电磁波与电磁场-第八章.ppt

第八章 平面电磁波,主 要 内 容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。,8-1.波动方程8-2.理想介质中的平面波8-3.导电媒质中的平面波8-4.平面波的极化特性8-5.平面边界上平面波的正投射,8-6.多层边界上平面波的正投射8-7.任意方向传播的平面波8-8.理想介质边界上平面波的斜投射8-9.无反射与全反射8-10.导电媒质表面上平面波的斜投射8-11.理想导电表面上平面波的斜投射8-12.等离子体中的平面波8-13.铁氧体中的平面波,8-1.波动方程,微分形式,在无限大的各向同性的均匀线性介质中,将麦克斯韦方程微分形式第一式两边取旋度，同时将第二式代入,将此式代入上式,将麦克斯韦方程微分形式第三式代入上式,已知在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电磁场满足下列方程,上式称为非齐次波动方程。式中,其中 是产生电磁波的外源；电荷体密度(r,t)与传导电流的关系为,若所讨论的区域中没有外源，即 J=0，且介质为理想介质，即，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即=0，则上述波动方程变为,此方程称为齐次波动方程。对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程。,时变电磁场为时间及空间的函数，也就是说，场强的大小及方向随时间或空间变化。前面讨论的时变电磁场的各种特性时，均未涉及场强随时间的变化规律，因此前述各种特性分析适用于任何时间变化规律的时变电磁场。,现讨论一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即,式中 Em(r)仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅；为角频率。e(r)为正弦函数的初始相位，它可能是空间的函数。具有这种变化规律的时变电磁场称为正弦电磁场，或者称为时谐电磁场。,正弦电磁场,正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。由傅里叶变换的数学方法得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。,当场的方向与时间无关时，对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位，而略去时间相位 t。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为,原来的瞬时矢量和复矢量的关系为,实际中，通常测得的是正弦量的有效值（即平方的周期平均值），以 表示正弦量的有效值，则,式中,所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为,无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且，只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。,有的书刊将正弦电磁场表示为 p184,则瞬时矢量与复矢量的关系为,若所讨论的时变场为正弦电磁场，则上式变为,此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中,在直角坐标系中，可以证明，电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分量分别满足下列方程：,这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。由于各个分量满足的方程结构相同，它们的解具有同一形式。,可以证明，在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关，则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。,例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明，因为若场量与变量 x 及 y 无关，则,因在给定的区域中，由上两式得,代入波动方程，即得 z 坐标分量。,8-2.理想介质中的平面波,已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程,若电场强度E 仅与坐标变量 z 有关，与 x,y 无关。由前节分析得知，电场强度不可能存在 z 分量。,令电场强度方向为 x方向，即，则磁场强度 H 为,因,得,已知电场强度分量 Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到,得,这是一个二阶常微分方程，其通解为,式中第一项表示相位随着 z 变量增加而逐渐滞后，第二项表示相位随着 z 变量增加而逐渐超前。