逻辑函数及其化简.ppt

2023/9/16,第2章 逻辑函数及其简化,2023/9/16,逻辑函数及其简化,逻辑代数逻辑函数的简化,本章内容：,2023/9/16,基本逻辑逻辑运算逻辑函数表示,本节内容：,2.1 逻辑代数,2023/9/16,设:1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表。,1.与运算,2.1.1 基本逻辑,2023/9/16,(2)与逻辑真值表,(3)与逻辑函数式,(4)与逻辑符号,A B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,0,0,0,1,(1)与逻辑定义,当决定某一事件的所有条件都具备时，事件才能发生。这种决定事件的因果关系称为“与逻辑关系”。,2.1.1 基本逻辑,2023/9/16,2或运算,2.1.1 基本逻辑,2023/9/16,当决定某一事件的一个或多个条件满足时,事件便能发生。这种决定事件的因果关系称为“或逻辑关系”。,A B,0 1,1 0,1 1,Y,0,1,1,1,(2)或逻辑真值表,(3)或逻辑函数式,(4)或逻辑符号,Y=A+B,(1)或逻辑定义,0 0,2.1.1 基本逻辑,2023/9/16,3.非运算,2.1.1 基本逻辑,2023/9/16,条件具备时，事件不能发生；条件不具备时事件一定发生。这种决定事件的因果关系称为“非逻辑关系”。,(4)非逻辑符号,(3)非逻辑函数式,(2)非逻辑真值表,A,Y,0,1,1,0,(1)非逻辑定义,2.1.1 基本逻辑,2023/9/16,1.或逻辑运算(逻辑加),Y=A+B,0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1,表达式：,运算规则：,推论：,A+0=A；A+1=1；A+A=A,2.1.2 基本逻辑运算,2023/9/16,3.非逻辑运算,2.与逻辑运算(逻辑乘),表达式：,运算规则：,运算规则：,表达式：,推论：,推论：,2.1.2 基本逻辑运算,2023/9/16,2.1.2 常用复合逻辑运算,复合逻辑运算：,由三种基本逻辑运算的组合来实现的逻辑运算。,常用的复合逻辑运算：,与非或非与或非异或同或,2023/9/16,2.1.2 常用复合逻辑运算,与非（NAND）：,与非逻辑表达式：,2023/9/16,2.1.2 常用复合逻辑运算,或非（NOR）：,或非逻辑表达式：,2023/9/16,2.1.2 常用复合逻辑运算,与或非（AND-NOR）：,与或非逻辑表达式：,与或非逻辑符号：,2023/9/16,2.1.2 常用复合逻辑运算,异或（XOR）：,异或逻辑表达式:,特点:,相同为0，相异为1。,2023/9/16,2.2.2 常用复合逻辑运算,同或（XNOR）：,同或逻辑表达式:,特点:,相同为1，相异为0。与XOR互为反运算。,2023/9/16,同或、异或：运算规则、关系、作用,2.1.2 基本逻辑运算,(AB)=AB,A A=0,A A=1,A 0=A,A 1=A,(AB)=AB,AB=AB,AB=AB,2023/9/16,1真值表将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。,2函数表达式由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。,2.1.3 真值表与逻辑函数,3.建立步骤：,列写真值表：输入、输出及其对应关系,写表达式：与或、“积之和”（1乘积项：1原变量、0反变量）或与、“和之积”（0和项：0原变量、1反变量）,2023/9/16,举例：（同或异或）,2.1.3 真值表与逻辑函数,思考题：多个开关控制的灯。,2023/9/16,2.1.3 真值表与逻辑函数,思考题：多个开关控制的灯。,【例2-1】,A=0,B=1,C=1使 ABC=1A=1,B=0,C=1使 ABC=1A=1,B=1,C=0使 ABC=1A=1,B=1,C=1使 ABC=1,Y=ABC+ABC+ABC+ABC,2023/9/16,逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数,它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。,若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。,2.1.4 逻辑函数相等,2023/9/16,证明等式：,因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。,2.1.4 逻辑函数相等,2023/9/16,逻辑代数的公式和定理,（1）常量之间的关系,（2）基本公式,分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。,2023/9/16,（3）基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明AB=BA：,2023/9/16,(4)“异或”的运算公式,(AB)=AB,AC=B,C B=A,A A=0,A A=1,A 0=A,A 1=A,A(B C)=(AB)C,A(B C)=AB AC,(AB)=AB,AB=AB,AB=AB,A B=C,2023/9/16,(5)逻辑代数公式的证明,证明方法主要有：公式推演法、真值表法。