3[1].4向量组的极大无关组.ppt
第3.4节 向量组的极大 线性无关组,线性代数,主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三 向量组的秩与矩阵秩的关系,一、等价向量组,即,自反性：一个向量组与其自身等价；,对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；,传递性：与 等价,与 等价，则 与 等价。,等价向量组的基本性质,(2),则向量组 必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,简称极大无关组。,（2）任意r1个向量都线性相关。（如果有的话）,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。,（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示,例如：在向量组 中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。,定理：,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩,记作,例如：向量组 的,秩为2。,1.向量组的秩,（4）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。,2.矩阵的秩,2.1.行秩、列秩、矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。,例如：矩阵,的行向量组是,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）,（1）对换矩阵A的两行,A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。,（2）用非零常数k乘以A的第i行,又等价的向量组有相同的秩，,即A的行秩不变。,（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上,所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）,证：设矩阵A经过初等行变换变为B，,即存在有限个初等矩阵,使得,不妨设A的列向量组的极大无关组为,（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）,则,因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。,线性无关。,（2）再证B的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是A的列向量组的极大无关组,使得,所以，B的列秩rA的列秩,综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,2.2 矩阵秩的求法.,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。,解:,解：看行秩,例2：求上三角矩阵的秩,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行 是线性无关就行了。,设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地变换列的顺序，不妨设,其中,显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。,加上任一零行即相关，所以矩阵A的秩矩阵A的行向量组的秩非零行的行数,求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,求向量组的秩、极大无关组的步骤.,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。,（根据见引理2，幻灯片16）,解：,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,2.3 矩阵秩的性质,(1)等价的矩阵，秩相同。,(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,(4),当AB=0时，有,（证明在习题课讲）,3.矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,