已知场的相位一定落后于源的相位。因此，上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之。为了便于讨论，仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即,式中Ex0 为 z=0 处电场强度的有效值。Ex(z)对应的瞬时值为,电场强度随着时间 t 及空间 z 的变化波形如图示。,上式中 t 称为时间相位。kz 称为空间相位。空间相位相等的点组成的曲面称为波面。,可见，电磁波向正 z 方向传播。,由上式可见，z=常数的平面为波面。因此，这种电磁波称为平面波。,因 Ex(z)与 x,y 无关，在 z=常数的波面上，各点场强相等。因此，这种波面上场强均匀分布的平面波又称为均匀平面波。,时间相位变化 2 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而一秒内相位变化 2 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 的关系式，得,空间相位 kr 变化 2 所经过的距离称为波长，以 表示。那么由关系式，得,由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相位随空间的变化特性。,由上式又可得,因空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度内具有的全波数目，所以 k 又称为波数。,根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这种相位速度以 vp 表示。令 常数，得，则相位速度 vp 为,考虑到，得,相位速度又简称为相速。上式表明，在理想介质中，均匀平面波的相速与介质特性有关。考虑到一切介质相对介电常数，又通常相对磁导率，因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。,但应注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表能量传播速度。,由上述关系可得,此式描述了电磁波的相速 vp，频率 f 与波长 之间的关系。,平面波的频率是由波源决定的，它始终与源的频率相同，但是平面波的相速与介质特性有关。因此，平面波的波长与介质特性有关。,由上述关系还可求得,式中,0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。由上式可见，即平面波在介质的波长小于真空中波长。这种现象称为波长缩短效应，或简称为缩波效应。,由关系式 可得,式中,链接,由此可见，在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，且两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。,左图表示 t=0 时刻，电场及磁场随空间的变化情况。,电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，以 Z 表示，即,链接,可见，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。,当平面波在真空中传播时，其波阻抗以 Z0 表示，则,上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为,或,已知 ez 为传播方向，可见无论电场或磁场均与传播方向垂直，即对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此这种电磁波称为横电磁波，或称为TEM波。以后我们将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。,由上分析可见，均匀平面波是TEM波，只有非均匀平面波才可形成非TEM波，但是TEM波也可以是非均匀平面波。,7-6.能量密度与能流密度矢量,静电场的能量密度公式，恒定磁场的能量密度公式以及恒定电流场的损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。因为某一时刻的场给定时，其能量也即决定。那么，对于时变电磁场，在各向同性的线性媒质中，这些公式为,电场能量密度,磁场能量密度,损耗功率密度,因此，时变电磁场的能量密度为,由于时变场的场强随空间及时间而变，因此，时变场的能量密度也是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。,为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，其方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量，或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以能量流动密度矢量又称为功率流动密度矢量。