有理系数多项式与矩阵的相似对角化.ppt

1,带余除法定理 设 a,bZ,b 0,则存在 q,rZ,使 a=bq+r,0 r|b|,且 q 和 r 由 a,b 唯一决定,分别称为商和余数.,定义3 设 a,bZ,若 Z 中存在元素 d 满足(1)d|a,d|b,(2)若 c|a 和 c|b,则 c|d,则称 d 为 a 和 b 的最大公因子.,最大公因子定理 对任意两个整数 a,b,存在两个整数 u,v,使得 a,b 的最大公因子(a,b)=ua+bv.,算术基本定理 每个大于1的自然数均可写为素数的积,而且这些素因子按大小排列之后,写法仅有一种方式.,2,定理3 设 f(x)Zx,若,其中 r,sZ,且(r,s)=1,则,证明,又因为(r,s)=1,由最大公因子定理存在整数 u,v 使得 ur+vs=1,在这个等式两边取 n 次方可知存在整数 w 使得 unrn+ws=1,把等式两边同乘上 an 可得 unanrn+wsan=an,所以,同理可证,例2 在 Qx 中多项式 f(x)=x3+x2+1 是否可约?解 由定理3该多项式有理根只可能是正负1,这两个数均不是该多项式的根,所以该多项式不可约.,3,定义5 定义 n 个整数的最大公因子为这 n 个整数的公因子中可被所有公因子整除的公因子.整系数非零多项式的所有系数的正最大公因子称为该多项式的容度.容度为1的多项式称为本原多项式.,定理4 对任意三个整数 a,b,c,有(a,b,c)=f 存在,且f=d=(a,(b,c)=(a,b),c)=e.,证明 d|a,d|(b,c)d|a,d|b,d|c d|(a,b),d|c d|e,同理可证 e|d,所以 d=e.同理可证 f 存在,且 f=d.,4,Gauss引理 设 f(x),g(x)Zx 为两个本原多项式,则 f(x)g(x)也是本原多项式.证明 用反证法:若不然,存在素数 p 能整除 f(x)g(x)的所,有系数,记,则 b0c0=a0,brcs=an,n=r+s,因为 p|a0,由定理2推论可知p|b0 或 p|c0,所以不妨设 p|b0,由于f(x)是本原多项式,故,p 不能整除 f(x)的所有系数,所以存在 k r 使得 p 能整除 b0,b1,bk1,但 p 不能整除 bk,此时分两种情况:(1)p 不,不能整除 c0,则 p 不能整除 b0ck+b1ck1+bk1c1+bkc0=ak,矛盾.(2)p|c0,由于 g(x)也是本原多项式,所以存在 l s,使得 p 能整除 c0,c1,cl1,但 p 不能整除 cl,此时 p 不能,整除 b0ck+l+bk1cl+1+bkcl+bk+1cl-1+bk+lc0=ak+l,矛盾.,5,定理5 整系数多项式,在 Qx 中可约 f(x)可分解为 Zx 中两个次数较低的多项式的乘积.(P.16定理8.12改错),证明 充分性是显然的.下证必要性:设 f(x)可分解为两,个非常数的有理系数多项式的乘积,分别把这两个有理,系数多项式的系数通分,不妨设,这里 g(x)和 h(x)均为本原多项式,而 a 和 b 是两个互素的整数,由Gauss引理 g(x)h(x)仍是本原多项式,故 a/b 为整系数多项式 f(x)的容度,故 b=1,所以 f(x)=ag(x)h(x).,6,例3 Qx 中多项式 f(x)=x4+1 是否可约?解 显然该多项式无有理根(没有实根),用待定系数法和定理5可以证明该多项式也不能分解为 Qx 中两个二次多项式的乘积,所以该多项式在 Qx不可约.,注 证明 Qx 中多项式 f(x)=x4+1 不可约,还可用下面的Einsenstein判别法以及 f(x)可约 f(x+1)可约(?).,7,Eisenstein判别法 设,且若存在素数 p 不能整除,能整除,但 p2,不能整除,则 f(x)在 Qx 不可约.,证明,用反证法,若 f(x)在 Qx 可约,则由定理5,f(x)可,分解为两个次数较低的整系数多项式 g(x)和 h(x)的乘积,记,则 b0c0=a0,bsct=an,且 s 0,t 0,n=s+t,因为 p|a0,但 p2 不能整除 a0,所以不妨设 p|b0,但不能整除 c0,又因为 p,不能整除 an,故 p 不能整除 bs,设 p 能整除 b0,b1,bk1,但 p 不能整除 bk,所以 p 不能整除 ak=b0ck+b1ck1+bk1c1+bkc0,这里 k s n,与题设矛盾.,8,定义6 设 f(x),g(x)Zx,若存在 q(x)Zx,使得 f(x)=g(x)q(x),则称在 Zx 中 g(x)能整除 f(x),g(x)称为 f(x)在 Zx 中的因式,f(x)称为 g(x)在 Zx 中的倍式,否则称 g(x)在 Zx 中不能整除 f(x).