蔡中兵《材料力学》4弯曲应力.ppt

4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,第四章 弯曲应力,受力特点：外力垂直于杆件的轴线。,变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线,以弯曲变形为主的杆件梁,称为横向力,梁的截面对称轴与轴线构成的平面,纵对称平面：,若梁上的外荷载都作用在此对称平面内，则梁弯曲变形后的轴线为纵对称平面内的平面曲线。,这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。,发生对称弯曲的条件：,截面具有纵对称平面；,外力作用于纵对称平面内。,材料力学 主要研究对称弯曲的情形。,对称弯曲的概念,二、梁的计算简图,梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式,1、固定端,限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。,（一）、梁的支座分类,3个约束,2、固定铰支座,限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。,2个约束,3、活动铰支座,使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。,1个约束,1、集中荷载,2、分布荷载,3、集中力偶,特例：均布荷载，线性分布荷载，如水对坝的压力,集中荷载,分布荷载,集中力偶,（二）、梁的荷载分类,沿轴向连续分布在杆件上的荷载，常用q 表示单位长度上的荷载,称为荷载集度.如风力,水力,重力.,荷载的作用范围远小于杆件轴向尺寸。,（三）、几种静定梁的基本形式,利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为静定梁.,1、简支梁一端为固定铰支座一端为活动铰支座。,2、外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁。,3、悬臂梁一端固定支座一端自由。,仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为超静定梁.,梁在两支座间的部分，称之为跨。,跨的长度称之为跨长。,一、内力计算,举例 已知 如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.,解:求支座反力,4-2 梁的剪力和弯矩,求内力截面法,1.弯矩(Bending moment)M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2.剪力(Shear force)FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,1.剪力符号,使dx 微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.,二、内力的符号规定,使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.,当dx 微段的弯曲上凹下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；,2.弯矩符号,当dx 微段的弯曲上凸下凹（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.,例:已知:P、M=Pl、l 求：横截面D-、E、A+的剪力和弯矩。,解：,（1）计算支反力,（2）计算截面 E 的剪力和弯矩,解得：,（3）计算截面A+和D-的剪力和弯矩,解得：,解得：,同理：,三、计算规律,1.剪力(Shear force),剪力：横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上 横向力的代数和。,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩.,2.弯矩(Bending moment),左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,弯矩：横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上 的外力对该截面形心的力矩代数和。,4-2 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,FS=FS(x),M=M(x),一、剪力方程和弯矩方程 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1.剪力方程,2.弯矩方程,弯矩图为正值画在 受拉侧即（x 轴下侧）,负值画在x 轴上侧,二、剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,例题 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）求支反力,（2）列剪力方程和弯矩方程.,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图,弯矩图为一条二次抛物线,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上 FS=0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,弯矩图凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。,解:（1）求梁的支反力,例题 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.,将坐标原点取在梁的左端,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线.,由（2），（4）式可知，AC、CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.,在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.,解：求梁的支反力,例题 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,将坐标原点取在梁的左端.,因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程,由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线.,AC段,CB段,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.,x=a,x=l,M=0,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.,+,三、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,略去高阶微量，得:,利用（a）和（b），得:,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;,（3）根据q(x)0或q(x)0来判断弯矩图的凹凸性.,结 论,q0时，FS图上扬,q0时，FS图下倾,M图,M图,FS 0时，M图下倾,FS 0时，M图上扬,FS=0时，M图水平,1、,FS图为平行于x轴的直线段。,2、,弯矩图凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。,4、,该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。,5、,在集中力作用处,FS图有突变，M图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。,6、,在集中力偶作用处,M图有突变，FS图无特殊变化。,下表是常见载荷的FS图和M图,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图的特征,弯矩图的特征,Mmax所在截面的可能位置,表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：,根据荷载及约束力的作用位置，确定控制面。,应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。,建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。,应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的剪力Fs2等于x1截面上的剪力Fs1加上x1 x2两截面之间分布荷载图的面积.,若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的弯矩M2等于x1截面上的弯矩M1加上两截面之间剪力图的面积.,积分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：,突 变 规 律(从左向右画),1、集中力作用处，FS图突变，方 向、大小与力同；M图斜率突 变。