,能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量。,能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量以 S 表示。根据上面定义，可见能流密度矢量的单位为W/m2。,下面导出能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系。,设无外源的区域 V 中，介质是线性且各向同性的，则此区域中电磁场满足的麦克斯韦方程为,利用矢量恒等式，将上式代入，整理后求得,将上式两边对区域 V 求积，得,考虑到，那么,根据能量密度的定义，上式又可表示为,上式称为时变电磁场的能量定理。任何满足上述麦克斯韦方程的正弦电磁场均必须服从该能量定理。,能量定理表达式中各项具有明显的物理意义：左端为体积V中单位时间内减少的储能，右端第二项为体积 V 中单位时间内损耗的能量。因此，根据能量守恒原理，右端第一项代表单位时间内穿过闭合面 S 的能量，可见时变电磁场存在能量流动。显然，矢量（）代表垂直穿过单位面积的功率，因此，它就是前述的能流密度矢量 S，即,这样，已知某点的 E 及 H，由上式即可求出该点的能流密度矢量。此式还表明，S 与 E 及 H 垂直。又知，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E至 H 与 S 构成右旋关系，如图示。,根据矢积运算法则，求得能流密度矢量的瞬时值为,可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。,7-11.能量密度与能流密度矢量的复数形式,已知时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时值分别为,因此最大值为,或者表示为,式中 及 分别为复矢量 及 的共轭值。,已知正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为,即,式中 E(r)及 H(r)均为有效值。上式又可写为,或者以场强的最大值表示为,或者表示为,上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。,同样，介质中单位体积内的损耗功率也可用复矢量表示。其最大值为,平均值为,可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。,已知能流密度矢量 S 的瞬时值为,其周期平均值为,现定义一个复能流密度矢量 Sc，令,式中 及 均为有效值。该定义又可用场强最大值表示为,那么，复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为,可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即,同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。,显然，当电场与磁场同相时，即，则实部为最大正值，虚部为零；当电场与磁场反相时，即，则实部为最大负值，虚部仍然为零；当电场与磁场的相位差为 的奇数倍，即，则实部为零，虚部为最大正值或负值；若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。,由能量定理也可进一步说明复能流密度矢量Sc的物理意义,对于无外源区域V，,即,此式称为复能量定理。由此可见，流进 S 内的复能流密度矢量通量的实部等于 S 内消耗的功率，这就表明，Sc 的实部的确代表单向流动的能量。,由此可见，复能流密度矢量的实部表示能量流动，虚部表示能量交换。,根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量 Sc,可见，此时复能流密度矢量为实数，其虚部为零。这就表明，电磁波能量仅向正 z 方向单向流动，空间不存在来回流动的交换能量。,电场能量密度平均值，磁场能量平均值,考虑到,若沿能流方向取出长度为 l，截面为 A 的圆柱体，如图示。,设圆柱体中能量均匀分布，且平均能量密度为 wav，能流密度的平均值为Sav，则柱体中总平均储能为（wav A l），穿过端面 A 的总能量为（Sav A）。若圆柱体中全部储能在 t 时间内全部穿过端面 A，则,式中 比值显然代表单位时间内的能量位移，因此该比值称为能量速度，以 ve 表示。由此求得,已知，代入上式得,由此可见，在理想介质中，平面波的能量速度等于相位速度。,已知均匀平面波的波面是无限大的平面，而波面上各点的场强振幅又均匀分布，因而波面上各点的能流密度相同，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。显然，实际中不可能存在这种均匀平面波。