正弦交流电与电抗元.ppt

第 2 章 正弦交流电与电抗元件,实训2 日光灯的安装与实验 2.1 正弦交流电的基本参量及相量表示法 2.2 正弦交流参量的基本运算 2.3 纯电阻电路 2.4 电容元件 2.5 电感元件 2.6 正弦交流电路的一般分析方法 2.7 互感与变压器 2.8 LC谐振电路 2.9 三相电路,1 实训目的（1)了解正弦交流电路的组成特点。（2)体验交流电路与直流电路的区别。（3)学会交流电路的连接、器件的使用及参数的测量。（4)建立正弦交流电路的基本概念。,实训 2 日光灯的安装与实验,2实训设备、器件与实训电路 1)实训设备与器件 万用表1只、双通道示波器1台、降压隔离变压器2只、单刀双位开关2只、2 W 10 电阻1个、日光灯1套、导线若干。,2)实训电路与说明（1）日光灯实际电路如图 2-1（a）所示,实训电路如图2-1（b）所示。图（b）中,Tl、T2为隔离变压器,便于次级接入示波器观测波形。电阻R为取样电阻,便于通过对其两端电压取样来测量电路中的电流。电容C用于改变实验电路的参数。,(2)日光灯的结构:日光灯电路由灯管、镇流器和启辉器3个部分组成。在细长的玻璃灯管内壁上,均匀地涂有一层荧光物质，在灯管两端的灯丝电极上涂有受热后能发射电子的氧化物，灯管内充有稀薄的惰性气体和水银蒸汽；镇流器由带铁心的电感线圈构成;启辉器由辉光管和一个小容量的电容器组成,如图 2-2所示。,(3)日光灯的启辉过程:当接通电源时,电源电压全部加在启辉器的辉光管两端,使辉光管的倒U型金属片与固定触点放电,其产生的热量使U型金属片伸直,两极接触并使回路接通,灯丝因有电流通过而发热,氧化物发射电子。辉光管的两个电极接通后电极间的电压为零,辉光管停止放电,温度降低使U型金属片恢复原状,两电极脱开,切断回路中的电流。根据电磁感应定律,切断电流瞬间在镇流器的两端产生一个比电源电压高很多的感应电压。该电压与电源电压同时加在灯管的两端,管内的惰性气体在高压下电离而产生弧光放电,管内的温度骤然升高,在高温下水银蒸气游离并猛烈地碰撞惰性气体分子而放电,放电时辐射出不可见的紫外线,激发灯管内壁的荧光粉发出可见光。（灯管正常发光时,灯管两端的电压较低,40瓦的灯管约110伏,此电压不会使启辉器再次放电。）,3实训操作步骤与要求 1）连接线路（1）按图 21（b）连接线路,接通电源,开关S2断开,1闭合,使日光灯正常发光。要求通电前认真检查电路,正确无误后方可通电。（2）断开电源,按图 21（b）连接线路,接通电源,开关S2断开,S1闭合,再次使日光灯正常发光。,2）观测交流电压波形用示波器测量隔离变压器T1次级的电压波形。这时,我们可以观测到如图 23所示的正弦波。在示波器上读出其幅度和两个波峰之间的时间及波峰与波谷之间的幅度。,u1、u2的波形及相位差,3）测量环路电压（1）用万用表分别测量市电U、镇流器及日光灯管两端（启辉器两端）的交流电压U1、U2。将结果填入表21中。注意U、U1、U2在数值上的关系。（2）用万用表测量电阻R两端的电压,并由此计算出流过回路的电流I,填入表 2 1中。,4）观测电压u1与u2的相位关系（1）用示波器的两个通道同时观测隔离变压器T1、T2次级电压的波形。仔细调节示波器,使显示屏上显示如图 2 3的波形。读出两列正弦波波峰之间的时间间隔t及它们的周期T,从振动学的有关知识我们可以得到两列正弦波的相位差为=2(t/T),将其填入表2 1中。,（2）将开关S2闭合,重复步骤2）、3）、4）。观测接入并联电容C对电路参数的影响。,表 21,4实训总结与分析（1）在步骤2）中,我们看到的正弦波就是市电电压的波形,把这种电压（电流）的大小与方向均按正弦规律变化的电压（电流）称为正弦交流电。如何描述正弦交流电,如何分析正弦交流电路是本章要解决的首要问题。,（2）由实验记录的结果可以看到一个使我们迷惑的现象:电路中的端电压不等于各分电压之和,即UU1+U2;所以IUIU1+IU2。显然,按直流电路分析与计算电路的方法不完全适用于交流电路分析与计算。之所以会出现上述现象,是因为电路中出现了电感性与电容性负载。在由电感、电容、电阻组成的交流电路中,如何分析和计算电路参数也是本章要解决的主要问题之一。,（3）在步骤4）中,我们可以看出电压u1与电压u2之间存在一定的相位差,随着电容的接入与否,相位差的大小也在发生变化。当流过不同性质负载的电流相同（幅值、相位）时,负载上的电压相位不同是交流电路的一个重要特征。