,2、集中力偶作用处，M图发生突变，顺下逆上（向受拉侧突变），大小与M同，FS图不发生变化。,例题 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.,解：（1）求梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段.每一段均属无荷载区段.,（2）剪力图,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段,DB段,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,CD段,最大弯矩发生在 C 截面,（3）弯矩图,每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.,（4）对图形进行校核,在集中力作用的C,D 两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.,在AC段剪力为正值，弯矩图为向下倾斜的直线.,在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向上倾斜的直线.,最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.,例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m,如图 所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）计算梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段.AC和DB上无荷载，CD 段有向下的均布荷载.,（2）剪力图,AC段 水平直线,CD段 向右下方的斜直线,DB段 水平直线,最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上.,例题 作梁的内力图.,解：（1）支座反力为,将梁分为AC、CD、DB、BE 四段.,（2）剪力图,AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线(),DB段 水平直线(-),EB段 水平直线(-),AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线(),F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x,x=5m,（3）弯矩图,CD段,AC段,BE段,（4）校核,Fs图,M图,例外伸梁如图所示，已知q=5kN/m，F=15kN，试画出该梁的内力图。,Fs 图,M 图,FB=(15*2+5*2*5)/4=20kN,FD=(15*2-5*2*1)/4=5kN,+,-,100kN,100kN,Fs(kN),40,60,60,40,40,40,50,M(kNm),-,+,-,+,练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,+,-,-,12.5kN,32.5kN,12.5,20,-,+,Fs:(kN),30,20,M:(kNm),练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,-,+,10kN,40kN,10,20,20,+,-,+,Fs:(kN),10,10,M:(kNm),练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,+,-,-,Fs:,qL,qL2/2,qL2/2,qL2/2,M:,练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,-,-,+,四、按叠加原理作弯矩图,1、叠加原理 多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于每个荷载单独 作用于结构而引起的内力的代数和.,2、适用条件 所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足胡克定律.,3、步骤（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）,叠加法作内力图,-,-,-,-,-,-,1.平面刚架的内力 剪力(shear force);弯矩(bending moment);轴力(axial force).,平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构.,一、平面刚架的内力图(Internal diagrams for plane frame members),4-3 平面刚架和曲杆的内力图,弯矩图(bending moment diagram)画在各杆的受拉侧,不注明正、负号.,剪力图及轴力图(shear force and axial force diagrams)可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在 刚架的外側).注明正,负号.,2、内力图符号的规定(Sign convention for internal force diagrams),剪力 对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动 趋势的剪力为正;,轴力 引起拉伸的轴力为正；,例题18 图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1 和 F2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图.,解：将刚架分为 CB，AB 两段,CB 段,FN(x)=0,M(x)=F1x(0 x a),FS(x)=F1(+)(0 x a),BA 段,FN(x)=F1（）(0 x l),M(x)=F1a+F2 x(0 x l),FS(x)=F2(+)(0 x l),二、平面曲杆(Plane curved bars),轴力 引起拉伸的轴力为正；,弯矩 使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正.,剪力 对所考虑的一端内一点取矩 产生顺时针转动 趋势的剪力为正;,1、平面曲杆(Plane curved bars)轴线为一平面曲线的杆件.内力情况及绘制方法与平面刚架相同.,2、内力符号的确定(Sign convention for internal force),例19 如图所示的半圆环半径为R,在自由端受到载荷F 的作用.试绘制FS图、M图和FN图.,解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q 表示截面m-m的位置.,引言,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力FS.,4-4 梁横截面上的正应力,只有与正应力有关的法向内力元素 dFN=dA 才能合成弯矩.,只有与切应力有关的切向内力元素 dFS=dA 才能合成剪力；,所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.,分析方法(Analysis method),简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.,若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.,纯弯曲（Pure bending),一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,（一）、实验（Experiment）,1.变形现象（Deformation phenomenon),纵向线,相对转过了一个角度，,仍与变形后的纵向弧线垂直.,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线，,横向线,2.