递推关系的建立及其求解方法.ppt

递推关系的建立及其求解方法,王桐林,一、递推式的建立 0、Fibonacci数列 1、Hanoi塔问题问题:三柱问题问题：四柱问题问题：m柱问题2、平面分割问题问题：封闭曲线分割平面问题：Z分割平面问题：M分割平面3、Catalan数问题一：凸n边形的三角形剖分问题二：二叉树数目问题三：出栈序列4、第二类Stirling数 问题一：放置小球问题二：集合划分问题5、其他问题一：集合取数问题问题二：整数划分问题,二、递推式的求解方法：1 递归函数用数组实现求递推式的通项表达式：31、迭加法 32、待定系数法 33、特征方程法 34、生成函数法,三、递推的形式,顺推法和倒推法,Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。问题：一个数列的第0项为0，第1项为1，以后每一项都是前两项的和，这个数列就是著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的第N项。,1、Fibonacci数列,解答,由问题,可写出递推方程,算法：F0:=1;F1:=2;FOR i:=2 TO N DO FI:=FI 1+FI 2;,总结,从这个问题可以看出，在计算裴波那契数列的每一项目时，都可以由前两项推出。这样，相邻两项之间的变化有一定的规律性，我们可以将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：Fn=g(Fn-1)，这就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。然后从初始条件（或是最终结果）入手，按递推关系式递推，直至求出最终结果（或初始值）。很多问题就是这样逐步求解的。对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复运算，真正起到“物尽其用”的效果。,递推概念,给定一个数的序列H0,H1,Hn,若存在整数n0，使当n=n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hn(0in)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。如何建立递推关系递推关系有何性质如何求解递推关系,1、Hanoi塔问题 问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和m根木柱1,2,3.m组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在1柱上，如图所示。现在要求把1柱上n个圆盘按下述规则移到m柱上：(1)一次只能移一个圆盘；(2)圆盘只能在m个柱上存放；(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。求将这n个盘子从1柱移动到m柱上所需要移动盘子的最少次数。,问题:三柱问题,设f(n)为n 个盘子从1柱移到3柱所需移动的最少盘次。当n=1时，f(1)=1。当n=2时，f(2)=3。,以此类推，当1柱上有n(n2)个盘子时，我们可以利用下列步骤：第一步：先借助3柱把1柱上面的n-1个盘子移动到2柱上，所需的移 动次数为f(n-1)。第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要1次 盘子。第三步：再借助1柱把2柱上的n-1个盘子移动到3上，所需的移动次 数为f(n-1)。,由以上3步得出总共移动盘子的次数为：f(n-1)+1+f(n-1)。所以：f(n)=2 f(n-1)+1,f(n)=2n-1,问题：四柱问题,【问题分析】：令fi表示四个柱子时，把i个盘子从原柱移动到目标柱所需的最少移动次数。,j,第一步：先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个非目标柱（2或3柱均可，假设移到2柱）上，此时3和4柱可以作为中间柱。移动次数为：fj。,第二步：再把原1柱上剩下的i-j个盘子在3根柱子（1、3、4）之间移动，最后移动到目标柱4上，因为此时2柱不能作为中间柱子使用，根据三柱问题可知，移动次数为：2(i-j)-1。,第三步：最后把非目标柱2柱上的j个盘子移动到目标柱上，次数为：fj。,通过以上步骤我们可以初步得出：fi=2*fj+2(i-j)-1,j可取的范围是1=jI，所以对于不同的j，得到的fi可能是不同的，本题要求最少的移动次数,fi=min2*fj+2(i-j)-1，其中1=jI,const MaxNum=1000;var n:integer;F3,F4:array1.MaxNum of double;procedure Init;var i:integer;begin fillChar(F3,sizeOf(F3),0);fillChar(F4,sizeOf(F4),0);readln(n);F31:=1;F41:=1;*F3n 为Hanoi塔中3根柱子，n个盘子的最少移动次数 F3n=2n-1;F4n 为Hanoi塔中4根柱子，n个盘子的最少移动次数*for i:=2 to n do F3i:=2*F3i-1+1;end;,procedure Run;var i,j:integer;minF4i,temp:double;begin for i:=2 to n do begin minF4i:=1e+100;for j:=1 to i-1 do begin temp:=2*F4j+F3i-j;if(temp minF4i)then minF4i:=temp;end;*F4i=min(2*F4j+F3i-j);(1=j=i-1)*F4i:=minF4i;end;writeln(F4n:0:0);end;begin Init;Run;end.,问题：m柱问题,【问题分析】：设F(m,n)为m根柱子,n个盘子时移动的最少次数：,1、先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个除m柱以外的非目标柱上，移动次数为：fm,j；,2、再把原1柱上剩下的n-j个盘子在m-1根柱子之间移动，最后移动到目标柱m上，移动次数为：fm-1,n-j；,3、最后把非目标柱上的j个盘子移动到目标柱没柱上，移动次数为：fm,j。