线性代数课件-08向量组的线性关系.ppt

1,第八讲 向量组的线性关系,主要内容,维向量、向量组的概念,线性组合与线性表示；,线性相关与线性无关；,向量组线性相关性的重要结论.,基本要求,理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；,理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应；,2,理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系.知道两个向量组等价的概念；,理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系.,3,一、维向量,第一节 向量组及其线性组合,定义,个有次序的数 所组成的数组称为 维向量，,这 个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第 个分量.,说明,向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.,个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向 量，也就是行矩阵和列矩阵.,规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算.,4,分量对应相同的列向量和行向量,按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同的向量.,列向量常用小写黑体字母 表示，或用 希腊字母 表示.行向量则用列向量 的转置表示.如,5,“向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代数的几何理论.,把线性方程组的理论、矩阵理论“翻译”成几何语言.,可以把有向线段作为 维向量的几何形象，,但是当 时，维向量就不再有这种几何形象了.,点的集合通常称为“空间”，引入坐标系后，点的坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量的集合称为向量空间，沿用几何术语，如,3维空间,3维向量空间,6,3维空间中的一个平面,3维向量空间中的一个平面,维向量空间,维向量空间中的一个超平面,7,二、向量组,1.定义,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组.,例如,一个 矩阵的全体列向量就是一个含 个 维 列向量的向量组；,一个 矩阵的全体行向量就是一个含 个 维 行向量的向量组；,方程 的全体解是一个 维列向量组成 的向量组.,注意,向量组可以是含有有限个向量，也可以是含 有无限个向量.,8,2.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系,矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵.,列向量组,行向量组,9,三、向量组的线性组合,定义,给定向量组，对于任何一组实数，表达式,称为向量组 的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.,说明,向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.,线性组合的系数可以是任意实数.,10,四、线性表示的概念,定义,给定向量组 和向量，如果存在一组数，使得,即 是向量组 的线性组合，则称向量 能由向量组 线性表示.,定义,设有两个向量组 和，,如果向量组 中的每个向量都能由向量组线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示.,如果向量组 与向量组 能互相线性表示，则称这两个向量组等价.,11,说明,向量 能由向量组 线性表示，就是存 在，使,也就是线性方程 有解.,向量组 能由向量组 线性 表示，就是存在 组数,使得,12,记作,其中矩阵 称为这一线性表示的系数矩阵.,即向量组 能由向量组 线性表示，就是存在矩阵，使得,也就是矩阵方程 有解.,这就是向量组 由向量组 线性表示的矩阵表示式.,13,若，,则矩阵 的列向量组能由矩阵 的列向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵：,14,若矩阵 与矩阵 行等价，则 的行向量组与 的行向量组等价；,若矩阵 与矩阵 列等价，则 的列向量组与 的列向量组等价.,证,矩阵 与矩阵 行等价,存在可逆矩阵，使得,的行向量组能由 的行向量组线性表示；,矩阵 与矩阵 行等价,存在可逆矩阵，使得,的行向量组能由 的行向量组线性表示.,15,五、线性表示与方程的联系,根据以上说明，线性表示与方程的联系为：,向量 能由向量组 线性表示,线性方程 有解.,向量组 能由向量组 线性表示,矩阵方程 有解.,向量组 与向量组 等价,矩阵方程 有解,而且矩阵方程 也有解.,16,六、线性表示的判定,定理1,向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩.,定理2,向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩，,即,推论,其中 和 分别时向量组 和 所构成的矩阵.,根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得,证明,（上章定理5）,（上章定理7）,17,解,析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的求法.