理论力学第二章第三章.ppt

第二章 作用于刚体上的力系等效与简化,2-1 力矩2-2 力偶的概念和性质2-3力偶系的合成与平衡2-4 力的平移定理2-5 空间力系简化及合成结果讨论,2-1 力矩,力对点之矩是度量一个力使物体绕某点转动的作用。在平面力系的情况下，力对点之矩用代数量表示。,O 矩心；h 力臂;,MO（F)=Fh,力矩的正负号规定“+”表示逆钟向；“-”表示顺钟向；,MO（F)=2OAB面积,平面内力对点之矩,空间力对点之矩,平面力系中，力对点之矩用代数量表示已足够但是在空间力系中，有必要用一个矢量 O（F）表示空间任一力对点之矩,O（F）F h 2(OAB 面积）,空间力对轴之矩,度量力F 使刚体绕此轴转动的作用。,定义:Z(F)|O(Fxy)|Fxy h即：力对Z 轴之矩等于此力在垂直与该轴的平面上的投影Fxy 对该轴与此平面交点之矩。,式中：x,y,z 力F 作用点的坐标；Fx，Fy,Fz 力F 沿三轴的投影。,力对轴之矩等于力对点O 之矩矢量在相应轴上的投影。,空间力对轴之矩,推论：1、力沿作用线滑动后，Fxy 与h 不变，故力对轴之矩不变；2、力F 与轴共面（相交或平衡）时，力对轴之矩为零。,熟练计算力对轴之矩！,空间力对轴之矩,练习1：计算图示力F对三轴之矩。,受力情况如图所示，求（1）F1力对 x，y，z 轴的矩，（2）F2力 对 z轴的矩。,O,B,F1,A,a,b,c,y,x,z,z,F2,练习2：,O,B,F1,A,a,b,c,y,x,z,z,F2,1.求F1力对 x，y，z 轴的矩。,解：如图所示,O,B,F1,A,a,b,c,y,x,z,z,F2,2.求F2力 对 z轴的矩。,应用力矩关系定理，先求力F2对点A的矩。然后再投影到 z轴上。,思考题,力偶：大小相等、方向相反而不共线的两个平行力所组成的力系，称为力偶。,力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面；力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用 d 表示。力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向；力偶矩：在平面力偶的情况下，力偶矩用代数量表示，=d“”表示逆时钟方向；“”表示顺时钟方向。,2-2 力偶的概念和性质,力偶矩矢量,在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量M 表示，矢量M 的长度：表示力偶矩的大小；M 的方位：垂直于力偶的作用面；指向：按右手螺旋规则，可表示力偶的转向。,同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同;,力偶矩矢量是一自由矢量，而力矢量对刚体来说是一滑动矢量！,同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同;,力偶矩矢量,同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同;,2、不同平面内两力偶的等效条件是：力偶作用面平行（即作用面方位相同）、力偶矩大小相等以及力偶转向相同。或简单叙述为：两力偶矩矢量相等.,力偶矩矢量是一自由矢量，而力矢量对刚体来说是一滑动矢量！,力偶系的合成及平衡条件,力偶系可以合成为一合力偶，合力偶矩矢量等于各分力偶矩矢量的矢量和，即：,几何法表示：合力偶矩矢量等于各分力偶矩矢量所构成的矢量多边形的封闭边矢量。,平衡条件：力偶系平衡的必要与充分条件是合力偶矩矢量等于零，即力偶矩矢量多边形自行封闭,例 一简支梁AB=d，作用一力偶 M，求二支座约束力。,解：研究AB梁，受力分析如图,d,M,B,A,因为力偶只能与力偶平衡 FA=FB,M FAd=0,由,即,FA=FB=M/d,解：杆AB为二力杆。,例 如图所示的铰链四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，=30，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。,AO杆与BD杆的受力如图所示。,M1 r FAB cos=0,M2=2 M1,分别写出杆AO和BD的平衡方程：,M2+2r FBA cos=0,由,FAB=FBA,得,因为,则得,解：杆AB为二力杆。,AO杆与BD杆的受力如图所示。,例 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1=2 kNm，OA=r=0.5 m。图示位置时OA与OB垂直,角=30o,且系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2 及铰链O，B处的约束力。,B,O,r,A,C,M2,M1,先取圆轮为研究对象。,解得,解：,B,O,r,A,C,M2,M1,因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶，故 FA=FO。,再取摇杆BC为研究对象。,其中,解得,O,A,M1,FO,FA,B,O,r,A,C,M2,M1,力对点的矩与力偶矩的区别？,不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。,相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。,问题:两者的作用效果相同吗?,力的平移定理:作用在刚体上的力，可以平行于原来的作用线搬移到刚体内的任意指定点而不改变该力对刚体的作用但需在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，其力偶矩等于该力对指定点之矩。,2-3 力的平移定理,力的平移定理,说明：1.力的平移定理是“力系向一点简化”方法的理论基础；2.力的平移定理一方面说明了一个力可以平行搬移的条件；另一方面指出：一个力和一个力偶可以进一步合成为一个力。,2-4 力系向一点简化,任一空间力系向一点简化,力系的主矢和主矩,主矢：力系各力的矢量和称为该力系的主矢,用 FR表示，即FR=Fi。