在 Zx 中 2 不能整除 x.在 Zx 中带余除法定理不成立,例如不存在整系数多项式 q(x)和次数小于 deg 2=0 的整系数多项式(只能是零多项式),使得 x=2q(x)+0.,若整系数多项式 f(x)可表为两个整系数多项式 g(x)和 h(x)的乘积,且 f(x),g(x)和 h(x)均不等于零或正负1,则称整系数 f(x)在 Zx 中可约,否则称 f(x)在 Zx 中是不可约的.,0和正负1在 Zx 中既不是可约的,也不是不可约的.P.17倒数第79行改错.,9,例4 判断下面的结论是否正确,并说明理由:(1)2x 是 Zx 中不可约多项式.(2)2 是 Zx 中不可约多项式.(3)2 是 Qx 中不可约多项式.,解(1)2x 是 Zx 中可约多项式,因为 2 和x是 Zx 中不可约多项式.(2)2是 Zx 中不可约多项式(3)2 既不是 Qx 中不可约多项式,也不是Qx 中可约多项式.,10,例5 设 p 是一个素数,则 f(x)=xp-1+xp-2+x+1 在 Q 上不可约.,证明 由于 f(x)可约 f(x+1)可约.,由算术基本定理可知 f(x+1)满足 Eisenstein 判别法,故 f(x)在 Q 上不可约.f(x)称为 p 次分园多项式.,11,例6 由P.12例8.8可知,为5次分园多项式,x4+x3+x2+x+1=0 的根,为 y2+y-1=0的根,由此可用尺规作正五边形.,1796年高斯(Carl Friedrich Gauss,17771855)给出正十 七边形的作法.高斯在19岁时就发现了正十七边形的尺 规作法,对他本人可以说是刻骨铭心的事件.因此,在他 的墓碑上刻上了正十七边形,作为永久的纪念.,12,第四讲 有理系数多项式与矩阵的相似对角化,线性变换在不同基下的矩阵,设 V 是 n 维线性空间,1,2,n 和 1,2,n 是 V 的两组基,这两组基之间有一个过渡矩阵 P,即,其中 P 是 n 阶可逆阵.,又设 是线性空间 V 上的一个线性变换,在这两组基下的矩阵分别是 A 和 B,即,由(1),(2)和(3)式,有,13,由于 1,2,n 线性无关,所以,或,由此可见,同一个线性变换在不同基下的矩阵是由这两组基的过渡矩阵把它们联系在一起的.我们把矩阵间的这种关系叫做相似关系.,设 A,B 是两个 n 阶方阵,如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B,则称矩阵 B 相似于矩阵 A,记作 A B.,相似作为 n 阶方阵之间的一种关系,满足以下三条性质:,(1)自反性:AA;(2)对称性:若AB,则BA;,(3)传递性:若AB,BC,则AC.,由于矩阵的相似关系有对称性,如果A相似于B,则 B 也 相似于A,以后就简单称作A与B相似或 A,B 是相似矩阵.,14,(1)相似矩阵有相同的行列式.,(2)相似矩阵有相同的可逆性,且如果A B,那么 A-1 B-1.,(3)如果 A B,则 Am Bm,其中 m 是正整数.,(4)若 A B,设 f(X)是一个一元多项式,则 f(A)f(B).,(5)相似矩阵有相同特征多项式.,(6)相似矩阵具有相同的特征值、迹(trA)和行列式.,15,例1 当 x,y 满足()时,矩阵 A 与 B 相似,这里,(1)x=0 且 y=0,(2)x=0 或 y=0,(3)x=y,(4)x y.,解 若 A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征多项式相等,即,令=0 可得(x-y)2=0,所以 x=y,再令=1 可得,x2+y2=0,所以 2x2=0,故 x=y=0,答案只可能为(1),下面我们来证明当 x=y=0 时,矩阵 A 和 B 是相似的.,16,即要证明,可逆阵 P 使得 P-1AP=B=diag(0,1,2).