解析函数的孤立奇点及留数.ppt

第十章 函数项级数,第一节 函数项级数简介第二节 幂级数第三节 Laurent级数第四节 解析函数的孤立奇点及留数第五节 Fourier级数,4.1 孤立奇点及其分类,留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。,（1）为 的可去奇点：,若 中无负幂项,根据Laurent级数的形式分类：,设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域,内，的Laurent 展式为:,孤立奇点可按以下两种方式分类：,（3）为 的本性奇点：,（2）为 的(m 级)极点：,根据 的极 限分类：,定义,维尔斯特拉斯，1876,性质1,性质2,例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：,解,解,解,解,以上讨论了当 为有限奇点时，孤立奇点的分类。,现讨论若 在无穷远点的去心邻域内解析（这时,Laurent 展式为:,Laurent 展式为:,例如,关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况,或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式,必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。,二.留数,设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域,内，的Laurent 展式为:,无穷远点处的留数,留数计算法：,证明,2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可,当作级数为m 来计算。这是因为表达式,这不影响证明结果。,的系数 中可能有一个或几个为零，,例2 求下列函数的奇点并计算留数：,解,法1,法2,法3,解,解,法1,所以，0为 的三级极点，且,法2,因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点，,所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得,三.留数定理,定理4.1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点,外处处解析，L是D内包围诸奇点的一,条逆时针方向简单闭曲线，那么,由复合闭路定理,得留数定理,利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，,转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。,定理4.2 如果函数 在扩充的复平面内除有限个,点）的留数的总和必等于零,即,孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括,例3 计算下列积分：,由留数定理1，得,由留数定理1，2，得,4.3 利用留数计算某些实积分,例4,例5,例6,例7,