苏教版高三数学复习课件3.5两角和与差的三角函数.ppt

1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,第5课时 两角和与差的三角函数,和差角公式的考查方式主要有：一是利用公式进行化简与求值；二是利用和角公式证明三角恒等式；三是关于和角公式和其他知识的综合应用在高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及运算能力和综合分析能力,【命题预测】,1用向量的知识来解决三角函数问题，重视知识的发散能力和联想能力，注意培养数形结合思想注意公式的使用范围，在T()中，都不等于k(kZ)，即保证tan，tan，tan()都有意义2在解决问题过程中，应创造条件应用公式，特别注意角与角之间的关系，善于拆角、拼角，如2()(),2()()，()，2()，等，特殊情况有,【应试对策】,辅助角公式(1)由S，我们可以得出辅助角公式，即asin xbcos x sin(x)(其中角的终边所在象限由a，b的符号确定，角满足cos，sin)，这是经常用到的一个公式，它可把含sin x、cos x的一次式的三角函数式化为Asin(x)的形式，从而进一步探索三角函数的性质，这个公式称为辅助角公式,【知识拓展】,(2)常用结论：sin x cos x2sin；sin xcos x sin x cos x2cos,1两角和与差的正弦、余弦和正切公式C()：cos()；C()：cos()；S()：sin()；S()：sin()；T()：tan()；T()：tan().,coscossinsin,coscossinsin,sincoscossin,sincoscossin,思考：已知sin()，sin()，能求 的值吗？提示：.5.,2形如asin bcos 的化简asin bcos sin()，其中cos，sin，tan，的终边所在象限由 的值来确定,a、b,1(2010海门中学高三调研)在ABC中，已知sin A2sin Bcos C且sin B，则sin A的值为_ 答案：,2若A、B是ABC的内角，并且(1tan A)(1tan B)2，则AB等于_ 解析：由(1tan A)(1tan B)2得1tan Atan Btan Atan B2.所以tan Atan B1tan Atan B，由tan(AB)1.又A、B是ABC的内角，0AB.AB.答案：,3(2010淮安能力测试)已知，则cos _.解析：，答案：,4在ABC中，C90，则tan Atan B与1的关系_(填，90，所以AB0，tan Atan B0.所以1tan Atan B0，tan Atan B1.答案：,若sin sin 1，cos cos，则cos()的值为_解析：由sin sin 1 得：sin22sin sin sin2.由cos cos 得：cos22cos cos cos2.得112(cos cos sin sin)2，即2cos().cos().答案：,5,1三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等,2根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号.3对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值,【例1】(1)化简(0)；(2)求值：思路点拨：(1)从把角变为 入手，合理使用公式(2)注意角之间的关系，切化弦，从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异，寻找解题思路，同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉,解：(1)原式 因为00，所以原式cos.,(2)sin 50(1 tan 10)sin 50 sin 50 1，cos 80 sin 10 sin210.,变式1：化简：(1)3 sin x3 cos x；(2)解：(1)解法一：,解法二：(2)原式 0.,变式2：计算：解：原式,三角函数的给值求值问题，解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”如：()；()()；()()；等,【例2】已知0，求sin()的值思路点拨：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现()或将cos 变化为sin再由()求解,解：解法一：又cos，sin0，.cos sin()cos,解法二：，sin()sin,变式3：(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)若tan()，tan，则tan _.解析：=答案：,1通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好2.解给值求角问题的一般步骤为：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出所求的角.,【例3】已知A、B均为钝角且sin A，sin B.求AB.思路点拨：求出AB的某个三角函数值并由A，B的范围确定AB的值解：A、B均为钝角且sin A，sin B，cos B cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，又 A，B，AB2，AB.,变式4：已知0，0，且3sin sin(2),4tan 1tan2，求的值解：由4tan 1tan2 得tan 由3sin()sin()得tan()2tan，tan()1.