我们先分析如下:,相似，即存在三阶,用 X1,X2,X3 表示 P 的三个列向量,即设 P=(X1,X2,X3).则 P-1AP=diag(0,1,2),AP=P diag(0,1,2),即(AX1,AX2,AX3)=(0,X2,2X3),等式两边的列向量应当依次相等,所以:,AX1=0,AX2=X2,AX3=2X3,反之设 X1,X2,X3 是三个线性无关的列向量,满足:,AX1=0,AX2=X2,AX3=2X3,令 P=(X1,X2,X3),则,AP=A(X1,X2,X3)=(AX1,AX2,AX3)=(0,X2,2X3)=(X1,X2,X3)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2),P-1AP=diag(0,1,2)=B.,17,故 A 与 B 相似 存在三个线性无关的列向量 X1,X2,X3,满足 AX1=0,AX2=X2,AX3=2X3,即 A 有三个线性无关的特征向量,下面我们先来求 A 的特征向量.,将 1=0 代入(I-A)X=0 得到(-A)X=0,即,解得基础解系:,证明,因此属于1=0的全部特征向量就是 kX1,k 取遍所有非零数.,将 2=1 代入(I-A)X=0 得到(I-A)X=0,即,解得基础解系:,18,因此属于 2=1 的全部特征向量就是 kX2,k 取遍所有非零数.,将 3=2 代入(I-A)X=0 得到(2I-A)X=0,即,解得基础解系:,因此属于 3=2 的全部特征向量就是 kX3,k 取遍所有非零数.,显然 X1,X2,X3 线性无关,是 A 的三个线性无关的特征向量,令 P=(X1,X2,X3),则 P 可逆,且,AP=A(X1,X2,X3)=(AX1,AX2,AX3)=(0,X2,2X3)=(X1,X2,X3)diag(0,1,2)=Pdiag(0,1,2)P-1AP=diag(0,1,2)=B.,A 与 B 相似,19,现在可以明确提出我们的中心问题:对于给定方阵 A,如果存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵,则称矩 阵 A 可对角化.中心问题:A 可对角化的条件?,设 n 阶矩阵 A=(aij)可对角化,即存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 P-1AP=diag(1,2,n).,用 X1,X2,Xn 表示 P 的 n 个列向量,即 P=(X1,X2,Xn).则 P-1AP=diag(1,2,n),AP=P diag(1,2,n),20,等式两边的列向量应当依次相等,所以:,这说明,如果存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP 是对角矩阵,那 么 P 的列向量必须满足上述条件,即为 A 的 n 个线性无关 的特征向量.,那么,如果能找到 n 个线性无关的特征向量,是不是也可 以用这 n 个向量为列构造可逆矩阵 P 使得 P-1AP 是对角 矩阵?答案是肯定的.,21,设 X1,X2,Xn 是 n 个线性无关的列向量,且满足:,AXi=iXi,i=1,2,n.如果令 P=(X1,X2,Xn),则 AP=A(X1,X2,Xn)=(AX1,AX2,AXn)=(1X1,2X2,nXn)=(X1,X2,Xn)diag(1,2,n)=Pdiag(1,2,n),P-1AP=diag(1,n),以上的讨论说明,矩阵能不能对角化的关键是能不能找到 n 个线性无关的特征向量 X1,X2,Xn,设 AXi=iXi,i=1,2,n.,令 P=(X1,X2,Xn),则 P-1AP=diag(1,n),22,至少要解决以下问题:怎样的 n 阶矩阵 A 能找到 n 个线性无关的向量 X1,X2,Xn,满足条件 AXi=iXi,i=1,2,n.(2)如何找到这样的 n 个向量,在可对角化的时候完成对角 化.,23,第四讲习题,习题八(PP.18-19):26(1)(2),27(1)(3)(4)(5),