显然,相位在交流电路中是一个十分重要的物理量.,（4）从表 2 1中可以看出,没有接入电容时,u1与u2的相位差约为/2,或者说,镇流器（电感）上的电压超前灯管（电阻）上的电压/2,这是一个十分重要的现象,记住这个结果,对我们今后理解与分析交流电路非常有帮助。由此可见,在分析交流电路时,必须了解交流电路与直流电路的区别,找出适用于交流电路分析与计算的方法,掌握交流电路的特点与应用。,2.1 正弦交流电的基本参量及相量表示法,1.正弦量的三要素,（2.1）,(2.2),其中u、i分别为电压和电流的瞬时值;Um、Im分别为电压和电流的幅值（或最大值）;为角频率;u,i分别为电压和电流的初相角,如图 2 4所示。,2周期与频率 正弦量是周期函数,每经过一定时间波形必将重复出现。如图 2 4 所示,将波形重复出现所需要的最短时间间隔称为周期,单位为秒。将波形在每秒钟内重复出现的次数称为频率,单位为赫兹（Hz）。周期与频率互为倒数关系。,其中 对于f=50Hz的工频交流电,其角频率为,在我国,工业用电频率为50Hz,简称工频;无线电技术采用的频率一般为100kHz3000MHz。,3.正弦量的相位差 在正弦交流电路中,元件上的电压同流过元件的电流的瞬时相位可能不同,但两者的初始相位之差,=u-i为一常量。在同一电路中,初相可随计时起点的不同而改变,而相位差则保持不变。若0,电压u 在相位上超前电流i;0，电压u 在相位上滞后电流i;0，电压u 与电流i同相;/2 电压u 与电流i在相位上互相正交;,电压u 在相位上与电流i 反相。,4正弦量的有效值 正弦量的有效值是指在一个周期内与其热效应等价的直流量,即,所以,有效值也称为方均根值,它与最大值的关系为,同理,因此其瞬时表达式可写成,在实训操作中,我们用万用表所测出的电压U和电流值I均为有效值。,5 相量及正弦量的相量表示形式 在正弦量的函数表达式中,具有幅值、频率及初相这 3 个主要特征,而这些特征还可以用其他方法来描述。不同的描述方法之间能够相互转换,它们都是分析与计算正弦交流电路的必要工具。究竟采用哪种方法更合适,可根据分析实际问题的需要来选择,其中正弦量的相量表示尤其重要。所谓相量就是正弦量的复数表示形式,即相量表示法的实质是复数表示法。正弦量可用下面的复数形式来表示。,r是复数的模,它与正弦量的幅值相对应。,是复数与实轴的正方向间的夹角,它表示正弦量的初相角,如图 2 5所示。,正弦量的表示方法,根据欧拉公式,则,图中,代入（2.3）式得复数的指数形式,（2.4）,或写成极坐标形式,(2.5),复数式中j的数学含义是:,可见任意一个相量若乘上+j后,逆时针旋转90,若乘上-j后即顺时针旋转90,所以将j称为旋转90的算子。在复数中j是虚数单位，,并有,正弦电流用相量表示法可写成,其中,（2.6）,(2.7),(2.8),就称为电流的相量。式（2.6）为相量的指数形式,式(2.7)为极坐标形式,式(2.8)为直角坐标形式。,相量在复平面上可用有向线段表示,我们将与若干个同频率的正弦量相对应的有向线段画在同一坐标平面上的图形称为正弦量的相量图。如图2-6所示,相量图能直观地描述各个正弦量的大小和相互间的相位关系,利用相量图也可进行正弦量的加减运算。在图 2-6中对i1、i2进行比较,可见i1幅值大于i2的幅值,i1的相位超前i2的相位。,图2-6 相量图,例 2.1 已知某正弦电压的振幅为20V,频率为50Hz,初相为105。（1）写出它的瞬时表达式,并画出波形图。（2）求t=0.0025s和t=0.004 166 s时的相位、瞬时值及相量。解（1）正弦电压的瞬时表达式为,例2.1图,波形如图 2-7所示。,（2）当t=0.0025s时,相位为150,瞬时值为10 V。当t=0.004166s时,相位约为180,瞬时值约为0V,波形过零点。其相量表示形式为:,例2.2 已知,写出它们的相量并画出相量图。,解,据此可画出相量图，如图2.2所示。由图可见,电流超前电压 60。,图2-8 例2.2相量图,2.2 正弦交流参量的基本运算,例2.3 已知电路中 解（1）用三角函数式运算:,图2-9 电阻串联电路及相量图,设此正弦量为,则,由上两式可算出总电压u的幅值为,总电流的初始相位为,将 U1m=100V,U2m=60V,1=45,2=-30代入得,电压u的瞬时表达式为,（2）用相量运算:,（3）用相量图运算。在同一个复平面上画出 和 的相量图,如图29（b）所示,用平行四边形法作出m,可见对角线表示的就是总电压u的幅值,它与横轴正方向间的夹角即为初相位。