,当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，则可以近似作为均匀平面波。,利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平面波之和，这种展开有时是非常有用的。,例 已知均匀平面波在真空中向正 Z 方向传播，其电场强度的瞬时值为,试求：频率及波长；电场强度及磁场强度的复矢量表示式；复能流密度矢量；相速及能速。,解 频率,波长,复能流密度,相速及能速,8-3.导电介质中的平面波,当介质具有一定电导率 时，则在无源区域中麦克斯韦第一方程为,由此可见，若令,则上式可写为,式中 e 称为等效介电常数。这样，上式与理想介质中的麦克斯韦第一方程的形式完全相同，只是介电常数 换为等效介电常数 e。,由此推知导电介质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程,若令,则上述齐次矢量亥姆霍兹方程可写为,若仍然令，且，则上式的解与前完全相同，只要以 kc 代替 k 即可，即,因常数 kc 为复数，令,那么求得,这样，电场强度的解可写为,式中第一个指数表示电场强度的振幅随 z 增加按指数规律不断衰减，第二个指数表示相位变化。因此，k 称为相位常数，单位为rad/m；k 称为衰减常数，单位为Np/m，而 kc 称为传播常数。,导电媒质中的相速为,此式表明，平面波在导电媒质中传播时，其相速不仅与介质参数有关，而且还与频率有关。,已知携带信号的电磁波总是具有很多频率分量。若各个频率分量的电磁波以不同的相速传播，经过一段距离传播后，电磁波中各个频率分量之间的相位关系必然发生改变，导致信号失真，这种现象称为色散。所以导电介质又称为色散介质。,根据相速的定义式（8-2-11）,导电媒质中平面波的波长为,可见，此时波长不仅与介质特性有关，而且与频率的关系是非线性的。,导电媒质中的波阻抗 Zc 为,根据波阻抗 Zc定义,可见，当平面波在导电介质中传播时，其波阻抗为复数。,因此，电场强度与磁场强度的相位不同，复能流密度的实部及虚部均不会为零，这就意味着平面波在导电媒质中传播时，既有单向流动的传播能量，又有来回流动的交换能量。,那么，复能流密度矢量 Sc 的实部及虚部分别为,导电媒质中磁场强度为,由此可见，磁场的振幅也不断衰减，且磁场强度与电场强度的相位不同。下图表示导电媒质中 t=0 时刻电场强度与磁场强度随着空间的变化情况。,链接,下面分别讨论两种特殊情况,第一，若，具有低电导率的介质或非理想介质属于这种情况。此时，可以近似认为,那么,这些结果表明，电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减，电导率 愈大，则振幅衰减愈大。,第二，若，良导体属于这种情况。此时可以近似认为,那么,此式表明，电场强度与磁场强度不同相，且因 较大，两者振幅发生急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体深处，仅可存在其表面附近，这种现象称为集肤效应。,为了描述平面波在良导体中的衰减程度，通常把场强振幅衰减到表面处振幅 的深度称为集肤深度，以 表示，则由,此式表明，集肤深度与频率 f 及电导率 成反比。,下表给出了三种频率时铜的集肤深度。,由此可见，随着频率升高，集肤深度急剧地减小。,因此，具有一定厚度的金属板即可屏蔽高频时变电磁场。,以上分析可见，当平面波在导电媒质中传播时，其传播特性与比值 有关。可见，传播特性不仅与介质特性有关，同时也与频率 有关。对应于比值 的频率称为界限频率，它是划分介质属于低耗介质或导体的界限。,左表给出几种介质的界限频率。,已知传导电流密度，而位移电流密度，因此，比值的大小实际上反映了介质中传导电流与位移电流的幅度之比。可见，非理想介质中以位移电流为主，良导体中以传导电流为主。,平面波在导电介质中传播时，振幅不断衰减的物理原因是由于电导率 引起的热损耗，所以导电媒质又称为有耗介质，而电导率为零的理想介质又称为无耗介质。,一般说来，介质的损耗除了由于电导率引起的热损失以外，介质的极化和磁化现象也会产生损耗。考虑到这类损耗时，介质的介电常数及磁导率皆为复数，即，。,复介电常数和磁导率的虚部代表损耗，分别称为极化损耗和磁化损耗。对于非铁磁性物质可以不计磁化损耗；对于微波波段以下的电磁波，介质的极化损耗也可不计。,例 已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz，z=0 处电场强度为 x方向，其有效值为100(V/m)。若 区域为海水，其电磁特性参数为，试求:该平面波在海水中的相位常数、衰减常数、相速、波长、波阻抗和集肤深度。在 z=0.8m 处的电场强度和磁场强度的瞬时值以及复能流密度。