电路课件电路07一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt

电路,第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7-1-7-8,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,本章重点,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,内容提要本章讨论用微分方程描述电路，主要是RC和RL电路。介绍一阶电路经典法，及一阶电路时间常数概念。在一阶电路基础上用经典法分析二阶电路。还介绍下列重要概念：零输入响应 零状态响应 全响应 瞬态分量 稳态分量 阶跃响应 冲激响应,7-1 动态电路的方程及其初始条件,动态电路：含动态元件电容和电感电路。动态电路方程：以电流和电压为变量的微分方程或微分-积分方程。一阶电路：电路仅一个动态元件，可把动态元件以外电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换，建立一阶常微分方程。含2或n个动态元件，方程为2或n阶微分方程。动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化时(如电路中电源或无源元件断开或接入，信号突然注入等)，可能使电路改变原来工作状态，转变到另一工作状态，需经历一个过程，工程上称过渡过程。电路结构或参数变化统称“换路”，t=0时刻进行。换路前最终时刻记为t=0-，换路后最初时刻记为t=0+，换路经历时间为0-到0+。,经典法,分析动态电路过渡过程方法之一：根据KCL、KVL和支路VCR建立描述电路方程，以时间为自变量的线性常微分方程，求解常微分方程，得电路所求变量(电压或电流)。称经典法，是一种在时间域进行的分析方法。经典法求解常微分方程时，必须根据电路初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶，初始条件指电路中变量(电压或电流)及其(n-1)阶导数在t=0+时的值，也称初始值。电容uc和电感iL初始值，即uc(0+)和iL(0+)称独立初始条件，其余称非独立初始条件。,7-1动态电路方程及初始条件,线性电容换路瞬间情况,线性电容在任意时刻t，其电荷、电压与电流关系：q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t00-，t=0+得：从上2式可见，换路前后，即0-到0+瞬间，电流ic(t)为有限值，则式2式右方积分项为零，电容上电荷和电压不发生跃变，即：q(0+)q(0-)(7-2a)uc(0+)uc(0-)(7-2b)一个在t0-储存电荷为q(0-)，电压uc(0-)U0电容，换路瞬间不发生跃变，有uc(0+)=uc(0-)=U0，可见在换路瞬间，电容可视为电压值为U0电压源。一个在t=0-不带电荷电容，换路瞬间不发生跃变，有uc(0+)=uc(0-)=0，换路瞬间电容相当于短路。,7-1动态电路方程及初始条件,线性电感换路瞬间情况,线性电感磁通链与电流关系：令t00-，t0+有：从0-到0+瞬间，电压uL(t)为有限值，式中右方积分项将为零，电感中磁通链和电流不发生跃变，即：L(0+)L(0-)(7-4a)iL(0+)iL(0-)(7-4b)对t0-时电流为I0电感，换路瞬间不发生跃变，有iL(0+)iL(0-)I0，在换路瞬间可视为I0电流源。对t0-时电流为零电感，换路瞬间不发生跃变有iL(0+)iL(0-)0，在换路瞬间相当于开路。,7-1动态电路方程及初始条件,初始条件,q(0+)q(0-)(6-2a)uc(0+)uc(0-)(6-2b)L(0+)L(0-)(6-4a)iL(0+)iL(0-)(6-4b)分别说明换路前后电容电流和电感电压为有限值条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。称换路定则。动态电路独立初始条件：电容uc(0+)和电感iL(0+)，一般可根据在t=0-时值(即电路发生换路前状态)uc(0-)和iL(0-)确定。该电路非独立初始条件，即电阻电压或电流、电容电流、电感电压等需通过已知独立初始条件求得。