,【例】证明公式：A+BC=(A+B)(A+C),【方法一】公式推演法,证明：,2023/9/16,(5)逻辑代数公式的证明,【例】证明公式：A+BC=(A+B)(A+C),【方法二】真值表法,证明：,2023/9/16,2.1.5 三个规则,代入规则反演规则对偶规则,本节内容：,2023/9/16,1.代入规则,在任何一个含有变量A的逻辑代数等式中，如果 将出现A的所有地方都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。,例：B(A+C)=BA+BC，,用A+D代替A，得,B(A+D)+C=B(A+D)+BC=BA+BD+BC,代入定理可以扩展所有基本公式或定律的应用范围（即扩展逻辑变量）。,例：(AB)=A+B，用BC代替B，得,(AB)=A+(BC)=A+B+C,2023/9/16,2.反演规则,对于任意一个逻辑表达式F，若将其中所有的与（）换成或（+），或（+）换成与（）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数F。这个规律称为反演规则。,注：函数式中有“”和“”运算符，求反式时，要将运算符“”换成“”，“”换成“”。,2023/9/16,2.反演规则,利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。,解：按照反演规则，得,【例】已知 Y=A B+CD+0，求Y,Y=(A B+CD+0),=(A+B)(C+D)1,=(A+B)(C+D),2023/9/16,两点注意：,【注意一】变换时，原函数运算的先后顺序不变，必要时适当地加入括号。,运算顺序：先括号 再与（乘）后或（加）。,解：按照反演规则，分步得,【例】已知 Y=A(B+C)+CD，求Y,Y=A(BC)+CD,=(A+BC)(C+D),=A+BC+(C+D),先括号,再与,后或,2.反演规则,2023/9/16,【注意二】不属于单个变量上的反号保留。,反号保留,2.反演规则,例如:则,2023/9/16,3.对偶规则,对于任何逻辑函数式F，若将其中的与（）换成或（+），或（+）换成与（）；将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是Y的对偶式，记作F*。,对偶式：,对偶规则：,若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,对偶规则可以扩展基本公式或定律，得到更多的运算公式。,注：函数式中有“”和“”运算符，求对偶式时，要将运算符“”换成“”，“”换成“”。,2023/9/16,基本公式中的对偶式：,3.对偶规则,2023/9/16,介绍常用公式的证明、意义、对偶式及其应用,2.1.6 常用公式,含义:如果两个乘积项，除了公有因子A外，其它因子恰好互补，则两项可以合并为由公因子组成的一项。这一公式称为吸收律。,2023/9/16,（2）A+AB=A,含义:在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不要。例如:,证明:A+AB=A1+AB=A(1+B)=A1=A,2.1.6 常用公式,对偶式:A(A+B)=A,2023/9/16,（3）,证明:,含义:在一个与或表达式中，如果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。例如:,2.1.6 常用公式,2023/9/16,（4）,分配率A(B+C)=AB+AC,0-1率A+1=1,2.1.6 常用公式,2023/9/16,含义:如果两个乘积项的部分因子互补，其余因子都是第三项的因子，则这个第三项是多余的。,2.1.6 常用公式,2023/9/16,（推论）证明:,2.1.6 常用公式,2023/9/16,2.1.6 常用公式,（5）AB+AC=(A+C)(A+B),2023/9/16,一、最小项（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成8个最小项：,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,（3）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。,任意两个不同的最小项的乘积必为0。,2023/9/16,二、最小项表达式,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式.,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,三、最大项 M：,M 是和项（即相加项）；在 n 变量逻辑函数中，M 包含 n 个因子（即包含所有变量）；n 个变量均以原变量或反变量的形式在 M 中出现一次。,如，两变量 A,B 的最大项为：,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,最大项 M：,编号 Mi,例如，n=3,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,2.5.5 逻辑函数标准形式,最大项 M：,性质：,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为 0。