（4）用波形图运算。如图 210 所示,在同一个直角坐标系中分别作出u1和u2的正弦波形,然后将两波形的纵坐标相加,即得总的电压u的正弦波形,再从波形图上量出u的幅值和初相位。,用波形图求解,比较上述几种求解方法可知,三角函数式是正弦量的基本表示方法,因此可直接对它进行运算,但用三角函数进行运算很繁琐,因此一般很少采用;相量运算是先把正弦函数用与之对应的复数形式来表示,这样就把正弦函数的三角函数运算转换为复数运算,即将复杂的三角函数运算变成了简单的代数运算,如果是加减运算可采用复数的直角坐标式,如果是乘除运算可采用复数的指数式或极坐标式,此种方法也称为符号法;相量图是分析正弦量的常用方法,它能直观地反映同频率正弦信号的初相角、幅值及相互间的相位关系,通过作图也可进行加减运算,在定性分析中经常采用。波形图可以将正弦量在各个时刻的瞬时值及相互关系在图形上表示出来,其缺点是作图不便且不够精确。,例 2.4 已知,解 先写出i1和i2的相量表达式:,相量图如图 211（a）、（b）所示。,例2.4图,2.3.1 电流与电压的关系,2.3 纯 电 阻 电 路,纯电阻电路,设电压u=Umsint，则根据欧姆定律有:,即在任一瞬间通过电阻的电流i与其两端的电压u成正比,而且都是同频率、同相位的正弦量。用相量的形式表示为,其波形图、相量图如图 2-13(a）,（b）所示。,2.3.2 电阻的功率 交流电压和电流是随时间变化的,所以电阻所消耗的功率也将随时间变化。电路在任一时刻所吸收的功率称为瞬时功率,用p来表示,在图 2-13中,电阻元件所消耗的功率为,纯电阻电路的波形图、相量图,从表达式或图 213（c）所示的波形图中可以看出,电阻消耗的瞬时功率由两部分组成,其中一部分为常数UI,另一部分是以2角频率变化的交变量。从功率曲线上可看出,任一瞬时电阻所吸收的功率总是大于零。由此可见,电阻是耗能元件。,瞬时功率并无实际意义,通常所说的功率是指在一个周期内电路所消耗功率的平均值,一般称为有功功率或平均功率,用P表示。可以证明,可见,正弦交流电路中电阻元件所消耗功率的表达式与直流电路中的表达式相似,但在正弦交流电路中U、I是指有效。在前面的实训电路中,用万用表测出的电压和电流均为有效值。通常在交流电路中的负载（灯泡、烤箱、音响等）所消耗的功率都是指平均功率(又称有功功率)。,例 2.5 设某放大器实验电路中,放大器输出交流电压为u=10sin6280tV,其作用在电阻为 8的扬声器两端,求电流的瞬时值及扬声器获得的平均功率。解 电压的有效值为,电流的有效值为,因为在电阻电路中,电压和电流是同相位,所以,扬声器获得的平均功率为,电容器两极板上储存的电量q与其两端的电压成正比,即,比例系数C称为电容。若C与所加的电压、其上所储存的电荷量q无关,称为线性电容;若C与时间无关，称为时不变电容。电容的单位有法拉（F）、微法拉(F）,皮法拉（pF）,1 F=106 F=1012pF。电路中使用最多的是平行板电容器,其电容量的大小与极板的面积S(m2)、极板间的距离d（m）、极板间介质的介电常数（F/m）有关。,2.4 电 容 元 件,(2.9),上式表明,在交流电路中,任一瞬间的电流与电压的变化率成正比。在直流电路中的电容器（简称电容）处于断开状态;在交流电路中,电容将周期性地充电和放电,使电路中不断地有电流通过,所以电容具有隔直、通交的作用。在电子线路中可用来滤波、隔直、交流旁路、选频;在电力系统中可用它来提高功率因数等。,2.4.1 电容电压与电流的关系 正弦交流电路中的电容元件模型如图2-14(a)所示。设电压、电流参考方向一致,并设交流电压为u=Umsint,代入式（2.9）可得,图2-14 纯电容电路,可见电压、电流是同频率的正弦量,而电流超前于电压/2,其波形图和相量图如图 2-15所示。,电容电路的波形图与相量图,图2-15,由式（2.10）可知,X称为容抗,单位是欧姆（）,它起阻碍电流的作用。可见容抗与电容C、频率f成反比,且电容电路中的电压和电流的有效值（或最大值）之间同样符合欧姆定律。在特殊情况下,当f时,X0,此时电容相当于短路。当f=0时（直流）,XC=,此时相当于开路,这就是隔直、通交的原因。,电容两端的电压与电流的关系用相量表示为,式（2.11）为电容电路中欧姆定律的相量形式。