补充各种进制及其转换.ppt

第三章补充 进制及其相互转换,1.进位计数制,2.十进制数与二进制数之间的转换,3.十进制数与八、十六进制数之间的转换,4.二进制数与八、十六进制数的转换,5.数字在计算机内的表示,1.进位计数制,根据不同的进位原则，可以得到不同的进位制。在日常生活中，人们广泛使用的是十进制数，有时也会遇到其他进制的数，例如，钟表上，六十秒钟为一分钟，六十分钟为一小时，即为六十进制。在计算机中，最常使用的是：(1)十进制(2)二进制(3)八进制(4)十六进制,（1）十进制 十进制记数法有两个特点：它有十个不同的记数符号：0、1、2、9。每一位数只能用这十个记数符号之一来表示，称这些记数符号为数码。它采用逢十进一的原则计数。小数点前面自右向左，分别为个位、十位、百位、千位等，相应地，小数点后面自左向右，分别为十分位、百分位、千分位等。各个数码所在的位置称为数位，每个数位上的基数我们称为“权”。,例如：十进制数666.66 个位的6表示其本身的数值；而十位的6，表示其本身数值的十倍，即610，百位的6，则代表其本身数值的一百倍，即6100；而小数点右边第一位小数位的6表示的值为60.1；第二位小数位的6表示的值为60.01。因此这个十进制数可以用多项式展开写成：666.66 610 2610 1610 061016102,（2）二进制 为什么采用二进制？数字符号表示简单容易，只要选用双态元件，如 单向导电元件，磁性元件，发光元件，就可以十分简单地表示出数位上的数字0和1了；因此代价低廉，容易实现和使用。运算规则简单，使计算机实现运算的逻辑结构构造简单。,二进制记数法也有两个特点：它有两不同的记数符号，即数码：0和1。它采用逢二进一的原则计数。也就是说，进位基数是2。数码在不同的数位所代表的值也是不相同的，各数位的“权”是以2为底的幂。,例如：（10110.1）2 12 4 02 3 12 1 02 0 121（22.5）10 任意一个二进制数B，可以展开成多项式之和,即 B=b n12 n1+b n22 n2+b 12 1+b 02 0+b121+bm2m,二进制记数法各数位的“权”，整数部分从小数点开始向左分别为1，2，4，8，16，32，；小数部分的“权”，从小数点向右分别为0.5,0.25,0.125，。,二进制的运算0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1000=0，01=0，10=0，11=1,（3）八进制数 八进制记数法的两个特点是：采用八个不同的记数符号，即数码：07。采用逢八进一的进位原则。在不同的数位，数码所表示的值等于数码的值乘上相应数位的“权”。例如：（456.45）8 48 258 168 0481582（302.578125）10,一般地，任意一个八进制数可以表示为：C c n18 n1+c n28 n2+c 18 1+c 08 0+c181+cm8m 在上式中，C i 只能取07之一的值；八进制的基数是8。,（4）十六进制 十六进制记数法也有两个特点：它采用十六个不同的记数符号，即数码：09及A、B、C、D、E、F。其中A表示十进制数10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15。它采用逢十六进一的进位原则，各位数的“权”是以16为底数的幂。,例如：（2AF）16 216 2A16 1F16 0 216 21016 151（687）10,一个任意的十六进制数可以表示为：D d n116 n1+d n216 n2+d 116 1+d 016 0+d 1161+dm16m 在上式中，d i可以取0F之一的值；十六进制的基数是16。,2.十进制数与二进制数之间的转换,（1）二进制数转换成十进制数,（2）十进制整数转换成二进制整数,（3）十进制小数转换成二进制小数,（4）任意十进制数转换成二进制数,（1）二进制数转换成十进制数 根据公式：B=b n12 n1+b n22 n2+b 12 1+b 02 0+b121+bm2m 将待转换的二进制数按各数位的权展开成一个多项式，求出该多项式的和就可以了。例如：（1101.01）2 12 312 202 112 0021122（13.25）10,（2）十进制整数转换成二进制整数 逐次除2取余法：用2逐次去除待转换的十进制整数，直至商为0时停止。每次所得的余数即为二进制数码，先得到的余数在低位，后得到的余数排在高位。,例如，将83转换成二进制数，逐次除2取余：,2 83 1 2 41 1 2 20 0 2 10 0 2 5 1 2 2 0 1 1,得到的余数从先至后依次为：1、1、0、0、1、0、1 可得到：（83）10（1010011）2,（3）十进制小数转换成二进制小数,乘2取整法：逐次用2去乘转换的十进制小数，将每次得到的整数部分（0或1）依次记为二进制小数b1，b2，bm。,例如，将0.8125转换为二进制小数，逐次乘2取整：,0.8125 2 1.625 2 1.25 2 0.5 2 1.0,可得：（0.8125）10（0.1101）2,值得注意的是:并非每一个十进制小数都能转换为有限位的二进制小数，此时可以采用0舍1入的方法进行处理（类似于十进制中的四舍五入的方法）。,例如，将0.335转换为二进制小数，精确到0.001。,0.335 2 0.67 2 1.34 2 0.68 2 1.36,可得：（0.335）10（0.0101）2（0.011）2,（4）任意十进制数转换成二进制数 对于任意一个既有整数部分，又有小数部分的十进制数，在转换为二进制数时:只要将它的整数部分和小数部分分别按除2取余和乘2取整的法则转换，最后把所得的结果用小数点连接起来即可。,必须注意:逐次除2取余的余数是按从低位到高位的排列顺序与二进制整数数位相对应的；逐次乘2取整的整数是按从高位向低位的排列顺序与二进制小数数位相对应的。其共同特点是以小数点为中心，逐次向左、右两边排列。,3.