由定义知，向量 能由向量组 线性表示,方程 有解，即 有解，,这表明 由向量组 线性表示的表示式与方程 的解是一一对应的.,例题讲解,18,记,可见,因此，向量 能由向量组 线性表示.,例题讲解,19,由上述行最简形，可得方程 的通解为,因而，所求的表示式为,例题讲解,20,证明向量组 与向量组 等价.,例2 设,证,例题讲解,析：此题的目的是运用定理2的推论来证明两向量组等价.,记,21,例题讲解,而且,由以上可见,因此，向量组 与向量组 等价.,22,说明,定理2的有力、简洁之处在于它把下述两个问题等价起来：,向量组 能由向量组 线性表示,前者是抽象的 维向量空间 中的问题，而后者则是具体的，可程式化计算的问题.,关系式 仅给出向量组 与向量组 等价的信息，如果要解决它们是如何相互线性表示的，即要求出 组与 组相互表示的系数矩阵，亦即要求矩阵方程 与，需进一步求矩阵 或 的行最简形.,23,例题讲解,例3（定理3）设向量组 能由向量组 线性表示，则,证,记,能由向量组 线性表示,（由定理2）,（由矩阵的秩的性质）,说明,此定理可上章定理8对应.,存在，使得，从而由上章定理8，有,24,定理1与上章定理5对应、定理2与上章定理7对应、定理3与上章定理8对应，这些对应关系，是以向量组与矩阵的对应关系为基础的，反映出方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间可以转换，例如：,可作如下的解释:,矩阵语言：,方程语言：,是 与 的乘积矩阵；,是矩阵方程 的一个解；,几何语言：,向量组 能由向量组 线性表示，是这一表示的系数矩阵.,25,例题讲解,例4 设 维向量组 构成 矩阵，阶单位矩阵 的列向量组叫做 维单位坐标向量组.证明 维单位坐标向量组 能由向量组 线性表示的充要条件是,证,能由向量组 线性表示,（由定理2）,而,且,所以,因此,26,说明,本例有两方面的意义：,中任一向量组 都能由 组线性表示，反过来，如果 组能由向量组 线性表示，那么 组应满足是么条件呢，本例给出了它的充要条件.,当 为 阶方阵时，矩阵方程 有解的充要条件是 可逆，即 为满秩矩阵，且其唯一解：,本例“翻译”成其它语言为：,方程语言：,方程 有解的充要条件为,即 的秩等于 的行数（称为行满秩矩阵）.,27,矩阵语言：,存在矩阵 使 的充要条件是；,存在矩阵 使 的充要条件是.,显然，当 时，就是 的逆阵，因此，上述的结论可以看作逆阵概念的推广.,28,七、小结,掌握几何语言，即掌握本章中的概念（定义）是 学好本章的关键.,方程组理论是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建 立起来的，几何的基本元素是向量，而向量组可 等同于矩阵，因此，矩阵是连结方程组理论与几 何理论的纽带，又是解决问题是最常用的方法.,两个矩阵等价与两个向量组等价的区别和联系：,区别：两个同型矩阵 与 等价是指 可经过有限次初等变换变成，两个不同型矩阵是无所谓等价的；两个向量组等价是指它们能够相互线性表示，它们各自所含向量的个数可以不一样.,29,联系：若 与 行等价，则 与 的行向量组等价；若 与 列等价，则 与 的列向量等价；若 与 等价但非行等价也非列等价，则 与 的行向量组与列向量组都不等价.,反过来，设两个向量组等价，若它们所含向量个数不相同，则它们对应的两个矩阵不同型，显然不等价；若它们所含个数相同，则它们对应的两个矩阵列等价，但不一定行等价.,30,一、线性相关与线性无关的概念,第二节 向量组的线性相关性,定义,给定向量组，如果存在不全为零的数，使,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关.,说明,说向量组 线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用 的情形：,当 时，向量组只含一个向量.,向量组，当 时是线性相关的，当 时是线性无关的.,向量组 线性无关，就是不存在不全 为零的数，使,31,换句话说：若向量组 线性无关，且,则,零向量可以是任何向量组的线性组合：,如果组合系数可以不全为零，则 线性相关；如果组合系数必须全为零，则线性无关.,若向量组 线性相关，则存在不全为 零的数，使,不妨设，则有,32,所以，若向量组 线性相关，则 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示.此结论反之也成立：,若向量组 中某个向量能有其余 个向量线性表示，则向量组 线性相关.,存在不全为零的数，使,就是方程组 有非零解.,证明,33,二、线性相关与齐次方程组的联系,向量组 线性相关,齐次线性方程组,有非零解.,向量组 线性无关,齐次线性方程组,只有零解.,34,三、线性相关与线性无关的判定,35,例题讲解,例5 试讨论 维单位坐标向量组的线性相关性.,解,析：此例题的目的是运用定理4，给出单位坐标向量组的线性相关性.,维单位坐标向量组,它所构成的矩阵是 阶单位矩阵,由,知,所以,维单位坐标向量组线性无关.,36,证,析：此题是一个具体问题，根据定理4，需要计算 和.,由此可见,所以,线性相关；,线性无关.,例题讲解,37,例题讲解,注意：,可见,所以,向量组 线性相关；,向量组 线性无关.,38,例7 已知向量组 线性无关，试证向量组 