,2.4.2 电容的储能 根据电容电压和电流的变化规律,可求出电容上吸收的瞬时功率为,其在一个周期内的平均功率为,可见,电容元件是不耗能的元件,在电容与电源之间只发生能量的交换。即在第一个1/4周期内,电容从电源吸取能量,在第二个1/4周期内电容又将所储存的能量释放出来回送给电源。如此下去,连续交替地进行,所以电容只是一个储能元件。它与电源间交换能量的最大变化率用QC来表示,则,为了与电阻上消耗的有功功率P=UI相区别,将QC称为无功功率,单位为乏（Var）。,电容器上以电场能量形式储存的能量应等于对电容器吸收功率的积分，即,为了区分积分上限t,被积函数中的t改为，该式表明从到t区间电容器总共吸收的能量(即它储存的能量)。参见图2-14(a),考虑p吸(t)=ui及,所以,假设t=-时,电容器上无电荷储藏,即q(-)=0,由q(-)=Cu(-)，知u(-)=0。在这样的条件下，电容器上t时刻的储能,（2.12）,例 2.6 把一个C=38.5F的电容接到50Hz、220V的交流电源上,求:（1）电容的容抗。（2）电路中的电流I、电压U,电压与电流间的夹角。(3）电容的无功功率QC。（4）若外加电压的数值不变,频率变为5000Hz时,以上各值如何变化。,解（1）容抗,（2）设电压U为参考相量,即,所以,即电流的有效值为2.75 A,相位超前于电压90。,（3）无功功率,（4）当频率为5000Hz时,重复上述计算得:,容抗减小100倍;I=275A,电流增大100倍;电流的相位仍超前电压90;,无功功率增大100倍。由此可见,同一电容对不同频率的电流具有不同的容抗。频率越高,容抗越小,电流越大。,将一导线绕成螺旋状或将导线绕在铁心或磁心上就构成常用的电感器。图 2-16（a）为一N匝线圈构成的电感器,（b)图为电感器的模型符号。当通过线圈的电流i发生变化时,穿过线圈的磁通也将发生变化,且磁通的变化与电流i的变化成正比关系。,式中L称为线圈的电感（或自感）,N为线圈的匝数,为穿过N匝线圈磁通的总和,=N,称为磁链。,2.5 电 感 元 件,电感元件,电感的单位有亨利（H）、毫亨（mH）、微亨（H）,1 H=103 mH=106 H。线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近介质的导磁性能有关。长直螺旋管的电感量为,其中N为匝数,S为截面积,l为长度,为介质的磁导率。根据电磁感应定律,当流过线圈的电流发生变化时，线圈两端的感应电动势为,(2.13),式中的负号表明感应电动势e的实际方向总是阻止线圈中电流的变化。电流i的正方向与电压u的正方向相同,电流i的正方向与所产生的磁通的正方向可用右手螺旋定则确定。由式（2.13）可知,当电流的正值增大时（即di/dt0）,e的实际方向与电流的方向相反（为负值）,它将阻碍电流的增大。当电流的正值减小时（即di/dt0）,e的实际方向与电流的方向相同（为正值）,它将阻碍电流的减小。,2.5.1 电感电压与电流的关系 在图 2-16（b）所示的电感中,当有正弦电流i=Imsint通过时,在电感中将产生感应电动势,所以端电压为,由上式可知,或,其中 XL=L 称为感抗,单位为欧（）,它起阻碍电流的作用,由上式可知,流过电感的电流有效值与其两端电压的有效值之间也具有欧姆定律的形式。,从感抗 XL=L=2fL可知感抗与电感L及电流的频率f成正比。当L一定时,频率越高,它对电流的阻碍作用就越大。在特殊情况下,当f时,XL,此时电感相当于开路。当f=0时（直流）,XL=0,此时电感相当于短路。电感两端的电压与电流关系的相量表示为,电感电路的波形图和相量图,2.5.2 电感的储能 当有正弦交流电流流过电感时,根据电感电压和电流的变化规律,可求出电感上的瞬时功率为,可以看出,电感从电源吸收的瞬时功率是幅值为UI,角频率为2的正弦量。其变化曲线如图 2 17（c）所示。从功率曲线可知,电感从电源吸收的功率也有正有负,正的表示从电源吸收功率,负的表示电感将功率回送电源。其平均功率（有功功率）为,所以电感是不消耗有功功率的元件,电感与电源之间只是能量的互换,属于储能元件。将电感与电源间能量交换的最大变化率用QL表示,为了将电感储存的功率与电阻上消耗的有功功率相区别,将QL称为无功功率,单位为乏（Var）,电感元件上以磁场能量形式储存的能量等于对电感器吸收功率的积分，即,参见图2-16(b),考虑 p吸(t)=uI 及,所以,假设t=-时电感上电流为零，则上式可写为,（2.14）,例 2.7 把一个L=0.5H的电感接到50Hz、220 V的交流电源上,求:(1)电感的感抗。