,解,可见，对于 5MHz 频率的电磁波，海水可以当作良导体，其相位常数为,衰减常数为,相速为,波长为,波阻抗 Zc 为,集肤深度 为,根据以上参数获知，海水中电场强度的复振幅为,对应的磁场强度复振幅为,根据上述结果求得，在 z=0.8m 处，电场强度及磁场强度的瞬时值为,复能流密度为,由此例可见，频率为 5MHz 的电磁波在海水中被强烈地衰减，因此位于海水中的潜艇之间，不可能通过海水中的直接波进行无线通信，必须将其收发天线移至海水表面附近，利用海水表面的导波作用形成的表面波，或者利用电离层对于电磁波的“反射”作用形成的反射波作为传输介质实现无线通信。,前面讨论平面波的传播特性时，认为平面波的场强方向与时间无关，实际中有些平面波的场强方向随时间按一定的规律变化。电场强度的方向随时间变化的规律称为电磁波的极化特性。,8-4.平面波的极化特性,设某一平面波的电场强度仅具有 x 分量，且向正 z方向传播，则其瞬时值可表示为,显然，在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时间的变化轨迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种平面波的极化特性称为线极化，其极化方向为 x 方向。,设另一同频率的 y 方向极化的线极化平面波，也向正 z 方向传播，其瞬时值为,上述两个相互正交的线极化平面波 Ex 及 Ey 具有不同振幅，但具有相同的相位，它们合成后，其瞬时值的大小为,此式表明，合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数，合成波的方向与X 轴的夹角 为,可见，合成波的极化方向与时间无关，电场强度矢量端点的变化轨迹是与X 轴夹角为 的一条直线。因此，合成波仍然是线极化波，如左图示。,由上可见，两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波。反之，任一线极化波可以分解为两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化波。,若上述两个线极化波 Ex 及 Ey 的相位差为，但振幅皆为Em，即,则合成波瞬时值的大小为,合成波矢量与 x 轴的夹角 为,即,由此可见，对于某一固定的 z 点，夹角 为时间 t 的函数。电场强度矢量的方向随时间不断地旋转，但其大小不变。因此，合成波的电场强度矢量的端点轨迹为一个圆，这种变化规律称为圆极化，如下图示。,上式表明，当t 增加时，夹角 不断地减小，合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向构成左旋关系，这种圆极化波称为左旋圆极化波。,若 Ey 比 Ex 滞后，则合成波矢量与 x 轴的夹角。可见，对于空间任一固定点，夹角 随时间增加而增加，合成波矢量随着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成右旋关系，因此，这种极化波称为右旋圆极化波。,由上可见，两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的线极化波，合成后形成一个圆极化波。反之，一个圆极化波也可以分解为两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的线极化波。,还可证明，一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。反之亦然。,若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和 Ey 具有不同振幅及不同相位，即,则合成波的 Ex 分量及 Ey 分量满足下列方程,这是一个椭圆方程，它表示对于空间任一点，即固定的 z 值，合成波矢量的端点轨迹是一个椭圆，因此，这种平面波称为椭圆极化波，如左图示。,当 0 时，Ey分量比 Ex 导前，合成波矢量顺时旋转，与传播方向ez 形成左旋椭圆极化波。逆着传播方向观察，沿Z负方向观察,前述的线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。由于各种极化波可以分解为线极化波的合成，因此，本章仅讨论线极化平面波的传播特性。,电磁波在介质中的传播特性与其极化特性密切相关，电磁波的极化特性获得非常广泛的实际应用。例如，由于圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减较小，全天候雷达宜用圆极化波。,在无线通信中，为了有效地接收电磁波的能量，接收天线的极化特性必须与被接收电磁波的极化特性一致。,众所周知，光波也是电磁波。但是光波不具有固定的极化特性，或者说，其极化特性是随机的。光学中将光波的极化称为偏振，因此，光波通常是无偏振的。为了获得偏振光必须采取特殊方法。立体电影即是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才能看到立体效果。,此外，在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，例如，铁氧体环行器及隔离器等。