,7-1动态电路方程及初始条件,例 7-1,图6-1直流电压源U0。电压和电流恒定时打开S。求uc(0+)、iL(0+)、ic(0+)、uL(0+)和uR2(0+)。解 根据t0-计算uc(0-)和uL(0-)。开关打开前，电压和电流恒定不变，有：电容电流和电感电压均为零(icCduc/dt，uLLdiL/dt)，即电容相当于开路，电感相当于短路：换路时，iL和uc不会跃变，uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。为求t=0+其他初始值，把已知uc(0+)和iL(0-)分别以电压源和电流源替代，得t=0+时等效电路图7-1b。求出：,7-1动态电路方程及初始条件,确定初始值的步骤:,（1）由换路前电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；（2）由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。（3）画0+等效电路（初始值等效电路）：换路后，电容用电压源、电感用电流源替代。激励用us(0+)、is(0+)的直流源替代。由0+电路求所需各变量的0+值。,7-1动态电路方程及初始条件,-一阶电路的零输入响应,零输入响应：动态电路在没有外施激励时，由电路中动态元件初始储能引起的响应。,RC电路零输入响应-,图-2，RC电路，开关S闭合前C已充电，uc=U0。S闭合后，电容储能通过电阻以热能形式释放。把S动作时刻取为计时起点(t=0)。开关闭合后，即t0+时，根据KVL得 uR-uc=0而uR=Ri，将 代入，有一阶齐次微分方程，初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0，令通解uc=Aept，代入有(RCp+1)Aept=0相应特征方程：RCp+1=0 特征根：uc(0+)=uc(0-)=U0代入uc=Aept，积分常数 A=uc(0+)=U0求得满足初始值微分方程的解为放电过程中电容电压uc表达式。,7-2一阶电路的零输入响应,RC电路零输入响应-2,电路中电流电阻上电压从上式可见，电压uc、uR及电流i按同样指数规律衰减。衰减快慢取决于指数中 大小。由于 是电路特征方程的特征根，仅取决于电路结构和元件参数。当电阻为，电容为F时，乘积RC单位为s，称RC电路时间常数，用表示。引入，电容uc和电流i分别表示为：大小反映一阶电路过渡过程进展速度，是反映过渡过程特性的一个重要量。可计算得：t0时，uc(0)U0e0U0 t=时，uc()=U0e-10.368U0,7-2一阶电路的零输入响应,RC电路零输入响应-3,零输入响应在任一时刻t0值，经一个可表示为即经过一个时间常数后，衰减了63.8，或为原值36.8。t=2，t3，t4，时刻电容电压值列于表7-1。从表可见，理论上要经无限长时间uc才衰减为零值。但工程上一般认为换路后，经过3-5时间过渡过程即告结束。,7-2一阶电路的零输入响应,uc、uR和i随时间变化曲线,图7-3为uc、uR和i随时间变化曲线。时间常数，可从uc或ic曲线用几何方法求得。图7-4，取uc曲线任意一点A，过A点作切线AC，图中次切距：即在时间坐标上次切距长度等于时间常数。说明曲线上任意一点，如以该点斜率为固定变化率衰减，经过时间为零值。,7-2一阶电路的零输入响应,的几何意义,放电过程中，电容放出能量为电阻消耗；最后，原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。即,7-2一阶电路的零输入响应,RL电路零输入响应-1,图7-5a开关S动作前电压和电流已恒定，电感中电流I0=U0/R0=i(0-)。t=0时开关由1合到2，有初始电流I0的电感L和电阻R连接，构成闭合回路，如图b。t0，根据KVL有 uR+uL=0而uR=Ri，uL=Ldi/dt，电路微分方程：一阶齐次微分方程。令iAept，得相应特征方程：Lp+R0特征根：电流为：根据i(0+)i(0-)I0，代入上式可求得Ai(0+)I0，有,7-2一阶电路的零输入响应,RL电路零输入响应-2,电阻和电感电压分别为：与RC电路类似，令 称RL电路时间常数，上述各式写为：图7-6分别为i、uL和uR随时间变化曲线。