数学物理方法-球函数.ppt

1,第十章 球函数,轴对称球函数2.连带勒让德函数3.一般的球函数,球函数,称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：,其中：函数满足连带勒让德方程：,第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在x=1处发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作阶勒让德多项式。,第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，,通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在,x=,1,处,发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓,“,自,然边界条件,”,，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇,数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的,解，它,要求,必须为整数,，从而使无穷级数截断为有限,阶，称作,阶,勒让德多项式,。,4,一.勒让德多项式,轴对称球函数（m=0）,(1)一般表达式,级数表示,约定级数中最高次幂 的系数是,反用系数递推公式,5,微分表示,展开,再求导L次可得,积分表示,6,常用的勒让德多项式,7,图象,8,9,二.勒让德多项式的性质,奇偶性Pl(-x)=(-1)l Pl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题,10,三 完备性应用例题,例1：把函数 f(x)=2x3+3 x+4 用勒让德多项式展开。,11,轴对称拉普拉斯方程的求解,四 勒让德多项式的应用,12,例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u。,13,例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内外的电场强度,分析：球内电势 球外电势 衔接条件,14,一.连带勒让德函数,10.2 连带勒让德函数,设 带入方程整理得:,有限,求对应的本征函数:,15,利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:,所以,通常记作:,16,注意:区分,17,18,19,二.连带勒让德函数的性质奇偶性 正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数,m相同的连带勒让德函数是完备的,20,10.3 球函数,球函数方程,一.球函数,21,任取其一,球函数方程的解为球函数:,二.球函数的性质,正交性,22,完备性,例1.用球函数把下列函数展开,例2.用球函数把 展开,23,三.拉普拉斯方程的非轴对称定解问题,拉普拉斯方程在球形区域的定解问题,如果是非轴对称的,问题与 有关,用一般的球函数,例4.半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势为 为常数,求球形区域内部的电势分布,解:定解问题为,24,由边界条件知:解为一般的球函数,由于解在内部有限,所以含 项舍去,所以,代入边界条件:,25,比较系数得:,其它系数为零,右边按球函数展开：,方程的解为：,26,练习：,