,F(m,n)=min2*F(m,j)+F(m-1,n-j)(1=j n),2、平面分割问题问题问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，求这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。,【问题分析】：设f(n)为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。由图4很容易得出：f(1)=2；f(2)=4。,假设当前平面上已有的n-1条曲线将平面分割成f(n-1)个区域，现在加入第n条封闭曲线。第n条曲线每与已有的n-1条曲线相交共有2(n-1)个交点，也就是说第n条曲线被前n-1条曲线分割成2(n-1)段弧线，而每一条弧线就会把原来的区域一分为二，即增加一个区域，所以共增加2(n-1)个区域,F（n）=f（n-1）+2(n-1),问题问题的提出：一个z形曲线可以把一个平面分割成2部分。如图所示。求n个z形曲线最多能把平面分割成多少部分。写出递推式f(n)。,【问题分析】：根据上图容易得出：f（1）=2；f（2）=12。假设平面上已有n-1个z图形把平面分成了f（n-1）个区域。加入第n个z后，单独考虑第n个z的3条边，每一条边和前面的n-1个z共有3（n-1）个交点，即这条边被分成3（n-1）+1部分，所以增加3（n-1）+1个区域，3条边共增加3（3（n-1）+1）个区域。但是第n个z本身有2个交点，故少了2个区域，所以实际增加了3（3（n-1）+1）-2个区域。由以上得出：f（n）=f（n-1）+3（3（n-1）+1）-2 即：f（n）=f（n-1）+9n-8 初始条件：f（1）=2,问题：M分割平面问题二的扩展：在问题二的基础上进一步考虑：如果z图形扩展为m边的下列图形：看一下问题的解。,通过上面的分析我们很容易知道：n个上述图形可以将平面划分的区域的递推关系：f（n）=f（n-1）+m（m（n-1）+1）-（m-1）初始条件：f（1）=2,3、Catalan数问题一：凸n边形的三角形剖分在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，f(n)即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案，故f(5)=5。求对于一个任意的凸n边形相应的f(n)。,区域是一个凸k边形，区域是一个凸n-k+1边形，区域的拆分方案总数是f(k),区域的拆分方案数为f(n-k+1)，故包含P1PkPn的n 边形的拆分方案数为f(k)*f(n-k+1)种,F(n)=,问题二：二叉树数目问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。,【问题分析】：设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。容易知道：f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5,选定1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种；右子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围0，n-1。所以有：F(n)=为了计算的方便：约定f（0）=1,问题三：出栈序列问题描述：N个不同元素按一定的顺序入栈，求不同的出栈序列数目。,【问题分析】：设f（n）为n个元素的不同出栈序列数目。容易得出：f（1）=1；f（2）=2。第n个元素可以第i（1=i=n）个出栈，前面已出栈有i-1个元素，出栈方法：f（i-1）；后面出栈n-I 个元素，出栈方法为：f（n-i）。所以有：F(n)=约定：F(0)=1,4、第二类Stirling数 问题一：放置小球,n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数,设有n个不同的球，分别用b1,b2,bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：,bn独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为,S(n-1,m-1),bn与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b1,b2,bn-1这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球bn可以放入其中一个盒子中，方案数为,mS(n-1,m),S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1)(n1,m1),问题二：集合划分问题。设S是一个包含n个元素的集合，S=b1,b2,b3,bn,现需要将S集合划分为m个满足如下条件的集合S1,S2,Sm。Si;SiSj=;S1S2Sm=S;(1=I,j=m)则称S1,S2,Sm是S的一个划分。编程：输入n和m的值，输出不同的划分方案数。要求：输入数据有一行，第一个数是n,第二个数m。样例：输入：4 3 输出：6,不同的方案数用S(n,m)表示从中取出bn，bn的放法有以下两种：、bn独自占一个集合；那么剩下的数只能放在m-1个集合中，方案数为；、bn与别的数共占一个集合；那么我们可以先将b1,b2,bn-1这n-1个数划分为m个集合，然后再将bn可以任意放入其中一个集合中，方案数为综合以上两种情况可以得出：,S(n-1,m-1),m*S(n-1,m),S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)(n1,m1)边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。