《数学物理方法》第10讲.ppt

8.Bessel 函数的性质,2009.4.9,一.Bessel方程的引出,设有半径为 b 的薄圆盘,其侧面绝热,若圆盘边界,例：,温度分布。,上温度恒为零度,且初始温度已知,求圆盘内瞬时,解：,此问题可以归结为如下二维方程的定解问题：,用分离变量法求解,先将 t 分离出来,设方程的解为,带入原方程得,即,由此可得,前一方程的通解为,其中A 为常数。,后一方程称为 Helmholtz,方程。,它须满足条件,为求其解，,将方程,和条件写成极坐标形式。,再令,代入上式得,由(*)式及周期条件,得特征值,对应特征函数为,将,代入(*)式得,据此得(*)的通解为,由定解条件及温度有限知,此为第一类边界条件下Bessel函数的本征值问题，,进一步的讨论涉及 Bessel 函数的零点等问题。,若,方程：,若,(*)式化为,因此,且,其通解为,由定解条件及温度条件得,此时方程(*)只有零解。,若,令,方程(*)化为,称此方程为修正的 Bessel 方程，,将在后面讨论。,图4.1.1（a）,图4.1.1（b）,二.Bessel函数的性质,二.Bessel函数的性质,Bessel 函数具有如下性质：,无有限值。,的零点在实轴上关于原点对称分布。,的第 n 个正零点,则,4.,且,由上述关于Bessel 函数零点的讨论,本征值问题,应该为,因,必有,对应的本征函数是,一般地,Bessel 函数的本征值问题为,三.Bessel函数的递推公式,整数阶Bessel 函数是,它满足如下递推公式：,1.,2.,3.,4.,5.,6.,证明,特别地,或,证明,第二类Bessel 函数,有类似的递推公式：,1.,2.,3.,4.,5.,6.,作业,P98.3.,