(2)电路中的电流I、U,电压与电流间的夹角。(3)电感的无功功率QL。(4)若外加电压的数值不变,频率变为5000Hz时,以上各值如何变化。,解（1）感抗:,(2)设电压 为参考相量,则,即电流的有效值为1.4A,相位滞后于电压90。(3)无功功率:,(4)当频率为5 000Hz时,重复上述计算得:,感抗增大100倍,电流缩小100倍,电流的相位仍滞后电压90,无功功率减小100倍,由此可见,同一电感对不同频率的电流具有不同的感抗。频率越高,感抗越大,则电流越小。,正弦交流电路中的欧姆定律 与直流电路中的欧姆定律U=RI有相似的形式,不同之处在于交流电路中的电压、电流用相量来表示,电阻用复阻抗来代替。,基尔霍夫电流定律对交流电路中的任一节点任一瞬时都是成立的,即,2.6 正弦交流电路的一般分析方法,如果这些电流ik都是同频率的正弦量,则可用相量表示为,或,基尔霍夫电压定律对电路中的任一回路在任一瞬时都是成立的,即 同样,如果这些电压uK都是同频率的正弦量,则可用相量表示为。由此可见,基尔霍夫电流、电压定律在正弦交流电路中的相量形式与直流电路中的基尔霍夫定律在形式上相似。但是,在具体描述和分析运算中两者却有很大区别。,.6.1 阻抗的串联与并联 1.阻抗定义 图 2-18(a)为无源、正弦交流二端电路N，电压相量 与电流相量参考方向关联。定义端口电压相量与电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，以符号Z表示，即,(2.15a),(2.15b),或,图 2-18,其模型如图 2-18(b)所示。式(2.15)可改写成,（2.16a）,或,(2.16b),上式与电阻电路的欧姆定律在形式上相似，只是电流和电压都用相量表示，称为欧姆定律的相量形式。由式(2.15)容易看出，阻抗的单位为欧姆，并且它一般是复数，又常称Z为复阻抗。这可将,(2.17),式中,(2.18),(2.19),|Z|称为阻抗Z的模值，z称为阻抗角。式(2.17)是阻抗Z的极坐标形式，将它化为代数形式有,(2.20),式中,(2.21),(2.22),R称为阻抗Z中的电阻部分，X称为阻抗Z中的电抗部分。当X0时为感抗，当X0时为容抗。电抗为感抗的阻抗Z，称为感性阻抗；电抗为容抗的阻抗Z，称为容性阻抗。,2.阻抗的串联 图 2-19（a）是两个阻抗的串联电路。根据克希荷夫电压定律可写出它的相量表示式为,（2.23）,阻抗的串联,两个串联的复数阻抗可用一个等效复数阻抗Z来代替,且在同样电压的作用下,电路中电流的有效值和相位保持不变。图 2-19（a)的等效电路如图 2-19（b）所示。由图可得,（2.24）,比较两式得,(2.25),但要注意,因为|Z|Z1|+|Z2|,即I|Z|I|Z1|+I|Z2|,所以UU1+U2。这就是为什么在实训2中,用万用表测量电路中镇流器和灯管两端电压U1、U2,它们的和不等于总电压U的原因所在。只有等效复数阻抗才等于各个串联复数阻抗之和。在一般的情况下,等效复数阻抗可写成,(2.26),式中,在上列各式中,计算电抗时,感抗XL取正号,容抗XC取负号。,例 2.8 设在图 2-19（a）中的两个复数阻抗Z1=(6.16+j9)、Z2=(2.5-j4),。试用相量计算电路中的总电流 及各阻抗上的电压 和,并画出相量图。,解,则,所以,电流与电压的相量图如图 2-20所示。,图2-20 例2.9示意图,3.阻抗的并联 图 2-21（a）是两个阻抗并联的电路。根据基尔霍夫电流定律可写出其相量表示式,两个并联的复数阻抗也可用一个等效复数阻抗Z来代替。由图 2-21（b）所示的等效电路可得,比较上两式得,或,因为一般,即,所以,由此可见,只有等效复数阻抗的倒数才等于各个并联复数阻抗的倒数之和。但用上述方法直接计算等效复数阻抗并不方便,特别是并联支路较多时。因此,在分析与计算并联交流电路时常引用导纳。将阻抗的倒数称为导纳。设图 2-21（a）中第一个并联支路的复数阻抗为,阻抗的并联,式中,该支路的复数导纳为,式中,，称为该支路的电导;,称为该支路的感纳;,称为该支路的容纳;,称为该支路的导纳;,是该支路中,电流与电压之间的相位差。,在国际单位制中的电导、感纳、容纳及导纳的单位都是西门子（S）。同理,设第二个并联支路的复数导纳为,则等效复数导纳为Y=Y1+Y2,但要注意|Y|Y1|+|Y2|,只有等效复数导纳才等于各个并联复数导纳之和。