随机变量的函数及多维随机变量.ppt

1.6随机变量的函数,一、随机变量的函数,定义：设有一实函数 以及随机变量，定义一个新的随机变量，称随机变量 是随机变量 的函数。,问题：已知 的统计特性，求 的统计特性。,若g(x)为单调连续函数：,1.6随机变量的函数,二、一维随机变量函数的分布,雅可比(Jacobi),例、设随机变量X与随机变量Y的关系为 a,b is constant，已知X的概率密度为fX(x)，求Y的概率密度。,1.6随机变量的函数,如果,正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。,若g(x)为非单调函数：,1.6随机变量的函数,其中,例2、设平方律检波器的输入输出关系为 求Y的概率密度。,1.6随机变量的函数,只考虑 为单调情形：,雅可比变换为：,1.6随机变量的函数,三、多维随机变量函数的分布,例3 设X、Y为相互独立的随机变量，有求Z1和Z2的联合概率密度。,1.6随机变量的函数,两个独立随机变量之和的概率密度为其各自的概率密度的卷积。,两个独立随机变量之积和商的概率密度？,均值：,方差：,1.6随机变量的函数,四、随机变量函数的数字特征,一、特征函数(Characteristic function),若X为离散型随机变量，则有：,1.7随机变量的特征函数,随机变量X的特征函数定义为：,性质：,1.7随机变量的特征函数,若（C is constant）则：,若（a,b is constant）则：,例4、设X为(0,1)分布随机变量，其概率分布为：求特征函数。,例5、设X为均匀分布随机变量，其概率分布为：,求特征函数。,1.7随机变量的特征函数,例6、若随机变量相应的特征函数分别为：(1)(2),求随机变量的分布。,1.7随机变量的特征函数,2、特征函数与矩的关系,或,1.7随机变量的特征函数,定理：设随机变量X的n阶矩为,一、一维正态随机变量,概率密度：,N(0,1)正态分布概率密度,1.8多维正态随机变量,二、二维正态随机变量,定义：设两个随机变量,如果它们的联合概率密度为：,其中r为相关系数。,1.8多维正态随机变量,则称 是联合正态的。,性质：,X1,X2的边缘概率密度也是正态的,若X1,X2的不相关，则r=0，两随机变量相互独立,1.8多维正态随机变量,三、矩阵表示方法,协方差矩阵：,1.8多维正态随机变量,综上，概率密度矩阵表示形式为：,令：,特征函数矩阵表示形式为：,以上矩阵形式均可推广到多维。,1.8多维正态随机变量,四、正态随机变量的线性变换,可见，Y仍然服从正态分布，均值为Lm，协方差阵为LKLT,1.8多维正态随机变量,第三讲：小 结,随机变量的函数,若g(x)为单调连续函数：,若g(x)为非单调连续函数：,随机变量的特征函数,第三讲：小 结,多维正态随机变量,课后作业：1.6、1.16,X1,X2的边缘概率密度也是正态的,若X1,X2的不相关，则r=0，两随机变量相互独立,Y仍然服从正态分布，均值为Lm，协方差阵为LKLT,正态随机变量的线性变换,