,在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应该使用圆极化电磁波。,8-5.平面边界上平面波的正投射,当电磁波在传播途中遇到这种边界时，一部分能量穿过边界，形成透射波；另一部分能量被边界反射，形成反射波，这就是电磁波在边界上发生的反射及透射现象。平面波在边界上的反射及透射规律与媒质特性及边界形状有关。,本教材仅讨论平面波在无限大的平面边界上的反射及透射特性。,首先讨论平面波向平面边界垂直入射的正投射，以后再讨论平面波以任意角度向平面边界的斜投射。,建立直角坐标系，且令边界位于 z=0 平面。当 x 方向极化的线极化平面波由媒质向边界正投射时，边界上发生反射波及透射波。,已知电场的切向分量在任何边界上必须保持连续(p172)，因此，入射波的电场切向分量与反射波的切向分量之和必须等于透射波的电场切向分量。,设两种均匀媒质形成一个无限大的平面边界，两种媒质的参数分别为 及，如下图示。,可见，当反射波为零时，入射波电场的切向分量等于透射波电场的切向分量；当透射波为零时，反射波的电场切向分量等于入射波电场切向分量的负值。由此可见，反射波及透射波仅可与入射波具有相同的分量。因此，发生反射与透射时，平面波的极化特性不会发生改变。,设入射波、反射波及透射波电场强度的正方向如左图示。根据传播方向，它们可以表示如下：,入射波,式中，分别为 z=0 边界处各波的振幅。,相应的磁场强度分量为,反射波,入射波,透射波,已知电场强度的切向分量在任何边界上均是连续的，同时考虑到所讨论的有限电导率边界上不可能存在表面电流，因而磁场强度的切向分量也是连续的(p173)，于是在 z=0 的边界上下列关系成立,由上边边界条件,边界上反射波电场分量与入射波的电场分量之比称为边界上的反射系数，以 R 表示:,边界上的透射波电场分量与入射波电场分量之比称为边界上的透射系数，以 T 表示:,介质中任一点的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为,第一，若介质为理想介质，介质为理想导体，则两种介质的波阻抗分别为,下面讨论两种特殊的边界,求得,这结果表明，全部电磁能量被边界反射，无任何能量进入介质中，这种情况称为全反射。,反射系数、透射系数计算式,显然，这是完全符合理想导电体应具有的边界条件，因为合成电场与边界相切，在理想导电体表面上不可能存在任何切向的电场分量。,反射系数 R=1 表明，在边界上，即边界上反射波电场与入射波电场等值反相，因此边界上合成电场为零。,因介质的传播常数，介质中任一点合成电场 为 p207(8-3-15a),对应的瞬时值为,此式表明，介质中合成电场的相位仅与时间有关，而振幅随 z 的变化为正弦函数。由上式可见，在 处，对于任何时刻，电场为零。在 处，任何时刻的电场振幅总是最大。这就意味着空间各点合成波的相位相同，同时达到最大或最小。平面波在空间没有移动，只是在原处上下波动，具有这种特点的电磁波称为驻波，如下图示。,对应的瞬时值为,前述的无限大理想介质中传播的平面波称为行波。行波与驻波的特性截然不同，行波的相位沿传播方向不断变化，而驻波的相位与空间无关。,振幅始终为零的地方称为驻波的波节，而振幅始终为最大值的地方称为驻波的波腹。,驻波、行波,介质中的合成磁场为,对应的瞬时值为,由此可见，介质中的合成磁场也形成驻波，但其零值及最大值位置与电场驻波的分布情况恰好相反，如左图示。磁场驻波的波腹恰是电场驻波的波节，而磁场驻波的波节恰是电场驻波的波腹。,此外，比较两种驻波分布还可见，电场与磁场的相位差为。因此，复能流密度的实部为零，只存在虚部。这就意味着介质中没有能量单向流动。能量仅在电场与磁场之间不断地进行交换，这种能量的存在形式与处于谐振状态下的谐振电路中的能量交换极为相似。p188（7-11-12）,在 z=0边界上，介质中的合成磁场分量为，但媒质中，所以在边界上此时发生磁场强度的切向分量不连续，因此边界上存在表面电流 JS，且p173（7-3-12）、p137（5-6-7）,第二，若介质为理想介质=0，介质为一般导体，则介质的波阻抗及传播常数分别为,反射系数为,式中 为R 的振幅，为 R 的相位。代入前述电场强度公式求得,由此可见，当 时，处，电场振幅取得最大值，即,当 时，处，电场振幅取得最小值，即,由于，因此，电场振幅位于 0 与 之间，即，此时电场驻波的空间分布如左图。两个相邻振幅最大值或最小值之间的距离为半波长。,电场振幅的最大值与最小值之比称为驻波比，以 S 表示。那么,可以证明，若两种媒质均是理想介质，当 时，边界处为电场驻波的最大点；当 时，边界处为电场驻波的最小点。这个特性通常用于微波测量。,上述情况不同于前述的完全驻波。此时媒质中既有向前传播的行波，又包含能量交换的驻波。,由此可见，当发生全反射时，。当 时，此时反射消失。这种无反射的边界称为匹配边界。可见，驻波比的范围是。,例 已知形成无限大平面边界的两种介质的参为，；，当一右旋圆极化平面波由介质向介质垂直入射时，试求反射波和折射波及其极化特性。,解 建立直角坐标系，令边界平面位于平面，如左图示。