全体最大项之积为 0。任何两个最大项之和为 0。具有相邻性的两个最大项之积等于各相同变量之和。,如，(A+B+C)(A+B+C)=A+B,2023/9/16,最大项 M：,与最小项 m 的关系：,Mi=mi,如，m0=ABC,m0=(ABC),=A+B+C,=M0,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,四、最大项之积的标准形式：,逻辑函数为或与的形式，并由最大项之积构成。,逻辑函数化为最大项之积的形式：,步骤：,利用公式 A+BC=(A+B)(A+C)将逻辑函数化为或与的形式；,利用公式 AA=0 代入，将相加项化为最大项。,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,【例】,Y=AB+AC,=(AB+A)(AB+C),=(A+AB)(C+AB),=(A+A)(A+B)(C+A)(C+B),=(A+B)(C+A)(C+B),=(A+B+CC)(C+A+BB)(C+B+AA),=(A+B+C)(A+B+C)(C+A+B)(C+A+B)(C+B+A)(C+B+A),=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C),=M0+M1+M4+M6,=M(0,1,4,6),2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,最大项之积与最小项之和的关系：,=(AB+AB),=(A+B)(A+B),=AB+AB+B=B,=m(0,2),Y=(m(1,3),Y=mi,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2023/9/16,2.2 逻辑函数的简化,一个逻辑函数的表达式可以有5种表示形式:,一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。,2023/9/16,与或式,或与式,两次取反,与非-与非式,或与非式,两次取反,或非-或非式,与或非式,分配律,常用的逻辑式形式转换及方法：,反演律或反演定理去非号,反演律或反演定理加非号,最小项性质,反演律或反演定理去非号,2.2 逻辑函数的简化,2023/9/16,最简形式在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式，由它很容易推导出其他形式的表达式。所谓化简，一般就是指化为最简的与或表达式。判断与或表达式是否最简的条件是：（1）逻辑乘积项最少；（门的个数最少）（2）每个乘积项中变量最少。（门的输入端少）,2.2 逻辑函数的简化,2023/9/16,其他最简形式最简与非-与非表达式:,非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。,2.2 逻辑函数的简化,2023/9/16,括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。,最简或与表达式表达式,2.2 逻辑函数的简化,2023/9/16,非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。,非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。,最简或非-或非表达式,最简与或非表达式,2.2 逻辑函数的简化,2023/9/16,化简的主要方法：,公式法（代数法）图解法（卡诺图法）,2.2 逻辑函数的简化,2023/9/16,反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。,1.合并项法,【原理】利用公式 A+A=1 或 AB+AB=A合并项。,【方法】找相同因子。,【例】Y=ABC+ABC+ABC+ABC,=AB(C+C)+AB(C+C),=AB+AB,=A,2.2.1 公式法,2023/9/16,2.6.2 公式化简法,2.吸收法1,【原理】利用公式 A+AB=A 消去项。,【方法】找包含项。,【例】Y=AB+ABC+ABDE,=AB,2023/9/16,2.吸收法2,【原理】利用公式 AB+AC+BCD=AB+AC 消去多余项。,【方法】找原项、反项和多余项。,【例】Y=ABC+ABC+ABD+ABD+ABCD+BCDE,=(AB+AB)C+(AB+AB)D+(AB+BE)CD,=(AB)C+(AB)D+(AB+BE)CD,=(AB)C+(AB)D,2.2.1 公式法,2023/9/16,3.消因子法,【原理】利用公式 消去因子。,【方法】找原项和其反项。,【例】Y=A+AB+BE,=A+B+BE=A+B+E,2.2.1 公式法,2023/9/16,【例】求函数 的最简与或表达式。解:,2.2.1 公式法,2023/9/16,4.配项法,【原理】利用公式 A+A=A 进行化简。,【方法】找重叠项。,【例】Y=ABC+ABC+ABC,=ABC+ABC+ABC+ABC,=AB+BC,2.2.1 公式法,2023/9/16,4.配项法(2),【原理】乘以 A+A，或加上 AA 进行化简。,【方法】配成 A+AB 的形式，吸收多余项。,【例】Y=AB+AB+BC+BC,=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC,=(AB+ABC)+(BC+BCA)+(ACB+ACB),=AB+BC+AC,2.2.1 公式法,2023/9/16,4.