高二数学矩阵与变换.ppt
通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。,主要内容,2.1 二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用,具体内容,定位 低起点以初中数学知识为基础；低维度以二阶矩阵为研究对象；形数以(几何图形)变换研究二阶矩阵。,意图 在基本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和工作打下基础。,本专题的定位和意图,主要数学思想（1）数学化思想；（2）数学建模；（3）数形结合的思想；（4）算法思想。,重点 通过几何图形变换，学习二阶矩阵的基本概念、性质和思想。,难点 切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。,本专题重点、难点及主要数学思想,2.1 二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用,具体内容解析,2.1 二阶矩阵与平面向量,2.在本章中点和向量不加区分.如:,1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要求学生初步了解.二阶矩阵如:,两行两列,2.1 二阶矩阵与平面向量,3.矩阵的概念从表、网络图、坐标平面上的点（向量）、生活实例等引出.即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法.如:,某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。,城市A 城市B 城市C甲矿区 乙矿区,2.1 二阶矩阵与平面向量,4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A,行矩阵和列矩阵通常用希腊字母、等表示.,5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等.,6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:,2.1 二阶矩阵与平面向量,7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.,表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.,8.二元一次方程组 可以表示为,系数矩阵,2.2 几种常见的平面变换,1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:,2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 对应的变换,都把自己变为自己.,2.2 几种常见的平面变换,3.伸压变换矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.,伸压变换不是简单地把平面上的点(向量)“向下”压,而是向x轴或y轴方向压缩.,2.2 几种常见的平面变换,4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵.,2.2 几种常见的平面变换,5.一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.,这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.,或点,2.2 几种常见的平面变换,6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转的变换矩阵.其中称为旋转角,点O为旋转中心.,2.2 几种常见的平面变换,2.2 几种常见的平面变换,7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵,相应的变换为投影变换.,7.投影变换矩阵是映射,但不是一一映射.,2.2 几种常见的平面变换,8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.,2.2 几种常见的平面变换,9.切变变换矩阵 把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移 个单位.,10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时,只需考察顶(端)点的变化结果即可.,旋转矩阵,2.3 变换的复合与矩阵的乘法,1.矩阵乘法的法则是:,2.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.,3.矩阵乘法不满足交换率,这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况.此时,我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换率.,2.3 变换的复合与矩阵的乘法,4.要求学生从几何变换角度理解AB.,5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率.,2.3 变换的复合与矩阵的乘法,6.有关转移矩阵.,假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴,则明天晴的概率为,阴的概率为,若今天阴则明天晴的概率为,阴的概率为,这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做马尔可夫链,如果清晨天气预报报告今天阴的概率为,那么明天的天气预报会是什么?后天呢?,2.3 变换的复合与矩阵的乘法,2.3 变换的复合与矩阵的乘法,2.3 变换的复合与矩阵的乘法,7.转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则做乘法时,容易出问题.,2.4 逆变换与逆矩阵,2课文从“走过去”、“走回来”的生动形象的话语中引入了逆矩阵和逆变换这样安排让学生在轻松氛围中掌握“找到回家的路”的本质是已知矩阵A，能否找到一个矩阵B，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同也便于学生更好的理解逆矩阵，从而为例1的顺利解决打下基础,3例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识,1.对于二阶矩阵A,B,若有AB=BA=E,则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.,2.4 逆变换与逆矩阵,4既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让抽象的问题更贴近学生实际,5矩阵 的行列式为,则如果 则矩阵 存在逆矩阵.,2.4 逆变换与逆矩阵,7.逆矩阵的求解,2.4 逆变换与逆矩阵,9.“先穿袜子后穿鞋”“先脱鞋子后脱袜子”解决了学生可能会出现的认知障碍学生可以借助于此更好地理解公式（AB）-1=B-1A-1,10新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通过证明命题“已知A，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B=C”而既做到前后章节间的呼应，又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率,11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.,2.4 逆变换与逆矩阵,12.,2.4 逆变换与逆矩阵,14.,2.4 逆变换与逆矩阵,15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.,2.5 特征值与特征向量,1.在本节开始部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感性理解在矩阵的作用下某些向量的“不变性”，从而为学生学习特征值和特征向量打下坚实基础,2.,3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具,2.5 特征值与特征向量,4.,5.,2.5 特征值与特征向量,2.5 特征值与特征向量,6.一个特征值对应着多个特征向量.,7.有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算多次变换的结果.,2.5 特征值与特征向量,2.5 特征值与特征向量,投影变换,2.6 矩阵的简单应用,1.只要求学生对高阶矩阵有一个感性认识.,2.通过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实际生活需要.,3.课本介绍了矩阵在数学领域内的应用,也介绍了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域的应用.,2.6 矩阵的简单应用,2.6 矩阵的简单应用,2.6 矩阵的简单应用,2.1 二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用 学习总结报告,主要内容,教学建议,1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般mn阶矩阵以及(aij)形式的矩阵.,教学建议,2.矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵,解线性方程组.不提倡先讲矩阵,后讲变换.,3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算率.,4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.,教学建议,5.应通过大量实例,借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换,这样会让学生感到生动,单纯的平面几何变换比较抽象.,6.可以将伸压变换与数学4中的三角变换结合起来,体现知识的螺旋上升.,7.注意伸压变换和伸缩变换的异同.,8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点)时,学生可能会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关知识.自一部分内容不要求掌握,只要求学生能够直观地理解线性变换把直线变成直线(或点).,教学建议,9.切变变换从几何上可以这样理解:保持图形面积大小不变,而点间距离和线间角可以改变,且点沿坐标轴运动的变换.这些不要求学生掌握,只要求学生能结合图形,用书上的方式直观描述.,10.对于矩阵乘法满足结合率,可让学生自己动手验证.,教学建议,11.行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工具来使用，不作为重点，不应展开讨论,12.对二元一次方程组来说，用求逆矩阵的方法来解方程组并不简便，这里强调的是其思想，无需做大量练习,13.从具体伸压变换引入“不变性”不可缺少，只有在建立感性认识后才能对学生提出更高要求，不应该从定义上形式地理解特征值和特征向量,教学建议,14.课本介绍了特征多项式，只是将它作为求解特征值的一个工具使用，不需要展开讨论但是对如何得到这个公式要作出解释，即要向学生说明为何,有不全为零的解时要D=0,15.将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题,教学建议,16.网络图是图论的基础，我们可以鼓励有兴趣的学生学习选修4-8，在此不要展开与扩充有关知识对于例5，我们也可以引导有兴趣的学生去学习选修4-6中的公开密钥,17.讲解例6种群问题时可以适当变换问题背景（例如两个商场间的顾客量等），通过这个变化来说明特征值和特征向量应用的多样性、多方位,谢谢!,