十进制数与八、十六进制数之间的转换,（1）八进制、十六进制数转换成十进制数（2）十进制数转换成八进制、十六进制数,例如：（2AF）16 216 2A16 1F16 0 216 21016 151（687）10,例如：（456.45）8 48 258 168 0481582（302.578125）10,C c n18 n1+c n28 n2+c 18 1+c 08 0+c181+cm8m,D d n116 n1+d n216 n2+d 116 1+d 016 0+d 1161+dm16m,（2）十进制数转换成八进制、十六进制数 分别采用除8取余法（对小数部分为乘8取整法）、除16取余法（对小数部分为乘16取整法）。注意：在进行十进制数转换成十六进制数的过程中，对于采用除16取余法得到的余数和采用乘16取整法得到的整数，若为1015之间的数值，最后要分别用字符A、B、C、D、E、F代替。,4.二进制数与八、十六进制数的转换,（1）二进制数转换成八进制数,（2）八进制数转换成二进制数,（3）二进制数转换成十六进制数,（4）十六进制数转换成二进制数,（1）二进制数转换成八进制数 因为2 38，所以三位二进制数位相当于一个八进制数位，它们之间存在简单直接的关系。三位一并法：从待转换的二进制数的小数点开始，分别向左、右两个方向进行，将每三位合并为一组，不足三位的以0补齐（注意：整数部分在前面补0，小数部分在末尾补0）。然后每三位二进制数用相应的八进制码（07）表示，即完成二八转换工作。,八进制数码与二进制分组的关系列表如下：,例1 将（101010001.001）2转换成八进制数。首先以小数点为中心，分别向左右两个方向每三位划分成一组（以逗号作为分界符）：101，010，001.001，然后，每三位用一个相应八进制数码代替，即得：（101010001.001）2（521.1）8,例2 将（10010001.0011）2转换成八进制数。首先分组（以逗号作为分界符）：10，010，001.001，1 小数点的左边，有一组“10”不足三位，应该补一位0，即应补为“010”；小数点的右边，有一组“1”不足三位，应该补两位0，即应补为“100”。则补0后的分组情况为：010，010，001.001，100，即得：（10010001.0011）2（221.14）8,（2）八进制数转换为二进制数 此为上述转换的逆过程。将每一位八进制数码用三位二进制数码代替，即“一分为三”。,例3 将（576.35）8转换成二进制数。将八进制数的每位数码依次用三位二进制数代替，即得：（576.35）8（101111110.011101）2,（3）二进制数转换为十六进制数 因为2 416，因此四位二进制数与一位十六进制数是完全对应的。四位一并法：从待转换的二进制数的小数点开始，分别向左、右两个方向进行，将每四位合并为一组，不足四位的以0补齐。然后每四位二进制数用一个相应的十六进制码（0F）表示，即完成二十六转换工作。,十六进制数码与二进制分组的关系列表如下：,例4 将（10110001.0011）2转换成十六进制数。首先以小数点为中心，分别向左右两个方向每四位划分成一组（以逗号作为分界符）：1011，0001.0011，然后，每四位用一个相应十六进制数码代替，即得：（10110001.0011）2（B1.3）16,（4）十六进制数转换为二进制数 与八二转换类似，采用“一分为四”的方法，把每个十六进制数码用四位二进制数代替就完成了十六二转换工作。,例6 将（576.35）16转换成二进制数。将八进制数的每位数码依次用三位二进制数代替，即得：（576.35）16（）2,5 数字在计算机内的表示,（1）正数与负数,（2）原码、补码、反码,（3）定点数和浮点数,（1）正数与负数 在计算机中数的符号也是用数码来表示的，一般用“0”表示正数的符号，“1”表示负数的符号，并放在数的最高位。例如：（01011）2（11）10（11011）2（11）10,补码表示法规则：正数补码与原码同 负数补码的步骤是 先求原码反码最后一位加1（11）补 01011（11）补？原码（11011）反码（10100）最后一位加1(10101),（3）定点数和浮点数,定点表示：小数点位置固定 浮点表示：小数点位置不固定,定点数表示法定点表示（Fixed point）：是指在表示一个数时使小数点的位置固定不变。根据小数点位置固定的方法不同，定点表示有定点整数和定点小数两种。前者只能表示纯整数，故将小数点固定在数的最低位之后；后者只能表示纯小数，将小数点固定在数的最高位之前。定点数的运算规则比较简单，但不适宜对数值范围变化比较大的数据进行运算。,定点表示法的局限:定点数表示数的范围受字长限制，表示数的范围有限;定点表示的精度有限 以上两种定点数的表示，计算机均可采用，目前的微型机中多采用定点整数形式。这里需强调的是，小数点位置为假想位置，当机器设计时将表示形式约定好，则各种部件及运算线路均按约定形式进行设计。,定点数在计算机内的表示,如果是定点小数，如+0.100111，-0.100111。则16位字节表示如图,浮点数表示法 浮点数可以扩大数的表示范围。浮点数由两部分组成，一部分用以表示数据的有效位，称为尾数；一部分用于表示该数的小数点位置，称为阶码。一般阶码用整数表示，尾数大多用小数表示。一个数N用浮点数表示可以写成：N MRe其中，M称为浮点数的尾数，一般为定点小数，常用补码或原码表示；E是比例因子的指数，称为浮点数的阶码，一般为定点整数，常用补码或移码表示；比例因子的基数R对于已确定了计数制的机器而言是一个常数，一般为2、8或16，R不直接表示在浮点数代码中，是隐含的。,例X=+0.001011001=2-010（+0.1011001），其在机内表示如图。,浮点数所表示的范围远比定点数大。一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示，要根据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机以上的计算机中同时采用定点、浮点表示，由使用者进行选择。而单片机中多采用定点表示。,