,5、其他：）集合取数问题设f(n,k)是从集合1，2，。，n中能够选择的没有两个连续整数的k个元素子集的数目，求递归式f(n,k)。,【问题分析】：N有两种情况：当n在子集时，则n-1一定不在子集中，即在1，2，。，n-2中选k-1个元素，数目为f(n-2,k-1)。当n不在子集中时，则在1，2，。，n-1中选k个元素，数目为f(n-1,k)。所以：f(n,k)=f(n-2,k-1)+f(n-1,k)边界条件：F(n,1)=n,f(n,k)=0(n=k),）整数划分问题将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。1，1，5;1，5，1;5，1，1;问有多少种不同的分法。输入：n，k(6n=200，2=k=6)输出：一个整数，即不同的分法。样例输入：7 3输出：4 四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;,【问题分析】：用f(I,j)表示将整数I分成j分的分法，可以划分为两类：第一类：j分中不包含1的分法，为保证每份都=2，可以先那出j个1分到每一份，然后再把剩下的I-j分成j份即可，分法有：f(I-j,j).第二类:j份中至少有一份为1的分法，可以先那出一个1作为单独的1份，剩下的I-1再分成j-1份即可，分法有：f(I-1,j-1).所以：f(I,j)=f(I-j,j)+f(I-1,j-1)边界条件：f（i，1）=1，f（i，j）=0，（Ij）,二、递推式的求解方法：1 递归函数用数组实现求递推式的通项表达式：31、迭加法 32、待定系数法 33、特征方程法 34、生成函数法,1、递归函数 用递归函数来实现递推式是初学选手们采用最多的求解方法，只要设置正确的边界条件，相对来说比较容易实现。如：集合取数问题f(n,k)=f(n-2,k-1)+f(n-1,k)边界条件：F(n,1)=n,f(n,k)=0(n=k)function f(n,k:integer):integer;begin if k=1 then f:=n else if n=k then f:=0 else f:=f(n-2,k-1)+f(n-1,k);end;,2用数组实现,集合划分问题:S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)(n1,m1)边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。,var s:array1.100,1.100 of longint;n,m,i,j:integer;begin read(n,m);fillchar(s,sizeof(s),0);for i:=1 to n do si,1:=1;for i:=1 to m do si,i:=1;for i:=2 to m do for j:=i to n do sj,i:=i*sj-1,i+sj-1,i-1;writeln(sn,m);end.,3求递推式的通项表达式,31、迭加法一般符合下列形式的递推式可以使用迭代法。F(n)=f(n-1)+g(n)其中：g(n)是关于n的线性表达式。,F(2)=f(1)+9*2-8F(3)=f(2)+9*3-8F(4)=f(3)+9*4-8F(n)=f(n-1)+9*n-8,以上n-1个等式相加得到：f(n)=f(1)+9*(2+3+4+n)-8*n即：f(n)=9*n*n/2-7*n/2+1,如：平面分割问题二:f（n）=f（n-1）+9n-8初始条件：f（1）=2,32、待定系数法,适合下列格式的递推式：F(n)=a*f(n-1)+g(n)a1,例1：Hanoi塔三柱问题：f(n)=2 f(n-1)+1，边界条件：f(1)=1,令：f(n)+A=2(f(n-1)+A)A为待定系数求得A=1,即：f(n)+1=2(f(n-1)+1)由等比数列性质得出：f(n)+12n-1(f(1)+1)=2n所以：f(n)2n1,例2：求F(n)=3f(n-1)+n2+n+2的通项。,令:f(n)+An2+Bn+c=3(f(n-1)+A(n-1)2+B(n-1)+c)A，B，C为待定系数。由于上述恒等成立，得：2A=12B-6A=03+3B+2C=0求出：A,B,C后，从而得出f(n)的通项,33、特征方程法 如果a1,ak是常数，且ak=0,nk，则递推关系 F(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+akf(n-k)称为k阶常系数线性齐次递推关系。它的特征方程是：Xk-a1Xk-1-a2Xk-2-ak=0只要求出特征方程的根，再由初始条件表达式中的待定系数，便可以得到原递推关系的解。如果特征方程有k个互不相同的解X1,X2,.Xk，则通解为：F(n)=c1X1n+c2X2n+.+ckXknc1,c2ck待定。,例：Fibonacci数列F(n)=f(n-2)+f(n-1);f(1)=1;f(2)=1,解：特征方程：X2-X-1=0,则：f(n)=C1*X1n+C2*X2n,又因为：f(1)=1 f(2)=1所以：C1*X1+C2*X21 C1*X12+C2*X221得出：C1=C2=-,34、生成函数法这种方法的基本思想原理：已知数列：a0,a1,a2an构造函数：g（x）=a0+a1x+a2x2+aixi+anxn.g(x)称为数列a0,a1,a2an的生成函数。因此，我们要想求系数an，只要求出g(x)，然后把g(x)展开成幂级数。f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+f2(x0)(x-x0)2/2!+f(n)(x0)(x-x0)n/n!+展开式中xn的系数就是an的表达式。：anf(n)(x0)/n!如：g(x)=(1+x)n=a0+a1x+a2x2+aixi+anxn.展开成幂级数：(1+x)n=Cn0+Cn1X+Cn2X2+CniXi+.+CnnXn比较系数得：ai=Cni,现在的问题是1、由已有的递推关系怎样构造求出g(x)。2、把g(x)展开成幂级数,例：二叉树数目F(n)=f（0）=1；f(1)=1求f(n),