在上列各式中,感纳BL取正号,容纳BC取负号。计算时可用导纳来代替阻抗,于是得,例 2.9 在图 2-21（a）中,有两个复数阻抗Z1=(3+j4),Z2=(8-j6),与其并接的总电源为,试计算电路中的电流、,并画出相量图。,例2.9图,解（1）用复数阻抗计算,（2）用复数导纳计算,则有,电压与电流的相量图如图 2-22所示。,2.6.2 电阻、电感及电容元件串联的交流电路 图 2-23（a）为电阻、电感及电容元件相串联的交流电路。串连电路中,各元件所通过的电流相同。电流、电压的正方向如图中箭头所示。,电阻、电感及电容元件串联电路,根据克希荷夫电压定律得,设电流 i=Imsint 为参考正弦量,初相角=0,则电阻元件上的电压uR与电流同相,即,电感元件上的电压uL比电流超前90,而电容元件上的电压uC比电流滞后90,同频率的正弦量相加,其结果仍为同频率的正弦量。在某一时刻瞬时电压的关系式为,为u与i之间的相位差。利用相量图可求出电压的幅值及相位差。如图 2-23（b）所示,将电压uR、uL、uC用相量、表示,3个相量相加可得出电源电压u的相量。由电压相量 所组成的直角三角形,称为电压三角形。如图 2-24所示。利用电压三角形,可求出电源电压u与电流i之间的相位差,（2.27）,及电源电压的有效值,(2.28),由式（2.28）可见,电路中电压与电流的有效值之比为,。它的单位也是欧姆,也具有对电流起,阻碍作用的性质,我们称它为电路的阻抗,用|Z|来表示。,（2.29）,由式（2.29）可见,|Z|、R、（XL-XC）三者之间的关系也可用一个直角三角形来表示,称为阻抗三角形（图 2-24）。电源电压u与电流i之间的相位差同样也可以从阻抗三角形得出,即,(2.30),如果XLX,即0,则在相位上电流i比电压u滞后角,这种电路是电感性的。如果XLX,即0,则电流i比电压u越前角,这种电路是电容性的。若XL=XC,即=0时,电流i与电压u同相,这种电路是电阻性的。所以,在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念,而且首先要有相位的概念。在RLC串联电路中,4 个电压的相位是不同的,电源电压应等于另外 3 个电压的相量之和,用基尔霍夫电压定律的相量形式表示电压与电流的关系则为,(2.31),若直接写成 U=UR+UL+UC,那就错了。也就是说,在交流电路的分析与计算过程中不能像在直流电路中那样直接用有效值去计算串联电路中的电压和并联电路中的电流。这一点在前面的实训结果中已得到了证实。,由式（2.31）得,式中的R+j（XL-XC）称为交流电路中的复数阻抗,用大写的Z表示,即,可见,复数阻抗的实部为“阻”,虚部为“抗”,它既表示了电路中电压与电流之间的大小关系（反映在复数阻抗的模|Z|上）,又表示了它们之间的相位关系（反映在复角上）。要注意,复数阻抗不同于正弦量的复数表示,它不是一个相量,只是一个复数的计算量。另外,在已知电压u和电流i的变化规律及相互关系后,便可求出瞬时功率p。,因为,且,所以,由于电阻元件上要消耗电能,用有功功率（或平均功率）表示为,从电压三角形（图 2-24）可得出,(2.32),则,而电感元件和电容元件只是储放能量,即它们与电源之间要进行能量交换,相应的无功功率为,(2.33),式（2.32）和式（2.33）是计算正弦交流电路中有功功率（平均功率）和无功功率的一般公式。,由上述可知,一个交流发电机输出的功率不仅与发电机输出的端电压及输出电流的有效值的乘积有关,而且还与电路负载的参数有关。若电路所具有的参数不同,其电压与电流间的相位差就不同,那么在同样电压U和电流I之下,电路的有功功率和无功功率也就不同。式（2.32）中的cos称为功率因数。由式（2.32）可知,在交流电路中,平均功率不等于电压与电流有效值的乘积,我们将两有效值的乘积称为视在功率S,即,通常交流电气设备（发电机、电动机、变压器）都是按照额定电压UN和额定电流IN来设计和使用的。例如变压器的容量就是以额定电压和额定电流的乘积来表示的,称之为额定视在功率SN,视在功率的单位是伏安（VA）或千伏安(kVA)。由于有功功率（平均功率）P、无功功率Q和视在功率S三者所代表的意义不同,为了区别起见,各采用不同的单位。三者之间满足如下关系:,显然,它们之间的关系也可用一个直角三角形来表示,称为功率三角形,其形状与图2-24所示的电压及电阻三角形是相似的。但功率P、Q及S都不是正弦量,所以不能用相量表示。