,7-2一阶电路的零输入响应,例 7-2-1,图7-7一台300kW汽轮发电机励磁回路。已知励磁绕组电阻R=0.189，电感L0.398H，直流电压U35V。电压表量程为50V，内阻Rv5k。开关未断时，电路中电流已恒定不变。t0断开开关。求：(1)电阻、电感回路时间常数；(2)电流i的初始值和开关断开后电流i的最终值；(3)电流i和电压表处的电压uv；(4)开关刚断开时，电压表处的电压。,7-2一阶电路的零输入响应,例 7-2-2,解(1)时间常数(2)开关断开前，电流恒定不变，电感L两端电压为零，故 电感中电流不能跃变，电流初始值i(0+)i(0-)185.2A。(3)按 可得 i185.2e-12560t A 电压表处的电压 uv-Rvi-5103185.2e-12560t V=-926e-12560t kV(4)开关刚断开时，电压表处的电压 uv(0+)-926 kV此时电压表要承受很高电压，绝对值将远大于直流电源电压U，且初始瞬间电流很大，可能损坏电压表。可见，切断电感电流时必须考虑释放磁场能量。如磁场能量较大，而又必须在短时间内完成切断电流，则必须考虑如何熄灭电弧(一般出现在开关处)问题。,7-2一阶电路的零输入响应,例7-3-1,图7-8a开关S原在位置1电路已稳态。t=0时开关由1合向2，求t0+时电流i(t)。解 S位置1得uc(0-)=uc(0+)=6V等效电阻Req用外施电源法求，图b。u=6i2+2ii2代入u=6i2+2i得：时间常数所以：,7-2一阶电路的零输入响应,求i(t)另一方法略,习 题,P 191 题7-4,7-2一阶电路的零输入响应,7-3 一阶电路的零状态响应,零状态响应：电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。图7-10，RC串联，S闭合前电路处于零初始状态，uc(0-)=0。t=0时刻，S闭合，接入直流电压源Us。根据KVL有 uR+ucUsuRRi，代入，得电路微分方程为一阶线性非齐次方程。,RC电路的零状态响应-1,解由两个分量组成，非齐次方程特解uc和对应齐次方程通解u”c,即 uc=uc+u”c不难求得特解 uc=Us齐次方程 通解其中=RC。因此代入初始值，得 A-Us而：uc和i波形如图7-11。电压uc两 个分量uc和uc”示于该图。,7-3一阶电路的零状态响应,RC电路的零状态响应-2,uc以指数形式趋近于最终恒定值Us，到该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。电路达稳定状态(简称稳态)，在这种情况下，特解uc(=Us)称稳态分量。同时可看出uc与外施激励变化规律有关，又称强制分量。非齐次方程通解uc”由于变化规律取决于特征根而与外施激励无关，称自由分量。自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，所以又称瞬态分量。对电流i可作类似解释。,7-3一阶电路的零状态响应,对电容充电过程,RC电路接通直流电压源过程即是电源通过电阻对电容充电过程。在充电过程中，电源供给能量一部分转换成电场能量储存于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗，电阻消耗电能为从上式可见，不论电路中电容C和电阻R数值为多少，充电过程中，电源提供能量只有一半转变成电场能量储存于电容中，另一半为电阻所消耗，就是说，充电效率只有50。,7-3一阶电路的零状态响应,RL电路的零状态响应,图7-12为RL电路，直流电流源电流Is，开关打开前电感电流为零。开关打开后iL(0+)=iL(0-)=0，电路的响应为零状态响应。换路后电路微分方程为初始条件iL(0+)=0。电流iL的 通解为 为时间常数。特解iL=Is，积分常数A=-iL(0+)-Is。所以,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-1,以RL电路为例，讨论正弦电压激励下零状态响应。图7-13a,RL串联电路，外施激励为正弦电压us=Umcos(t+u)，其中u为接通电路时外施电压初相角，又称接入相位角或合闸角。接通后电路方程通解ii+i”，自由分量 为时间常数。