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第九讲 假设检验（续）,一、一致最优功效检验,（一）单边假设检验,（二）双边假设检验,二、一致最优功效无偏检验,一、一致最优功效检验,设统计模型为，,考虑检验问题,对这个一般的假设检验问题给出最优检验的定,义如下：,定义9.1,在检验问题(7)中，,的检验，,有,不等式,简记为UMPT。,对所有的 都成立，,对复合假设检验而言，,UMPT的存在性不,但与总体的分布有关，,而且与所考虑的假设检,验问题有关。,为了说明问题，,我们先看下面两个,例子。,例9.1,的简单样本。,求检验问题,解,由例8.1可知，,检验问题,水平为 的最优功效检验具有拒绝域,或检验函数,它显然也,是检验问题(9)的水平为 的检验。,又由于,是检验问题(9)的水平为 的MPT，,所以对任意,给定的,有,都有,由此例可知对简单原假设对简单备择假设检,如果MPT不依赖于备择假设的参数，,验问题，,则,可适当扩大备择假设，,并由MPT获得UMPT。,这,扩大了N-P引理的应用范围。,例9.2,的简单样本，,试证明检验问题,证明,反证法,假设所考虑检验问题的水平为,的UMPT是，,有,则对任何水平为 的检验,因此有,特别地，,根据N-P引理知 具体,表示式为,此时MPT 的功效为,由分布函数的非减性知，,单调增函数，,这与(9)矛盾，,故结论成立。,我们将N-P引理应用这个例子，,对检验问题,而对检验问题,这说明对检验问题,相应MPT的拒绝域与备择假设有关，,因此一致,最优功效检验(UMPT)就不一定存在。,那么在什,么情况下UMPT存在？,若存在，如何来求？,为,了方便我们将检验问题分成单边检验问题和双边,检验问题：,双边检验问题,并分别进行讨论。,（一）单边假设检验,从例9.1可知，,在有些情况下，,关于单边假设检,验问题,存在,UMPT。,但一般来说对单边检验问题，,由于MPT,依赖于参数的备选值，,所以UMPT可以不存在。,那么在什么情况下UMPT存在及如何求呢？,我们,有下面的判断定理。,定理9.1,率)是单参数的并可表示为,函数，,则对单边检验问题,(1),其检验函数为,水平为 的UMPT存在，,（10）,其中常数 和 有下式确定,(2),的增函数。,注意：,有关这个定理的详细证明可参看Bickel P.J.,Mathematical Statistics-Basic Ideas and Selected Topics,(1),的确定方法可参看N-P引理的注。,如果定理中的 是 的严格单减函数，,则,定理的结论同样成立，,只需要将(10)中的不,等号改变方向。,(2),(3),对假设检验问题,则定理8.1的结论全部成立。,(4),对假设检验问题,和假设检验问题,可以分别化为假设检验问题,同样可以使用定理8.1来求UMPT。,和假设检验问题,例9.3,分布，,设某种设备的寿命服从参数为 的指数,即密度函数为,我们想知道这种类型的设备的平均寿命 是否,大于，,即所考虑假设检验问题为,现抽取 个此类设备进行试验直到设备不能正,解,常工作为止，,并记录其寿命分别为,样本的联合密度函数为,令,则假设检验问题变为,可改写为,这样,的拒绝域为,由定理9.1可知水平为 的UMPT,单调增函数，,(连续随机变量),其中 满足,因此只要求出 的分布，,就可确定常数，,留,作课后习题。,例9.4,设 是来自正态总体,的简单样本，,其中 是未知参数。,试求检验问,题,的水平为 的UMPT。,解,样本的联合密度函数为,(11),即,这样,格单调增函数，,所以有定理9.1对检验问题(11),而言，,UMPT存在。,由于 是连续随机变量，,水平为 的UMPT的检验函数为,其中 常数由下式确定,又由于当 时，,再由 相互独立性可得,所以,得，,故所求的检验问题的水平为 的,UMPT的拒绝域为,（二）双边假设检验,这里仅讨论假设检验问题,的UMPT的存在性及求法，,至于另两类双边假设,检验问题留在后面讨论。,定理9.2,率)是单参数的并可表示为,(12),函数，,则对双边检验问题(12)，,存在水平为,的UMPT,其检验函数为,其中四个常数 由下式确定,二、一致最优功效无偏检验,对另外两类双边假设检验问题,和,即使样本的联合密度函数(或分布率)(单参数)具,有定理9.1和定理9.2中的常见表达式，,关于这两,类检验问题的UMPT也不存在。,实际上例9.2早,已说明了这一事实。,(13),(14),既然对上述两类检验问题不存在UMPT，,哪,如何处理呢？,象估计问题一样，,自然是对检验提,出某种合适的要求，,然后在满足这种特定要求的,较小的检验类中寻找最优的检验，,其中一种简单,的要求就是所谓的无偏性。,定义9.2,设 是假设检验问题,的检验函数，,若其功效函数 满,足条件,显然，,水平为 的UMPT一定是无偏检验。,定义9.3,在检验问题,中，,若存在一个水平为 的无偏检验，,使得,对任一水平为 的无偏检验，,不等式,对所有的 都成立，,则称检验 是水平,简记为UMPUT。,对某些检验问题，,虽然不存在UMPT，,但存,在UMPUT，,例如对上面提到的两类双边检验问,题，,就存在UMPUT。,UMPUT存在性及如何构,造归结为如下两个定理。,定理9.3,率)是单参数的并可表示为,函数，,则对双边检验问题(14)和任一水平,存在UMPUT,其检验函数为,其中四个常数 由下式确定,定理9.4,率)是单参数的并可表示为,函数，,则对双边检验问题(13)和任一水平,存在UMPUT,其检验函数为,其中四个常数 由下面两个式子确定,例9.5,设 是来自正态总体 的,简单样本，,其中 是未知参数。,试求检验问题,的水平为 的UMPUT。,解,样本的联合密度函数为,这样,增函数。,又由于,所以由,定理9.4知水平为 的UMPUT存在，,其检验函数,为,其中 满足,所以由第一,式可得,由于被积函数是奇函数，,将 代入第二式可得,所以只有当,（15）,时上式才能成立。,这样分布的对称性及(15)式可,即,故水平为,的UMPUT的拒绝域为,得,这说明初等假设检验中有关方差已知的正态总体,均值的u检验是UMPUT。,以上仅讨论单参数情形下如何构造最优检验，,关于多参数的情形也有有关的最优检验的构造方,法就不涉及。,若感兴趣，,可参看茆诗松等编著的,高等数理统计学。,