主矩：力系各力对简化中心之矩的和称为该力系对简化中心的主矩，O 表示,即 O=O（F）,。结论：力系向简化中心简化，可以得到一个力和一个力偶，这个力的大小和方向与力系的主矢相同，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的选择无关，主矩与简化中心的选择有关。,同一力系向不同简化中心简化，结果之间有何关系？,力系简化结果讨论,空间力系合成结果：1、合成为一个力偶 2、合成为一个力3、合成为一个力螺旋、平衡,、当FR0，00 时，空间力系合成为一个力偶,力系简化结果讨论,2.1、FR0，0 0时，空间力系合成为一个力。,FR=F 作用线过O点,2.2、FR0，0 0且FR0 时，空间力系仍合成为一个力,力系简化结果讨论,3、当FR0，0 0且FR0 时合成为力螺旋。,力螺旋：（FR，0）,力系合成为一个力（作用于简化中心）和一个力偶，且这个力垂直于这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为力螺旋。,右手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相同（图a）。,左手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相反（图b）。,4、当FR=0，0=0，空间力系平衡,6个独立的平衡方程,平面力系的合成结果,平面力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力系中的各力对同一点的矩的代数和。表达式：MO(FR)=MO(Fi),证明：,因为 MO=MO(Fi),MO=FRd=MO(FR),所以 MO(FR)=MO(Fi),合力矩定理,例 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。,解：取坐标系Oxy。1、求向O点简化结果。求主矢FR。,求主矩。,2.求合成结果。,F,O,A,B,C,x,y,合成为一个合力F，F的大小、方向与FR相同。其作用线与O点的垂直距离为,例 铅直桅杆AB受彼此互相垂直的两个水平力F1和F2的作用，并由张索CD维持平衡。已知尺寸l，力F1和F2，向D点简化的结果是力螺旋，试求D点的位置。,令BD=s,将力F1和F2向D点简化得主矢FR和主矩MD 在坐标轴x1，y1上的投影：,解：,因为向D点简化是力螺旋，即有FR/MD,故,从而解得所求距离,问题,简化结果与主矢主矩之间的关系？同一力系向不同点简化的结果之间有什么关系？常见力系简化结果？,第三章 平面力系的平衡问题,3-1 平面力系平衡方程3-2 刚体系统的平衡问题、静定、静不定问题,3-1平面力系的平衡方程,力系平衡的充要条件是主矢主矩同时等于零。,Fx 0 Fy 0 O（F）0,平面力系的平衡方程（基本形式）,即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零,平面力系平衡方程的其它形式,两矩一投影：A（F）0B（F）0Fx0附加条件：X 轴不垂直于A、B 二点的连线。,三矩式：A（F）0 B（F）0 C（F）0附加条件：A、B、C 三点不共线。,平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因此只能 求解三个未知量！,平面平行力系,平面平行力系（设各力作用线是平行于 y 轴），平衡方程两种形式：,一矩一投影：Fy0O（F）0,两矩式：A（F）0B（F）0附加条件：A、B两点的连线不与各力平行,平面汇交力系,平面力偶系,其中,例,已知,根据平衡条件列方程,习题,已知：梁AD 的支承及受力如图所示。F 500 N，FA1000 N，q 1000 N/m，2000 N m，a=2m 求：座B、C 的约束反力,满载时，,为临界状况,解得,空载时，,为临界状况,解得,时,内 力 物体系内部各物体间互相作用的力。,物体系平衡方程的数目,物体系 由若干个物体通过约束组成的系统。,外 力 物体系以外任何物体作用于该系统的力。,由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的平衡方程。,3-2 刚体系统 的平衡、静定、静不定概念,静定问题 当系统中未知量数目等于独立平衡方程数目时的问题。,静不定问题 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。,判断下面结构是否静定？,解:,取CD梁,画受力图.,FB=45.77kN,取整体,画受力图.,例,求:A,E支座处约束力及BD杆受力.,已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,各构件自 重不计,取整体,画受力图.,解:,取DCE杆,画受力图.,(拉),例,已知:P2=2P1，P=20P1，r,R=2r,求:物C匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩 轴承A，B处的约束力.,由,取小轮，画受力图.,例 如图已知 q=3 kN/m，F=4 kN，M=2 kNm。CD=BD,AC=4 m，CE=EA=2 m。各杆件自重不计，试求A和B处的支座约束力。,解：1.取BC为研究对象，受力分析如图。,FB=2.89 kN,2.取整体为研究对象，受力分析如图。,FAy=0.58 kN,FAx=47.5 kN,MA=-2 kNm,或,也可以取杆为AC研究对象,MC=0。,例,已知：构架如图所示,重物重P 10kN,AD DB 2m，CD DE 1.5m，不计摩擦及杆、滑轮的重量。求：杆BC 所受的力和杆AB 作用于销钉D 的力。,如图已知 F=15 kN，M=40 kNm。各杆件自重不计，试求D和B处的支座约束力。,讨论题,解：1.先取CD为研究对象，受力分析如图。,FD=8.95 kN,2.再取BC，受力分析如图。,FB=15.5 k N,错解！,解：1.先取BC为研究对象，受力分析如图。,FBy=6.5 k N,正确解答,2.再取BCD为研究对象，受力分析如图。,FBx=20.75 k N,