,注：只含一个向量零向量的线性空间称为零空间.,练习：,证明：数域F 上的线性空间V若含有一个非零,向量，则V一定含有无穷多个向量,定义:设 为数域 上的一个 维线性空间，为 的一个子集，如果 对于 的两种运 算(加法与数乘运算)也构成数域 上的线性 空间,那么我们称 为 的一个子空间。,四.线性子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是：对于 中的线性运算封闭,例7.对于任意一个有限维线性空间,它必有两个平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间 本身。,例8.设,那么线性方程组 的全部解为线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。,当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。,因为对,例9,有,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,于是,有,满足,且,设 是线性空间 中的向量，则由 的所有线性组合：构成的集合是 的子空间，称为由张成（生成）的子空间，记为：,或：,零向量集合与 本身称为平凡子空间，非平凡子空间称为 的真子空间,张成子空间的定义:,思考题,思考题解答,八条运算规律:,例1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作,一般线性空间的判定方法,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律,例2,例3,不是线性空间,例5.正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,下面一一验证八条线性运算规律：,证明:,所以对定义的加法与乘数运算封闭,所以 对所定义的运算构成线性空间,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例6.个有序实数组成的数组的全体,解答:,例7.设 是一个域，令：,特别的，对于含有 个元素的有限域，由 构成的线性空间 记为：,1零元素是唯一的,四,线性空间的性质,2负元素是唯一的,4如果，则 或.,定义:设 为数域 上的一个 维线性空间，为 的一个子集，如果 对于 的两种运 算(加法与数乘运算)也构成数域 上的线性 空间,那么我们称 为 的一个子空间。,五.线性子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是：对于 中的线性运算封闭,例7.对于任意一个有限维线性空间,它必有两个平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间 本身。,例8.设,那么线性方程组 的全部解为线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。,当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。,因为对,例9,有,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,于是,有,满足,且,设 是线性空间 中的向量，则由 的所有线性组合：构成的集合是 的子空间，称为由张成（生成）的子空间，记为：,或：,零向量集合与 本身称为平凡子空间，非平凡子空间称为 的真子空间,张成子空间的定义:,再,见,