i应为特解，设特解为 iImcos(t+)代入上列微分方程，有 RImcos(t+)-LImsin(t+)=Umcos(t+u),7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-2,用待定系数法确定Im和。引入 有：再令 上式左方可写为得 Im|Z|cos(t+)Umcos(t+u)因此可求得待定常数：Im|Z|Um+u或,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-3,特解i方程通解代入初始条件，i(0+)i(0-)0，有于是电流i电阻上电压电感上电压,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-4,由上可见，方程特解或强制分量与外施正弦激励按同频率正弦规律变化，自由分量随时间增长趋于零。最终只剩下强制分量。这种电路需经一个过渡过程，然后达稳定状态。自由分量与开关闭合时刻有关。开关闭合时，若有 则所以：故开关闭合后，电路中不 发生过渡过程而立即进入 稳定状态，i波形图7-13b。,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-5,如开关闭合时，则有即：电流i波形图7-13c。从上式和波形图中看出，当电路时间常数很大，则i”衰减极其缓慢。接通电路后，约经半个周期时间，电流最大瞬时值的绝对值将接近稳态电流振幅的两倍。日光灯原理,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RC电路,分析方法相同：换路后无过渡过程，立即进入稳定状态。换路后约经半个周期，电容电压最大瞬时值的绝对值将接近稳态电压振幅的两倍。可见，RC或RL串联电路与正弦电压接通后，在初始值一定条件下，电路过渡过程与开关动作时刻有关。,7-3一阶电路的零状态响应,7-4 一阶电路的全响应,非零初始状态一阶电路受到激励时，响应称全响应。图7-14已充电电容经电阻接直流Us。设电容原有电压U0，开关S闭合后，根据KVL有初始条件 uc(0+)=uc(0-)=U0方程通解 uc=uc+uc”换路后稳定状态电容电压为特解：uc=Us uc为方程对应齐次方程通解=RC为电路时间常数，有根据初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0，得积分常数 A=U0-Us电容电压是电容压在t0时全响应。,三要素法-1,式(7-5)改写成右边第一项电路零输入响应，右边第二项电路零状态响应，说明一阶电路中，全响应是零输入响应和零状态响应的叠加：全响应(零输入响应)+(零状态响应)式(7-5)又可见，右边第一项是特解，与激励相同，称强制分量，第二项是通解，变化规律取决于电路参数，称自由分量。全响应(强制分量)+(自由分量)直流或正弦激励一阶电路，换路后稳态作特解，自由分量随时间增长按指数规律逐渐衰减为零。又可以表示为 全响应(稳态分量)+(瞬态分量),7-4一阶电路的全响应,三要素法-2,上述分法不同，但全响应是由初始值、特解和时间常数三个要素决定。在直流电源激励下，若初始值为f(0+)，特解为稳态解f()，时间常数为，则全响应f(t)可写为只要知道f(0+)、f()和这三个要素，就可根据式(7-6)直接写出直流激励下一阶电路的全响应，称三要素法。,7-4一阶电路的全响应,一阶电路在正弦电源激励下的响应,一阶电路在正弦电源激励下，电路特解f(t)是时间的正弦函数，上述公式可写为 其中f(t)是特解为稳态响应，f(0+)是t0+时稳态响应初始值，f(0+)与的含义与前述相同。如电路仅含一个储能元件(L或C)，其他部分由电阻和独立电源或受控源连接，仍是一阶电路。求解时，把储能元件以外部分，用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换，然后求得储能元件上电压和电流。如还要求其他支路电压和电流，按变换前原电路进行。,7-4一阶电路的全响应,例 7-4,图7-15a，Us=10V，Is=2A，R=2，L=4H。求S闭合后电路中电流iL和i。解 戴维宁等效图b，其中：Uoc=Us-RIs=(10-22)V=6V Req=R=2 iL(0+)=iL(0-)=-2 A特解：按式(7-6)得iL随时间变化曲线图c。电流i根据KCL得,7-4一阶电路的全响应,例 7-5-1,图7-16，开关闭合前达稳定状态。