配项法(3)利用公式，进行配项，以消去更多的与项。【例】求函数 的最简与或表达式。解:,2.2.1 公式法,2023/9/16,例：化简函数,解：先求出Y的对偶函数Y*，并对其进行化简。,求Y*的对偶函数，便得的最简或与表达式。,2.2.1 公式法,2023/9/16,逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子,2.2.2 图解法,2023/9/16,1.卡诺图 卡诺图就是按循环码排列的真值图。,逻辑相邻项：指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同。相邻项可以合并。,循环码：具有相邻性的编码。,卡诺图：几何上相邻的真值图。,每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻,每个3变量的最小项有3个相邻项,2.2.2 图解法,2023/9/16,每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,2.2.2 图解法,2023/9/16,2.6.3 卡诺图,卡诺图的主要缺点是随着变量数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在五个以上时，很少使用卡诺图。,五变量卡诺图：,2023/9/16,2.6.3 卡诺图,几何相邻：相接；相对；相重：,直观相邻性：每个方格与其上下左右的方格具有相邻性。,对边相邻性：与中心轴对称的两边方格具有相邻性。,2023/9/16,卡诺图：,1,1,1,1,1,1,0,0,2、用卡诺图表示逻辑函数,把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。,将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。,方法一：,解：,根据函数式直接填卡诺图,方法二：,1,1,1,1,1,0,0,1,1,例：,用卡诺图表示之。,1,2023/9/16,3.用卡诺图合并最小项规律,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,2023/9/16,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,2023/9/16,2023/9/16,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,小结：2k个相邻最小项可以合并为一项，并消去K个变量。,2023/9/16,4.用卡诺图化简法求最简与或表达式,化简原则：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简;（少、大）可重复使用1格;避免多余圈.,化简步骤：(1)画出函数的卡诺图；(2)画圈(3)合并相邻最小项；(4)写出最简与或表达式。,2023/9/16,图形法化简的基本步骤,逻辑表达式或真值表,卡诺图,1,1,2023/9/16,画圈、合并最小项,先画孤立项；一条合并途径项（要尽可能大）；多途径条选择圈最少。,最简与或表达式,冗余项,2,2,3,3,将代表每个圈的乘积项相加,2023/9/16,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,不是最简,最简,2023/9/16,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,2023/9/16,上两式的内容不相同，但函数值一定相同。,Y1=,+,+,A,C,Y1=,+,A,+,B,此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。,例1：,2023/9/16,最简或与式：,Y2,Y2,用圈 0 法对最大项合并,例2：将Y2=(m0 m2 m4 m6 m8 m15)化简为最简或与式。,方法1：利用Y2,方法2：,Y2,例2-16,2023/9/16,实际应用中经常会遇到这样的问题，对于变量的某些取值，根本不会出现。例如，某逻辑电路的输入为8421BCD码，显然信息中有 6个变量组合（10101111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。还有一些函数在变量的某些组合时输出不确定，可以假定为1，也可以假定为0称之为任意项。约束项、任意项统称为无关项。,5.具有无关项的逻辑函数极其化简,（1）约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,2023/9/16,（2）无关项表示,在逻辑函数表达式中用 d()或等于0的条件等式表示；在真值表或卡诺图中用表示。,（3）具有无关项的逻辑函数化简例 1 用卡诺图化简逻辑函数 F(A,B,C,D)=m(1,3,7,11,15)+d(0,2,9)。,解：该逻辑函数的卡诺图如图所示。（1）,2023/9/16,（2）,不利用随意项的化简结果为：,利用随意项的化简结果为：,5.具有无关项的逻辑函数极其化简,2023/9/16,本章小结,基本逻辑函数及其运算规则 逻辑函数建立 标准逻辑函数表达式 逻辑函数化简,