提出假设(Assumptions）,（a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；,（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.,推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层,中性轴 横截面对称轴,应变分布规律：,直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.,（二）、变形几何关系,三、物理关系,所以,Hookes Law,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.,应力分布规律：,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径r,四、静力关系(Static relationship）,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.,内力与应力的构成关系可得,（1）,（2）,（3）,将应力表达式代入（1）式，得,将应力表达式代入（2）式，得,将应力表达式代入(3)式，得,中性轴通过横截面形心,自然满足,EIz为梁的弯曲刚度.,得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩；,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.,（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断 的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；,（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,（1）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式,当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,二、纯弯曲理论的推广,但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压）,例,试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,竖放,横放,例,2.强度条件的应用,（2）设计截面,（3）确定许可荷载,（1）强度校核,对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的,且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力,三、强度条件（Strength condition),1.数学表达式,梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.,例题 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为 t=30MPa，许用压应力为c=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面,例 T型截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。已知截面的惯性矩Iz=26.1106mm4,y1=48mm,y2=142mm。材料的许用应力=40MPa,=110MPa。试校核梁的强度。,1）作出梁的弯矩图,2）危险点分析,B点弯矩绝对值最大，应校核拉、压应力，C点下侧受拉，但离中性轴较远，其最大拉应力有可能比截面B的上侧还要大，所以也可能是危险点。,3）强度校核,故该梁不安全。从本例可以看出，对于脆性材料梁，真正的危险点有时并不一定在弯矩最大截面上。,例题 由 n 片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于,解：每一薄片中的最大正应力,z,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,一、梁横截面上的切应力,1.矩形截面梁,4-5 梁的切应力及强度条件,（1）两个假设,（a）各点处的切应力均与侧边平行。（切应力与剪力平行）（b）距中性轴等距离处各点切应力相等,（2）分析方法(Analysis method),（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取 dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等；,（b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.,（c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFS.故在此面上就有切应力.,根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.,m,（3）公式推导(Derivation of the formula),假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.,A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,式中：,为面积A1对中性轴的静矩.,化简后得,由平衡方程,Fs 截面剪力 Sz距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.,Iz截面对中性轴惯性矩b 计算点处截面宽度,（4）切应力沿截面高度的变化规律,沿截面高度的变化由静矩 与y之间的关系确定.,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）t=0,y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,式中，A=bh为矩形截面的面积.,截面静矩的计算方法,A1为截面面积,为截面的形心坐标,2.工字形截面梁,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为,d 腹板的厚度,距中性轴为y的横线以外部分的横截 面面积A对中性轴的静矩.,（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,tmin,tmax,3.圆环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为，环的平均半径为r0，由于 r0 故可假设,（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；,（b）切应力的方向与圆周相切.,式中 A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,z,y,r0,max,假设：,（a）沿宽度k-k上各点处的切应力 均汇交于O点；,（b）各点处切应力沿y方向的分量沿 宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,4.圆截面梁,二、强度条件（Strength condition）,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短，M 较小，而FS较大时,要校核切应力；,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.,最大切应力发生在中性轴上,例题 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30 kN.跨长l=5 m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲切应力=100MPa，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在梁中间位置时有最大正应力.,（a）正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,（b）切应力强度校核,在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.,查型钢表中，20a号工字钢，有,d=7mm,据此校核梁的切应力强度,以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.,例题5 简支梁AB如图所示.l2m，a0.2m.梁上的载荷为q为10kN/m，F200kN.材料的许用应力为=160MPa，100MPa，试选择工字钢型号.,解：（1）计算支反力做内力图.,（2）根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表，选用22a工字钢，其Wz309cm3,（3）校核梁的切应力,腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过t很多，应重新选择更大的截面.现以25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,4-6 粱的合理设计,一、降低梁的最大弯矩值,1.合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件,2.合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩最小.,二、增大Wz,1.合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择弯曲截面系数大的截面,工字形截面与框形截面类似.,2.合理的放置,2.对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截 面且将翼缘置于受拉侧.,三、根据材料特性选择截面形状,1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面.,要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁.,例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,