概率论与数量统计.ppt
1.3 条件概率与贝叶斯公式,一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯公式,条件概率 Conditional Probability,抛掷一颗骰子,观察出现的点数,A=出现的点数是奇数1,3,5,B=出现的点数不超过31,2,3,若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率,即事件B已发生，求事件A的概率(|),AB都发生，但样本空间缩小到只包含的样本点,设,为同一个随机试验中的两个随机事件,且()，则称,为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率,定义,条件概率 Conditional Probability,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概率 P(A|B)的样本空间,概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为。,因而有,例 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设表示取得一等品，表示取得合格品，则,（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以,（2）方法1：,方法2：,因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以,三张卡片的游戏,假设老师的手里的三张卡片是不同的 现在把卡片放在包里摇晃一番，让你随意地抽出一张来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出来，是黑点或者是圆圈。假定露出的是个圆圈，要与你赌这张卡片的背面是什么？是黑点，还是圆圈。我赌的是正反面一样，都是圆圈，那你只能赌黑点了。你觉得这个游戏公平吗?很明显这张卡片不可能是黑点-黑点卡，因此，它要么是圆圈-圆圈卡，要么是黑点-圆圈卡，二者必居其一，这样一来，这张卡片的背面不是黑点，就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，你和我赢的机会均等，都是。,让我们看看问题出在哪里？我千方百计要你相信的是，同样可能发生的情况只有两种。然而事实是，同样可能发生的情况有三种 在这里你一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一张放在桌子上，同样可能发生的情况有六种：1.黑点-黑点卡的正面；2.黑点-黑点卡的反面；3.圆圈-黑点卡的正面；4.圆圈-黑点卡的反面；5.圆圈-圆圈卡的正面；6.圆圈-圆圈卡的反面。因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圆圈，它所代表的情况可能是：圆圈-黑点卡的正面；圆圈-圆圈卡的正面；圆圈-圆圈卡的反面。在这三种情况中，“正反面一样”的情况占了两种，因此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，你的钱很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。,例 考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）,=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),解,于是得,故两个条件概率为,乘法法则,推广,一批产品中有 4%的次品，而合格品中一等品占 45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率,设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品，则,于是,所以,解,例,解,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率;(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,设表示第一次取得白球,表示第二次取得白球,则,（2）,（3）,（1）,例,练一练,全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,练一练,某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”,则,所求概率为,解,一、全概率公式,0.6,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率,例,A=第一次取到白球,B=第二次取到白球,所以,全概率公式,设1,2,.,n 构成一个完备事件组，且(i)0,i1,2,.,n，则对任一随机事件，有,全概率公式,例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率,解,设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是1,2,3,4，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：,95.50.520.151.50.110.05,0.4825,贝叶斯公式 Bayes Theorem,后验概率,设A1，A2，,An构成完备事件组，且诸P(Ai)0,B为样本空间的任意事件，P(B)0,则有,(k=1,2,n),证明,贝叶斯公式 Bayes Theorem,例 设某工厂有甲乙丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25%,35%,40%,而且各车间的次品率依次为 5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率.,解,设1,2,3 分别表示产品由甲乙丙车间生产,表示产品为次品.显然,1,2,3构成完备事件组.依题意,有,(1)25%,(2)=35%,(3)40%,(|1)5%,(|2)4%,(|3)2%,(1|),甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？,解,设B=“从乙箱中取出白球”，,A=“从甲箱中取出白球”，,练一练,利用全概率公式,爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5%(即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴性)，假阳性比例为1%(即在不携带病毒的人中，有1%的试验结果为阳性).据统计人群中携带病毒者约占1，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率.,讨论,符号引入：“携带病毒”为A，“实验呈阳性”为B，则,求,已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。,练一练,解：设A=“男子”，B=“女子”C=“这人有色盲”,
