数学分析第三十六次课.ppt

北京理工大学第一学期工科数学分析,第四节 线性微分方程解的结构,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,注:齐次线性方程的解符合叠加原理.,例如,线性无关,线性相关,例如,定义,2.一阶线性非齐次方程的解的结构:,一阶线性非齐次微分方程,对应的齐次方程的通解,非齐次方程的一个特解（与 c=0 对应的特解）,结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和,3.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,定理 4 通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理,定理 4 同样可以推广到 n 阶非齐次方程的情形,三、二阶线性微分方程的解法,对一般的二阶线性微分方程的求解是困难的，没有一般的解法。下面介绍的是已知方程的某些解的条件下如何求得其通解。-降阶法与常数变易法,已知二阶线性齐次方程的一个非零特解，求其通解,是（1）的一个已知的非零特解,作变量替换：,代入（1）得：,注意:,1.降阶法-刘维尔公式,-二阶齐次方程的通解,作变量替换：,分离变量得:,两边积分得:,刘维尔公式,是方程,例1:设,的一个解,试求方程的通解,解:令,代入方程并化简得,作变量替换：,两边积分得:,是方程,例1:设,的一个解,试求方程的通解,解:令,所以,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,已知相对应的线性齐次方程的通解，求二阶线性非齐次方程的特解,常数变易法,如果对应的齐次线性方程,则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：,2.常数变易法-求非齐次线性方程的特解,有通解:,补充条件:,所以,代入（1）并化简得,解之得：,则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解：,若能求得（2）的一个特解,则可按以下步骤求得（1）的通解：,（2）由常数变易法求出（1）的一个特解：,从而得到齐次方程（2）的通解：,（1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解，,（3）写出方程（1）的通解,的通解,例2:求方程,解:,由刘维尔公式得,齐次方程（2）的通解为：,由常数变易法，设所求方程的特解为:,由,得,的通解,例2:求方程,解:,由常数变易法，设所求方程的特解为:,解方程组得：,积分并取一个原函数得：,四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,作业,P3801，2，3，4,5,6.,练 习 题,练习题答案,