3.3相互独立的随机变量.ppt

第三讲 相互独立的随机变量,随机变量的相互独立性;独立性的等价条件;两n维随机变量独立的重要结论,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,则称X,Y 相互独立.,两事件A,B 相互独立,也可用分布函数给出等价形式,即,设 X,Y是两个随机变量,若对任意的x,y,有,则称X与Y 相互独立.,它表明,两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,独立性在分布列和概率密度这两个平行概念上的反应?,定义,一、二维随机变量的独立性,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立.,若二维随机变量(X,Y)对任意的x,y,有,X与Y 相互独立充分必要条件:,1.若(X,Y)为离散型随机变量,X与Y 相互独立充分必要条件：,连续型随机变量的联合密度等于其边缘密度的乘积,2.若(X,Y)为连续随机变量,离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积,例1 已知随机变量(X,Y)的分布律为,且X与Y 独立，求a、b的值。,解,经检验，此时X与Y是相互独立的。,X与Y相互独立，故pij=pipj,P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)，P(X=0,Y=2)=P(X=0)P(Y=2)，即,Ex1.已知(X,Y)的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立。,Ex2.袋中之球，3黑1红2白，不放回地取3球.以 X,Y 分别表所取黑球数与红球数.试求X与Y的联合分布律，并判断二者是否相互独立。,Ex1.已知(X,Y)的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立。,解,要使X与Y相互独立，可用pij=pipj来确定a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)P(Y=2)，即,故(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为,经检验，此时X与Y是相互独立的。,Ex2.袋中之球，3黑1红2白，不放回地取3球。以 X,Y 分别表所取黑球数与红球数。试求X与Y的联合分布律，并判断二者是否相互独立。,解 联合分布律与边缘分布律如下,0 1 2 3,0 1,0,3/20,6/20,1/20,1/20,6/20,3/20,0,1/20 9/20 9/20 1/20,10/20,10/20,X 和Y 不相互独立.,概率中至少有,例2,(1),(2),解,(1),例2,(1),(2),解,(1),即,因对一切,均有:,故,独立.,例2,(1),(2),解,(2),即,例2,(1),(2),解,(2),即,例2,(1),(2),解,(2),由于存在面积不为0的区域,使,Ex3.设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数,(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？,Ex4.设(X,Y)的联合概率密度为,求常数A 的值，边缘概率密度 fX(x)和 f Y(y)，并讨论X与Y的相互独立性.,Ex3.设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数,(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？,O 1 x,y,1,解,由于，因此X与Y不相互独立。,解,f(x,y)=0,(2),f(x,y)=0,(2),f(x,y)=0,(3),f(x,y)=0,X 和Y 相互独立.,例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8-12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7-9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,于是,小结,概率,分布函数,联合 与边缘,离散型连续型,X 与 Y 相互独立,