35概率统计经典讲义.ppt

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论两个随机变量的函数的分布问题.,5 两个随机变量的函数的分布,一、离散型分布的情形,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的分布律.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散型卷积公式,r=0,1,2,解：依题意,由卷积公式,，i=0,1,2,，j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,设X和Y的联合密度为 f(x,y),求Z=X+Y的密度.,解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x,y)|x+y z是直线x+y=z 左下方的半平面.,二、连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式.,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解:由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,也即,于是,若X和Y 独立,且具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,例4,证：,Z N(0,2),用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,则,休息片刻再继续,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有 FM(z)=FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,P(Mz)=P(Xz,Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1，,n),用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,如图所示.设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为:(1)串联.(2)并联.(3)备用(开关完全可靠,子系统L2在储备期内不失效,当L1.损坏时,L2开始开始工作).,例 5,解:,设L1,L2的寿命分别为X，Y，其概率密度函数分别为:,其中 0,0,且.分别对以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度函数.,先求X,Y的分布函数:,(1)串联：Z=minX,Y FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),(2)并联：Z=maxX,Y,FZ(z)=FX(z)FY(z),(3)备用:Z=X+Y,当 z 0时,有,当z 0时，,这一讲，我们介绍了求随机变量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：,请通过练习熟练掌握.,1.已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布；2.会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布,