t=0时S闭合，求t0时uc零状态、零输入和全响应。解 求uc(0-)电路图7-17a，S闭合前稳态，电容开路。换路后，用戴维宁等效 图7-17b、c。u1=0.5V uoc=3.5V,7-17(a),7-17(b),7-4一阶电路的全响应,例 7-5-2,外施电源求Req，端口加i，u1=0，受控源开路。u=4i Req=4=ReqC=(40.5)s=2s零状态响应：零输入响应：全响应：可按式7-6得：,7-4一阶电路的全响应,习 题,P192 题 7-5,7-5 二阶电路的零输入响应,二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。初始条件有两个，由储能元件初始值决定；RLC串联电路和GLC并联电路是最简二阶电路。图7-18为RLC串联，设电容已充电，电压U0，电感初始电流I0。t=0时S闭合，电路放电过程是二阶电路零输入响应。根据KVL得-uc+uR+uL=0代入上式，得以uc为未知量微分方程。线性常系数二阶齐次微分方程。解方程时，设uc=Aept，再确定其中p和A。,RLC串联电路零输入响应-1,将uc=Aept代入式(7-8)，得特征方程 LCp2+RCp+1=0 解出特征根p有正负两个值。为兼顾这两个值，电压uc可写成其中从式(7-10)可见，特征根p1和p2仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。,7-5 二阶电路零输入响应,RLC串联电路零输入响应-2,初始条件为uc(0+)=uc(0-)=U0和i(0+)=i(0-)=I0。由于 有 根据初始条件和式(7-9)得解式(7-11)得常数A1和A2。讨论U00而I0=0情况，即已充电C通过R、L放电。此时解得：将A1、A2代入式(7-9)得RLC串联电路零输入响应表达式。,7-5 二阶电路零输入响应,特征根的3种情况,由于电路中R、L、C参数不同，特征根可能是(a)两个不等的负实根；(b)一对实部为负的共轭复根；(c)一对相等的负实根。分3种情况讨论。,7-5 二阶电路零输入响应,1 非振荡放电过程,特征根p1和p2是两个不等负实数，电容电压为电流 上式利用 关系。电感电压,7-5 二阶电路零输入响应,非振荡放电,图7-19：uc、i、uL随时间变化曲线。uc、i始终不改变方向，且有uc0，i0，表明电容整个过程中一直释放储存电能，称非振荡放电，又称过阻尼放电。t=0+时，i(0+)=0，t时放电过程结束，i()=0，放电过程中电流经从小到大再趋于零的变化。电流达最大值时刻tm由di/dt=0定ttm，电感吸收能量，建磁场；ttm，电感释放能量，磁场逐渐衰减,趋向消失。t=tm，电感电压过零点。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-6-1,图7-20，Us=10V,C=1F,R=4k,L=1H，S原闭合在触点1，t=0时S由1接至触点2。求：(1)uc、uR、i和uL；(2)imax。解(1)已知R=4k，而 放电过程非振荡。且uc(0+)=U0=Us 特征根,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-6-2,根据式(7-12)、(7-13)和(7-14)，得电容电压 uc=(10.77e-268t-0.773e-3732t)V电流 i=2.89(e-268t-e-3732t)mA电阻电压 uRRi11.56(e-268t-e-3732t)V电感电压(2)电流最大值发生在tm时刻，即,7-5 二阶电路零输入响应,2 振荡放电过程,特征根p1和p2一对共扼复数。令：则 有：p1=-+j，p2=-j令(图7-21)有=0cos,=0sin,根据 可得：,7-5 二阶电路零输入响应,振荡放电过程,根据 或用式(7-13)可得i为而电感电压从uc、i和uL表达式可见，波形将呈衰减振荡状态，整个过程中，周期性改变方向，储能元件也周期性交换能量。,7-5 二阶电路零输入响应,元件之间能量转换、吸收概况,根据上述各式，还可得出：1 t=k，k=0,1,2,3为电流i过零点，即uc极值点；2 t=k+，k=O,1,2,3为电感电压uL过零点，即电流i极值点；3 t=k-，k=O,1,2,3为电容电压uc过零点。