以上我们分析了电阻、电感与电容元件串联的交流电路,但在实际中我们常可以将电路等效为电阻与电感元件串联的电路（电容的作用可忽略不计）或电阻与电容元件串联的电路（电感的作用可忽略不计）。交流电路中电压与电流的关系（大小和相位）具有一定的规律性,掌握这些规律,就能方便地分析各种正弦交流电路。,例 2.10 如图 2-25（a）所示,已知R=2k,C=0.01F,输入信号电压的有效值U1=1V,频率f=5000 Hz。试求输出电压U2（有效值）及它与输入电压的相位差,并绘出相量图。,解 先求出阻抗,电路中的电抗为,电路的阻抗为,电路中电流为,输出电压为,电流与输入电压的相位差为,计算表明,电流i超前于电压u1 的相角为57.8,而电阻上的电压u2与电流i同相位,所以输出电压u2超前于输入电压u1 的相角为57.8,其相量图如图 2-25（b）所示。若用复数运算,如图 2-25（b）所示。,则电路中的电流为,输出电压,可见,后者与前者计算结果相同,输出电压U2=0.532V,在相位上超前输入电压57.8。由于输出电压相对于输入电压发生了相位的偏移,这种RC电路常称为移相电路。当工作频率一定时,选取不同的电路参数（R、C）就可以得到不同的相移。当输出电压从电阻两端引出时,输出电压超前于输入电压,超前的角度为阻抗角;若输出电压从电容两端引出时,输出电压滞后于输入电压,滞后的角度为（90-）。但这种单级移相电路的相移范围不会超过90,若要求实现180移相,要用三级以上的电路构成。,例 2.11 在图 2-23(a)所示的RLC 串联电路中,已知,试求:（1）XL、XC与Z的值。（2）电流有效值I及瞬时值i。（3）各部分电压有效值和瞬时值。（4）并画出相量图,解(1),(2),(3),相量图如图 2-26所示。,2.6.3 功率因数的提高 实际用电设备的功率因数都在 1 和 0 之间,例如白炽灯的功率因数接近1,日光灯在0.5左右,工农业生产中大量使用的异步电动机满载时可达0.9左右,而空载时会降到0.2左右,交流电焊机只有0.30.4,交流电磁铁甚至低到0.1。功率因数的大小直接关系到交流电源提供功率的损耗。由于在电力系统中接有大量的感性负载,线路的功率因数一般不高。,1.提高功率因数的意义 1）充分利用电源设备 一般交流电源设备（发电机、变压器）都是根据额定电压UN和额定电流IN进行设计、制造和使用的。它能够给负载提供的有功功率为P1=UNINcos。当UN、IN为定值时,若cos低,则负载吸收的功率就低,因而电源供给的有功功率P1也低,这样电源的潜力就没有得到充分发挥。,例如额定容量为SN=100 kVA的变压器,若负载的功率因数cos=1,则变压器工作在额定状态时,可输出有功功率P1=SNcos=100kW;若负载的cos=0.2,则变压器工作在额定状态时输出的有功功率为P1=SNcos=20kW。若增加输出,则电流就会过载。所以,这时的变压器并没有得到充分利用。因此,提高负载的功率因数,就可以提高电源设备的利用率。,2）降低线路损耗和线路压降 输电线上的损耗为（R为线路电阻）,线路压降为U1=RI1,而流过线路的电流为I1=P/(U cos)。由此可见,当电源电压U及输出有功功率P一定时,提高cos,可以使线路电流减小,从而降低传输线上的能量损耗,提高传输效率。同时使线路上的压降减小,负载的端电压的变化也减小,提高了供电质量。在相同的线路损耗的情况下,可以节约用铜。因为cos提高,电流减小,在P一定时,线路电阻可以增大,故传输导线可以细些,节约了铜材。,提高功率因数的方法 提高功率因数的方法除了提高用电设备本身的功率因数（例如正确选用异步电动机的容量或减少轻载和空载）外,主要是通过在感性负载两端并联电容器的方法对其无功功率进行补偿,如图 2-27（a）所示。,设负载的端电压为,在未并联电容时,感性负载中的电流为,当并上电容后,不变,而电容支路电流为,则线路总电流为,相量图如图 2-27（b）所示。从相量图可看出,在感性负载的两端并联适当的电容后,可使电压与电流的相位差减小,即原来是1,现减小为2。由于cos2 cos1,线路中总电流由I1减小为I。这时感性负载与电容器之间发生能量互换,因而使电源设备的容量得到充分利用,线路上的能量损耗和压降也相应减小。,3并联电容的选取 未并入电容时,电路的无功功率为,而并入电容后,电路的无功功率为,因而电容需要补偿的无功功率为,又因,所以,式中P是负载所吸收的有功功率,U是负载的端电压,1和2分别为补偿前和补偿后的功率因数角。