已知入射波为右旋圆极化，因此入射波、反射波和入射波可以分别表示为,反射系数和透射系数分别为,由于反射波及透射波的 y 分量仍然滞后于 x 分量，但反射波的传播方向为负 z方向，因此变为左旋圆极化波。透射波的传播方向仍沿正 z 方向，因此还是右旋圆极化波。,8-6.多层边界上平面波的正投射,先以三种介质形成的多层介质为例，说明平面波在多层介质中的传播过程及其求解方法。,如左图示，当平面波自介质向边界垂直入射时，在介质和之间的第一条边界上发生反射和透射。当透射波到达介质和之间的第二条边界时，再次发生反射与透射，而且此边界上的反射波回到第一条边界时又发生反射及透射。,由此可见，在两条边界上发生多次反射与透射现象。,根据一维波动方程解的特性，可以认为介质和中仅存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，以 及 表示；另一是向负 z 方向传播的波，以 及 表示。在介质中仅存在一种向正 z 方向传播的波。那么各个介质中的电场强度可以分别表示为,相应的磁场强度分别为,根据 z=0 和 z=l 两条边界上 电场切向分量必须连续的边界条件，得,根据两条边界上磁场切向分量必须连续的边界条件，得,上述两组方程中 是给定的，四个方程中只有，及 等四个未知数，因此完全可以求解。,对于 n 层媒质，由于入射波是给定的，且第 n 层媒质中只存在透射波，因此，总共只有(2n 2)个待求的未知数。但根据 n 层介质形成的(n 1)条边界可以建立 2(n 1)个方程，可见这个方程组足以求解全部的未知数。,如果仅需计算第一条边界上的总反射系数，引入输入波阻抗概念可以简化求解过程。在上述例子中，我们定义介质中任一点的合成电场与合成磁场之比称为该点的输入波阻抗，以 Zin 表示，即,已知介质中合成电场为,式中R23 为介质和之间的边界上反射系数。,根据前述反射系数定义，求得,那么，介质中的合成磁场可以表示为,将上述结果代入输入波阻抗定义式中，得,已知在边界上两侧合成电场及合成磁场应该是连续的，求得,第一条边界上总反射系数定义为,则由上述结果求得,式中,由此可见，引入输入波阻抗以后，对第一层介质来说，第二层及第三层介质可以看作为波阻抗为 Zin(l)的一种介质。已知第二层媒质的厚度和电磁参数以及第三媒质的电磁参数即可求出输入波阻抗Zin(l)。,利用输入波阻抗的方法计算多层介质的总反射系数，实质上是电路中经常采用的网络分析方法，即只需考虑后置介质的总体影响，不必关心后置媒质的内部结构。,对于 n 层媒质，如下图示。,当平面波自左向右入射时，为了求出第一条边界上的总反射系数，利用输入波阻抗的方法是十分简便的。,其过程是，首先求出第(n2)条边界处向右看的输入波阻抗，则对于第(n2)层介质来说，可用波阻抗为 的介质代替第(n1)层及第 n 层介质。,依次类推，自右向左逐一计算各条边界上向右看的输入波阻抗，直至求得第一条边界上向右看的输入波阻抗后，即可计算总反射系数。,例 设两种理想介质的波阻抗分别为Z1 与Z2，为了消除边界反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，试求夹层的波阻抗 Z。,解 如左图示，首先求出第一条边界上向右看的输入波阻抗。考虑到,求得第一条边界上输入波阻抗为,为了消除反射，必须要求，那么由上式得,由上例可见，输入波阻抗的方法是一种阻抗变换方法。利用四分之一波长夹层的阻抗变换作用消除了边界反射，达到匹配。,已知输入波阻抗公式为,可见输入波阻抗的变化与正切函数的变化规律一致，每当 l 增加半个波长，其值不变，即厚度为半波长或半波长整数倍的介质夹层没有阻抗变换作用。,由微波电路的传输线理论得知，利用四分之一波长的传输线可以实现阻抗变换，此时既可变更传输线的长度又能保证匹配。这些概念与上述的四分之一波长及半波长介质夹层的作用极为相似。,当然，这种变换仅在给定的单一频率点完全匹配，因此仅适用于窄带系统。,此外，如果该例中夹层介质的相对介电常数等于相对磁导率，即 r=r，那么，夹层介质的波阻抗等于真空的波阻抗。,当这种夹层置于空气中，平面波向其表面正投射时，无论夹层的厚度如何，反射现象均不可能发生。换言之，这种媒质对于电磁波似乎是完全“透明”的。,由此可见，若使用这种媒质制成保护天线的天线罩，其电磁特性十分优越。但是，由第二章及第五章获悉，普通介质的磁导率很难与介电常数达到同一数量级。近来研发的新型磁性材料可以接近这种需求。,8-7.任意方向传播的平面波,设平面波的传播方向为es，则与 es 垂直的平面为该平面波的波面，如下图示。,令坐标原点至波面的距离为d，坐标原点的电场强度为E0，则波面上 P0 点的场强应为,若令P 点为波面上任一点，其坐标为(x,y,z)，则该点的位置矢量 r 为,令该矢量 r 与传播方向es的夹角为，则距离 d 可以表,考虑到上述关系，点的电场强度可表示为,若令,上式为沿任意方向传播的平面波表达式。这里 k 称为传播矢量（波矢），其大小等于传播常数 k，其方向为传播方向 es；r 为空间任一点的位置矢量。