根据上述零点划分时域可看出元件间能量转换、吸收概况，见表7-2。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-2,在受控热核研究中，需强大脉冲磁场，靠强大脉冲电流产生，由RLC放电电路产生。已知U0=15kV，C=1700 F，R=610-4，L=610-9H，问：(1)i(t)为多少?(2)i(t)何时达极大值?求imax。解 根据参数：即特征根为共轭复数，属振荡放电。(1)电流i为(2)当t=，即t=/=4.56s时电流i达极大值最大放电电流达6.36106A，比较可观数值。,7-5 二阶电路零输入响应,等幅振荡放电过程,R=0时,=0，则 uc、i、uL表达式为：uc、i、uL诸量都是正弦函数，振幅不衰减，是等幅振荡放电过程。尽管实际振荡电路都有损耗，但若仅关心在很短时间间隔内发生过程时，按等幅振荡处理不会带来显著误差。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-8-1,为试验油开关熄灭电弧能力，需在开关中通以数十千安，频率50Hz正弦电流。工程中采用LC放电电路作试验电源，图7-23。工作情况：先打开S2，接通S1，使电容器充电至U0；然后打开S1，接通S2，电容器对电感线圈放电。选择L和C大小及U0数值，可得试验所需正弦电流。在开关闭合后适当时间，借助于自动装置把被试开关触头A拉开，便可以试验高压开关灭弧能力。本例中，C=3800F，U0=14.14kV，若线圈用很粗导线绕制，在近似估算中可忽略其电阻，求：(1)为产生试验所需50Hz电流，线圈电感L等于多少?(2)振荡电路电流i(t)及电容电压uc(t)。,7-5 二阶电路零输入响应,例 7-8-2,解(1)试验所需电流频率为50Hz，即0=2f=314rad/s，根据 可求出电感L大小(2)根据可得电流i(t)为 i(t)16.9103sin(314t)A 可见，放电电流峰值可达16.9kA。电容电压为,7-5 二阶电路零输入响应,3 临界情况,在 条件下，特征方程具有重根微分方程式(7-8)通解 uc=(A1+A2t)e-t根据初始条件得：A1=U0 A2=U0 所以：从以上诸式可看出uc、i、uL有非振荡性质，波形与图7-19相似。是振荡与非振荡分界线，过渡过程称临界非振荡过程，电阻称临界电阻，并称电阻大于临界电阻电路过阻尼电路，小于临界电阻电路欠阻尼电路。临界情况下过渡过程计算公式，可通过前两种非临界情况下公式取极限导出。,7-5 二阶电路零输入响应,7-6 二阶电路的零状态响应和全响应,二阶电路初始储能为零,即uC(0-)=0，iL(0_)=0，仅由外施激励引起响应称二阶电路零状态响应。图7-24为GCL并联，uC(0-)=0，iL(0-)=0，t=0时S打开。根据KVL有 iC+iG+iL=iS以iL为待求量，可得,二阶线性非齐次方程，由特解和对应奇次方程通解组成，即 iL=iL+iL”取稳态解i为特解，通解i”与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，得全解。如二阶电路具有初始储能，又接外施激励，电路响应称全响应。全响应：零输入响应和零状态响应的叠加。可通过求解二阶非齐次方程方法求得。,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-9-1,图7-24，uC(0-)=0，iL(0-)=0，G=210-3S，C=1F，L=1H，iS=1A，t=0时S打开，求iL、uC和iC。解 S动作后电路微分方程：特征方程：代入数值求特征根：p1=p2=p=-103,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-9-2,因p1、p2是重根，临界阻尼，解为：iL=iL+iL”iL为特解（强制分量）：iL=1AiL”为对应齐次方程解：iL”=（A1+A2t）ept A通解：t=0+时初始值：iL(0+)=iL(0-)=0代入初始条件得：1+A1+0=0；-103A1+A2=0解得：A1=-1，A2=-103,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-9-3,求得零状态响应：过渡过程是临界阻尼情况，非振荡性质，波形见图7-25。