为了提高电网的经济运行水平,充分发挥设备的潜力,减少线路功率损失和提高供电质量,国家有关部门规定一般工业用户的功率因数以0.85为标准,优惠用户以0.90为标准,若用户实际月平均功率因数超过或低于标准功率因数时,要按一定的百分比减收或增收电费。,例 2.12 某电源SN=20kVA,UN=220V,f=50Hz。试求:（1）电源的额定电流;（2）若电源向功率为 40W、cos1=0.54 的日光灯供电,最多可点多少盏？此时线路的电流为多少？（3）若将电路的功率因数提高到cos2=0.9,此时线路的电流是多少？需并联多大的电容？,解（1）额定电流,（2）设日光灯的盏数为n,即nP=SNcos1,则,此时线路电流为额定电流,即I1=91A。,（3）因电路总的有功功率P=n40=25040=10kW,所以此时线路中的电流为,将功率因数由0.5提高到0.9,线路电流由91A下降到50.5A,使电源仍有潜力给其他负载供电。又因为cos1=0.5,1=60,tan1=1.731,cos2=0.9,2=25.8,tan2=0.483,则所需并联电容器的电容量为,2.7.1 互感及互感器 1.互感 图-28 所示为两个相距很近的线圈（电感）。当线圈中通入电流时,在线圈1中就会产生自感磁通11,而11中的一部分（或全部）将与另一线圈相交链,用21表示,且2111。这种一个线圈的磁通与另一线圈相交链的现象,称为磁耦合。将21称为耦合磁通,或互感磁通。,2.7 互感与变压器,当线圈中的电流变化时,自感磁通11也会随电流的变动而变化。根据电磁感应定律,除了在线圈中产生自感电压外,还将通过耦合磁通21的变化在线圈中也产生感应电压,该电压称为互感电压,记为21。根据线圈的绕向，选择21和21的参考方向,它们之间符合右螺旋定则。,式中21为互感磁通链。设线圈的匝数为,则 2121。,同理,如果线圈中通以电流时,在线圈中也会产生磁通22,它的一部分（或全部）与线圈交链,用12表示,1222。在线圈中产生的互感磁通链12112,1为线圈的匝数。当电流2变动时同样会在线圈中产生互感电压12。按照右手螺旋定则可确定12和12的参考方向。,如果线圈周围没有铁磁物质,则互感电压可分别写为,式中M12=|12/i2|,M21=|21/i1|,12、21称为互感系数或互感,单位为亨利（）,可以证明1221,表明互感具有互易性。,根据以上分析可见,按右手螺旋定则所确定的互感电压的正极性（或参考方向）与施感电流的参考方向和两个线圈的绕向都有关系。而且施感电流流进线圈的端子（简称为进端）与另一个线圈中的互感电压的正极性端有着对应的关系。我们将具有这种对应关系的端子称为两耦合线圈的同名端（对应端）,并用符号“.”将它们标记出来。也可把图 2-28的两个耦合线圈（电感）用图 2-29的模型符号来表示。,耦合线圈的同名端是这样规定的：假设两电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)，如果交链各线圈的自磁通与互磁通方向一致，则这两端称为该耦合线圈的同名端。,图2-29 图形符号,若知道耦合线圈的位置及线圈的绕向，根据上述同名端的规定，可以判定它们的同名端。而实际中，有的耦合线圈是密封的，外部只露出4个端子，两线圈的相对位置及绕向从外部全然看不出。工程上常用实验的方法来确定这类耦合线圈的同名端。例如当有增大的施感电流注入线圈时（进端）,则它与耦合线圈中电位升高的一端构成同名端。,例 2.13 如图 2-30所示,已知线圈的绕向和位置,试判别同名端。,解 方法一,在图（a）中,设电流i1从L1线圈的a端流入,按右手螺旋关系确定它所激励的磁通方向（用实线表示）,该磁通的一部分穿入L2线圈,线圈L2中产生感应电压及电流,其对应的磁通会阻碍穿入磁通的变化,因此,用右手螺旋关系可确定线圈L2中所产生感应电压的正端为d端,所以a、d两端为同名端;b、c两端也为同名端。方法二,设电流i1、i2分别从a端、d端流入,按右手螺旋关系分别画出电流i1、i2所激励的磁通,分别用实线和虚线表示,磁通相助,可判定a、d两端为同名端。同理可判定图（b）中a、c两端为同名端,b、d两端也为同名端。,2电压互感器在高电压的交流电路中必须使用电压互感器,将高压转变为低压（常为100V）,以便测量、继电保护及电路指示等。电压互感器的原绕阻匝数较多,与被测电路并联。副绕组的匝数较小,接测量仪表和