线性无关.,证,析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组 的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组 的线性相关性.,对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义.,因 组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出 组向量，也就无从通过初等行变换等方法求 组的秩，进而判定它是否线性相关.,例题讲解,39,证一,设有 使,即,亦即,因 线性无关，故有,由于此方程组的系数行列式,例题讲解,40,故方程组只有零解，所以向量组 线性无关.,例题讲解,证二,设,即有,因为矩阵 的列向量组线性无关，所以可推知,又因 知方程组 只有零解,所以矩阵 的列向量组 线性无关.,41,例题讲解,证三,因为,可知 可逆，,因此 与 列等价，,从而有,又矩阵 的列向量组线性无关，,所以,因而,所以矩阵 的列向量组 线性无关.,（由定理4）,（由定理4）,42,说明,证二与证三更多地使用矩阵语言，是两种最基本 而奏效的方法.,证一是把证明向量组 线性无关转化为证明齐次 方程组 只有零解，这是讨论 向量组线性相关性时常用的“标准程序”.然后完全 用方程的语言证得结论.,证二是先写出 组由 组线性表示的矩阵表示式，,或,然后把证一的步骤全用矩阵语言来表述.,证三是利用定理4，实现向量组线性无关与矩阵 的秩的直接转换（不用方程作过渡）.,43,四、向量组线性相关性的其它重要结论,向量组 线性相关的充要条件是存在某个向量，使 能由其余 个向量线性表示.,2.（定理5）,（）若向量组 线性相关，则向量 组 也线性相关.,（）个 维向量组成的向量组，当 时一定线性相关.,（）设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的.,证明,证明,证明,44,说明,定理5（）表明，线性相关的向量组添加向量 后，仍然是线性相关的.特别地，含有零向量的 向量组线性相关.反之，线性无关的向量组减少 向量后，仍然是线性无关的.,结论1表明线性相关的向量组中的向量不是“独 立”的.,相应地，向量组 线性无关的充要条件是 中任意一个向量均不能由其余向量线性表示.,这形象地表明，线性无关的向量组中的向量“谁也表示不了谁”.,定理5（）表明，向量个数超过向量维数向量 组线性相关.特别地，在平面中找不到三个线性 无关的向量，在 维超平面中找不到 个线性 无关的向量.,45,例题讲解,证,（1）因为 线性无关，则 线性无关，,又 线性相关，,因此 能由 线性表示.,（2）用反证法,假设 能由 线性表示，即,存在，使,又由（1）知存在，使,从而有,这与 线性无关矛盾.,46,（2）方法二,线性相关,线性无关,而,从而有,由此可知，方程组 无解，,即 不能由 线性表示.,47,例题讲解,解 析：先解(2)，若(2)已解出，(1)自然成立.,48,因此 与 同解，,也就是 与 有相同的线性关系，,由最后的行最简形，易知,例题讲解,49,因而，向量组 能由向量组 线性表示为,其中，矩阵,因此,即,1,2,例题讲解,50,五、小结,向量组线性相关、线性无关的几何解释，先以 3维向量 为例：,共线,（由定义）,存在实数，使，即两向量分量对应成比例,（几何事实）,存在不全为零的数，使,向量组 线性相关,（线性相关的定义）,因此，形象地看，,51,向量 确定了唯一的一张通过原点的平面,（几何事实）,对任意不全为零的实数，总有,（向量和的三角形法则）,若有成立，则必有,向量组线性无关.,（线性无关的定义）,因此，形象地看，,52,类似地，有,维向量 线性相关,共一个 维超平面.,维向量 线性无关,不在同一 维超平面.,53,矩阵的初等行变换对矩阵的行量组和列向量组 的作用：,设矩阵 经初等行变换变成,矩阵 与 的行向量组等价，即它们能相互线 性表示，所以齐次方程 与 同解，这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础.,矩阵 与 的列向量组有相同的线性关系，这 是用初等行变换求向量组的最大无关组，并将 其余向量用最大无关组线性表示的理论基础.,54,向量组 与向量组 有相同的线性关系是指,与 一一对应；,的任一部分组,具有某种线性关系，对应的 的部分组 也有相同的线性关系.,55,作业：,P108 1.3.4.5.7.11.12.,56,定理2推论的证明,证,向量组 与向量组 等价,向量组 能由向量组 线性表示,向量组 与向量组 等价,向量组 能由向量组 线性表示,又因为,因此,证毕,（由定理2）,（由定理2）,57,若向量组 中某个向量能有其余 个向量线性表示，则向量组 线性相关.,证,向量线性表示，,向量组 中某个向量能有其余 个,不妨设 能由 线性表示，,即存在 使,于是,向量组 线性相关.,证毕,显然 个数 不全为零，所以,58,证,向量组 线性相关，,则存在不全为零的 个数，使,则有,向量组 线性相关.,（由定义）,59,向量组 线性相关.,向量组 线性相关.,证毕,60,个 维向量组成的向量组，当 时一定线性相关.,证,设有 个 维向量,记,当 时，则有,证毕,61,设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的.,证,记,因为 线性无关，所以,因为 线性无关，所以,又,故有,因此,因而方程组 有唯一解，即有,能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的.,证毕,