,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-10-1,图7-26，开关t=0时闭合，uc(0-)=0,iL(0-)=2A，求开关闭合后iL(t)。解 原有iL(0-)=2A，又接电压源，为全响应。（1）列微分方程，对结点1用KCL：整理：代入已知数：设全响应为 iL=iL+iL”,7-6二阶电路零状态和全响应响应,例7-10-2,(2)特解(3)求通解，二阶微分方程特征方程 p2+200p+20000=0特征根 p=-100j100 共轭复根，欠阻尼性质，即 i”L=Ae-100tsin(100t+)全响应：iL(t)=iL+i”L=1+Ae-100tsin(100t+)初始条件：iL(0+)=iL(0-)=2A有：1+Asin=2 100Acos-100Asin=0 解得：iL的全响应：,7-6二阶电路零状态和全响应响应,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,单位阶跃响应：对单位阶跃函数输入的零状态响应。单位阶跃函数：奇异函数图6-27a，定义：t=0不连续，可描述图b开关动作，t=0时把电路接到单位直流电压。阶跃函数可作开关数学模型，称开关函数。定义任一时刻t0起始阶跃函数为(t-t0)可看作把(t)在时间轴移动t0，图7-28，延迟单位阶跃函数。假设把电路在t=t0时接通到电流为2A的直流电流源，则外施电流可写为2(t-t0)A。,单位阶跃函数“起始”任意一个f(t),设f(t)对所有t有定义的任意函数，则 波形图7-29。对图7-30a幅度为1矩形脉冲，看作由两个阶跃函数组成，图7-30b，即 f(t)(t)-(t-t0)同理，对图7-30c矩形脉冲，可写为 f(t)(t-1)-(t-2),7-7一阶和二阶电路阶跃响应,当电路激励为单位阶跃(t)V或(t)A时，相当于将电路在t=0时接通电压值为1V的直流电压源或电流值为1A的直流电流源。单位阶跃响应与直流激励响应相同。用s(t)表示单位阶跃响应。已知电路s(t)，如果该电路恒定激励为us(t)=U0(t)或is(t)=I0(t)，则电路零状态响应为U0s(t)或I0s(t)。,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-11-1,图7-31，S位置1时电路达稳定状态。t=0时，开关由1合向位置2，在t=RC时又由2合向位置1，求t0时电容电压uc(t)。解 可用两种方法求解。(1)将电路工作过程分段求解 0t区间RC电路零状态响应：uc(0+)=uc(0-)=0 t区间为RC电路的零输入响应:,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-11-2,(2)用阶跃函数表示激励，求阶跃响应根据开关动作，激励us(t)图7-32a矩形脉冲表示，按图b写为 us(t)=Us(t)-Us(t-)RC电路单位阶跃响应为故其中第一项为阶跃响应，第二项为延迟阶跃响应。uc(t)波形图c。,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-12-1,图7-33，uc(0-)=0,iL(0-)=0,R=0.2,L=0.25H,C=2F,is(t)=(t)A，求单位阶跃响应iL(t)。解 列KCL方程 iR+iC+iL-0.5iC=iS iR+0.5iC+iL=(t)其中代入数据得即二阶线性非齐次方程，解为 iL=i+i”,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,例7-12-2,特解 i=1通解特征方程 p2+5p+4=0特征根 p1=-1，p2=-4iL=1+A1e-t+A2e-4t初始条件iL(0+)=iL(0-)=0，uc(0+)=uc(0-)=0代入1+A1+A2=0-A1-4A2=0解得阶跃响应为动态过程是过阻尼性质。,7-7一阶和二阶电路阶跃响应,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,单位冲激响应：对单位冲激函数激励的零状态响应。单位冲激函数是奇异函数：又称函数。在t0处为零，在t=0处为奇异。