,则上式可写为,由上图知，传播方向 es 与坐标轴 x,y,z 的夹角分别为,，则传播方向 es 可表示为,传播矢量可表示为,若令,那么传播矢量 k 可表示为,那么，电场强度又可表示为,或者写为,考虑到，因此 应该满足,可见，三个分量 中只有两个是独立的。,将式（8-7-6）代入麦克斯韦方程，可以证明，在无源区（J=0）中理想介质内向 k 方向传播的均匀平面波满足下列方程,微分形式,由此可见，电场与磁场相互垂直，而且两者又垂直于传播方向，这些关系反映了均匀平面波为 TEM 波的性质。,根据上面结果，复能流密度矢量Sc 的实部为,考虑到，得,例 已知某真空区域中的平面波为TEM波，其电场强度为,试求：是否是均匀平面波？平面波的频率及波长；电场强度的 y 分量；平面波的极化特性。,式中 为常数。,解 给定的电场强度可改写为,可见，平面波的传播方向位于 xy 平面内，因此波面平行于 z 轴。由于场强振幅与 z 有关，因此，它是一种非均匀平面波。,根据上式可以求得传播常数、波长、频率分别为,因为，求得,因电场强度的 x 分量与 y 分量构成线极化波，它与相位不同且振幅不等的 z 分量合成后形成椭圆极化波。由于分量 比 Ez 分量的相位滞后，因此合成矢量形成的椭圆极化波是右旋的，如左图示。,8-8.理想介质边界上平面波的斜投射,当平面波向平面边界上以任意角度斜投射时，同样会发生反射与透射现象，而且通常透射波的方向与入射波不同，其传播方向发生弯折，因此，这种透射波称为折射波。入射线，反射线及折射线与边界面法线之间的夹角分别称为入射角，反射角及折射角。入射线，反射线及折射线和边界面法线构成的平面分别称为入射面，反射面和折射面，如下图示。,可以证明，入射线，反射线及折射线位于同一平面；入射角 i 等于反射角 r；折射角 t 与入射角 i 的关系为,式中，。上述三条结论总称为斯耐尔定律。,设入射面位于 xz 平面内，则入射波的电场强度可以表示为,若反射波及折射波分别为,由于边界上(z=0)电场切向分量必须连续，得,上述等式对于任意 x 及 y 变量均应成立，因此各项指数中对应的系数应该相等，即,由第一式得知，即,这就表明，反射线和折射线均位于 xz 平面。,斯耐尔定律描述的电磁波反射和折射规律获得广泛应用。正如前言中介绍，美军 B2 及 F117 等隐形飞机的底部均为平板形状，致使目标的反射波被反射到前方，单站雷达无法收到回波，从而达到隐形目的。,关系式 表明反射波及折射波的相位沿边界的变化始终与入射波保持一致，因此，该式又称为相位匹配条件。,考虑到，,由上述第二式获得,斜投射时的反射系数及透射系数与平面波的极化特性有关。我们定义，电场方向与入射面平行的平面波称为平行极化波，电场方向与入射面垂直的平面波称为垂直极化波，如下图示。,垂直极化,平行极化,当然，平行极化波入射后，由于反射波和折射波的传播方向偏转，因此其极化方向也随之偏转，但是仍然是平行极化波。,根据边界条件，读者可以仿照前述方法推知，无论平行极化平面波或者垂直极化平面波在平面边界上被反射及折射时，极化特性都不会发生变化，即反射波及折射波与入射波的极化特性相同。,下面分别导出平行极化波和垂直极化波的反射系数与透射系数。,对于平行极化波，根据边界上电场切向分量必须连续的边界条件，得,考虑到前述相位匹配条件，上述等式变为,再根据边界上磁场切向分量必须连续的边界条件，类似可得,那么，根据前述边界上反射系数及透射系数的定义，由上述结果求得平行极化波投射时的反射系数 及透射系数 分别为,对于垂直极化波，根据边界条件相位匹配条件，同理可求出反射系数 及透射系数 分别为 p173(7-3-11),当入射角 时，上述情况变为正投射，那么，。,为什么此时两种极化波的反射系数恰好等值异号？,此外，当入射角 时，这种情况称为斜滑投射。此时，无论何种极化以及介质特性如何，反射系数，透射系数。这就表明，入射波全被反射，且反射波同入射波大小相等，但相位相反。也就是说，向任何边界上斜滑投射时，各种极化特性平面波的反射系数均为（-1）。,因此，当我们十分倾斜观察任何物体表面时，由于各种极化方向的反射光波的相位相同，彼此相加，使得物体表面显得比较明亮。,此外，这种现象也是地面雷达存在低空盲区的原因。因为当地面雷达指向低空目标时，到达目标的直接波与地面反射波的空间相位几乎一致。但是由于地面反射波处于斜滑投射方向，其反射系数为(-1)，导致地面反射波与直接波等值反相，合成波大大削弱。因此，地面雷达无法发现低空目标。,8-9.无反射与全反射,考虑到大多数实际介质的磁导率相同，即，则,由此可见，若入射角 满足下列关系,已知平行极化波的反射系数为,则平行极化波的反射系数。这表明入射波全部进入第二介质，而反射波消失，这种现象称为无反射。,发生无反射时的入射角称为布鲁斯特角，以B 表示。那么，由上式可得,垂直极化波的反射系数为,由此可见，只有当时，反射系数。因此，垂直极化波不可能发生无反射。,任意极化的平面波总可以分解为一个平行极化波与一个垂直极化波之和。当一个无固定极化方向的光波，或者说一束无偏振光，若以布鲁斯特角向边界斜投射时，由于平行极化波不会被反射，因此，反射波中只剩下垂直极