3.4(随机变量的相互独立性).ppt

定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，Xn)的分布函数为F(x1，x2，xn)，FXi(xi)为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，xn，有 则称X1，X2，Xn相互独立,3.4 随机变量的相互独立性,第3章 多维随机变量及其分布,3.4 随机变量的相互独立性,易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，xn，有 则X1，X2，Xn相互独立 在连续型随机变量的情形，如果下式几乎处处成立则X1，X2，Xn相互独立 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立,特别地，二维的情形,2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,3.4 随机变量的相互独立性,在平面上几乎处处成立。,在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式 不成立.,3.4 随机变量的相互独立性,3.4 随机变量的相互独立性,【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值 解：首先写出两个边缘边缘分布律,3.4 随机变量的相互独立性,利用X与Y相互独立的条件，,3.4 随机变量的相互独立性,【例3.17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量求Z的分布律，(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？解：由X与Y的分布律及独立性得到下表：,(1，1),(1，0),(0，0),(0，1),(X，Z),1,0,0,1,Z,(1，1),(1，0),(0，1),(0，0),(X，Y),0.25,0.25,0.25,0.25,pij,1,0.5,pi.,0.5,0.25,0.25,1,0.5,0.25,0.25,0,p.j,1,0,X Z,(X，Z)的分布律及边缘分布律为：,由于PX=i，Z=j=0.25=0.50.5=PX=iPZ=j（i，j=0，1），所以X与Z独立,0.5,3.4 随机变量的相互独立性,3.4 随机变量的相互独立性,【例3.18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为，问X与Y是否独立？解法一：由边缘分布函数的定义知显然，对任意实数，均有，故X与Y独立,3.4 随机变量的相互独立性,解法二：由分布函数与概率密度的关系知因而对任意的,均有，故X与Y独立,【补充例】种保险丝的寿命(以一百小时计)X 服从指数分布,其概率密度为有两只这种保险丝，其寿命分别为 设 相互独立，求 的联合概率密度.(2)在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝的总寿命为，求,3.4 随机变量的相互独立性,因两只保险丝的寿命 相互独立，故 的联合概率密度为,概率密度为,概率密度为,解(1),3.4 随机变量的相互独立性,(2),3.4 随机变量的相互独立性,【例3.19】设服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是=0.证：二维正态分布的概率密度为由例3.11知，的乘积为 因此，若=0，则对所有x,y有 即X与Y独立,3.4 随机变量的相互独立性,反之，若X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY(y)都是连续函数，故对所有的x,y，有特别，令，可以得到从而,3.4 随机变量的相互独立性,课堂练习,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2)因为 X 与 Y 相互独立,所以有,