(t)可看作单位脉冲函数极限情况。图7-34a为单位矩形脉冲函数p(t)波形。高1/，宽，保持面积1/=1不变，宽0时，高1/，就是单位冲激函数(t)，记为,单位冲激函数波形图7-34b，有时箭头旁注“1”。强度为K冲激函数图7-34c，箭头旁边注K。同在时间上延迟出现单位阶跃函数一样，把发生在t=t0时单位冲激函数写为(t-t0)，还可用K(t-t0)表示强度为K，发生在t0时刻冲激函数。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,冲激函数,冲激函数两个主要性质,(1)单位冲激函数(t)对时间积分等于单位阶跃函数(t)，即反之，阶跃函数(t)对时间一阶导数等于冲激函数(t)，即(2)单位冲激函数的“筛分性质”由于t0时，(t)=0，对任意在t=0时连续函数f(t)，有 f(t)(t)f(0)(t)因此同理，对任意一个t=t0时连续函数f(t)，有即冲激函数有把一个函数在某一时刻值“筛”出来的本领，称“筛分”性质，又称取样性质。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,冲激函数作用原理,单位冲激电流i(t)(单位A)加到初始电压为零且C=1F电容，电容电压 单位冲激电流瞬时把电荷转移到电容，电容电压从零跃变到1V。单位冲激电压u(t)(单位V)加到初始电流为零且L=1H电感，电感电流 单位冲激电压瞬时在电感内建立1A电流，即电感电流从零值跃变到1A。冲激函数作用于零状态一阶RC或RL电路，在t=0-到0+区间内使电容电压或电感电流发生跃变。t0+时，冲激函数为零，但uc(0+)或iL(0+)不为零，电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。一阶电路冲激响应求解，在于计算在冲激函数作用下uc(0+)或iL(0+)值。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RC电路的冲激响应,图7-35a单位冲激电流i(t)激励下RC电路。求零状态响应。根据KCL 而uc(0-)=0。为求uc(0+)，在0-与0+积分左方第二个积分仅在uc为冲激函数时才不为零，应为零。从而得 Cuc(0+)-uc(0-)1 或 uc(0+)1/Ct0+时，冲激电流源相当于开路，图7-35b求t0+电容电压=RC，RC电路时间常数。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RL电路的冲激响应,用相同分析方法，可得图7-36RL电路在单位冲激电压u(t)激励下零状态响应=L/R为时间常数。电感电流发生了跃变，电压uL为iL、uL的波形见图7-37a、b，注意t=0-到0+的冲激和跃变情况。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RLC串联电路的冲激响应-1,图7-38零状态RLC串联，t=0时与冲激电压(t)接通。uC为变量，KVL：(t)在t0为0，t=0时获得能量，t0+放电，有关键求uC(0+)和i(0+)，上式在0-到0+积分：,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RLC串联电路的冲激响应-2,零状态条件：u C(0-)=0，iL(0-)=0，uC不可能是阶跃函数或冲激函数，仅duC/dt可能跃变，有：即 意义：冲激电压源在t=0-到0+间隔内使电感电流跃变，跃变后i(0+)=1/L，电感中储存一定磁场能量，冲激响应是磁场能量引起变化过程。t0+时为零输入解，通解仍写为 uC=A1ep1t+A2ep2t 初始条件：uC(0+)=A1+A2=0,7-8一阶和二阶电路冲激响应,RLC串联电路的冲激响应-3,有 如，即周期振荡放电，冲激响应：,7-8一阶和二阶电路冲激响应,阶跃响应与冲激响应的关系,阶跃函数和冲激函数有式(7-15)关系，线性电路中阶跃响应与冲激响应间也有重要关系。如以s(t)表示某一电路阶跃响应，而h(t)为同一电路的冲激响应，两者间数学关系：冲激激励是阶跃激励的一阶导数，冲激响应可按阶跃响应的一阶导数求得。图7-35a、7-36a，如按阶跃响应一阶导数求冲激响应，可得与上述相同结果。,7-8一阶和二阶电路冲激响应,