又0，0，0.,化成一个角的一个三角函数的问题，就是指利用公式asin bcos sin()来解决的问题，通过公式asin bcos sin()的转化，实际上就把asin xbcos x问转化成了Asin(x)的问题,【例4】已知函数y cos2x sin x cos x1，xR.(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合(2)该函数的图象可由ysin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？思路点拨：将函数y转化为Asin(x)m的形式解之,解：(1)y cos2x sin xcos x1 y取得最大值必须且只需2x 2k(kZ)，即x k(kZ)，所以当y取最大值时，自变量x的集合为,(2)将函数ysin x依次进行如下变换：把函数ysin x的图象向左半移，得到ysin 的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原来 的倍(纵坐标不变)，得到函数ysin 的图象；把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数y sin 的图象；把得到的图象向上平移 个单位，得到函数y cos2x sin xcos x1的图象,变式5：(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量a(2sin x，cos x)，b(cos x，acos x)，a为常数，函数f(x)ab，aR，且x 是方程f(x)0的解(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求x 时，求函数f(x)的最值,解：(1)因为a(2sin x，cos x)，b(cos x，acos x)，函数f(x)ab，所以，f(x)ab2sin xcos xacos2xsin 2xacos2x.又x 是方程f(x)0的解，所以，所以1 a0，解得a2.所以f(x)sin 2x2cos2xsin 2xcos 2x1，故f(x)1.,(2)由(1)得f(x)1.所以由题意得(kZ)，所以k xk(kZ)故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(3)因为x，所以2x，所以 所以，故 所以函数f(x)的最大值与最小值分别为 1和2.,把公式tan()的分母去掉后可整理成tan tan tan()tan()tan tan，利用这种变形化简或证明一些含有tan tan 及tan tan 的式子时，有时能起到事半功倍的效果,【例5】化简tan 20tan 40 tan 20tan 40.思路点拨：题目中出现了tan 20tan 40与tan 20tan 40，因此考虑用两角和的正切公式变形形式进行化简解：原式tan(2040)(1tan 20tan 40)tan 20tan 40 tan 20tan 40 tan 20tan 40.,变式6：化简：(1)tan 19tan 26tan 19tan 26；(2)tan 71tan 11 tan 71tan 11.解：(1)原式tan(1926)(1tan 19tan 26)tan 19tan 261.(2)原式tan(7111)(1tan 71tan 11)tan 71tan 11.,【规律方法总结】,1两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”了解公式能够解决的三类基本题型：求值题、化简题、证明题对公式会“正用”、“逆用”、“变形用”掌握角的变化技巧，如2()()，()等将公式和其它知识衔接起来使用，如与三角函数的性质的衔接等2求出角的某三角函数值再求角时，应注意确定角的范围3本节体现的数学思想：整体思想、方程思想.,【例6】已知偶函数f(x)cos sin xsin(x)(tan 2)sin xsin 的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合,偶函数必须对定义域内任意x都满足f(x)f(x)，本题就是要根据这个恒等关系求出常数所满足的关系，然后根据函数的最小值为0，确定函数的最大值以及取得最大值时x的集合本题容易出错的地方是：(1)对关于x的等式恒成立的条件判断错误，求错tan 的值；(2)由tan 的值求解sin 的值时漏解，只求出sin，其结果是导致本题无解,【错因分析】,解：f(x)cos sin xsin(x)(tan 2)sin xsin sin cos x(tan 2)sin xsin，因为f(x)是偶函数，所以对任意xR，都有f(x)f(x)，即sin cos(x)(tan 2)sin(x)sin sin cos x(tan 2)sin xsin，即(tan 2)sin x0，所以tan 2.,【答题模板】,由 解得，或此时，f(x)sin(cos x1)当sin 时，f(x)(cos x1)的最大值为0，与题意最小值为0不符，舍去；当sin 时，f(x)(cos x1)最小值为0，符合题意，故当cos x1时，f(x)有最大值为，此时自变量x的集合为x|x2k，kZ,【状元笔记】,三角恒等变换是解决三角函数问题的主要手段，在进行三角恒等变换时要注意公式使用正确，变换过程中运算准确；一个关于变量的式子如果对这个变量取任意值时都恒等于0，这就说明这个式子中变量的系数都等于0；当已知一个角的正切值求这个角的正弦值、余弦值时，其基本方法就是本题中解答这种方程的方法，要注意解的个数，不要漏解.,求值：(1)cos 43cos 77sin 43cos 167；(2)cot 20cos 10 sin 10tan 702cos 40.解：(1)原式cos 43cos 77sin 43sin77cos(4377)cos 120.,(2)cot 20cos 10 sin 10tan 702cos 40tan 70(cos 10 sin 10)2cos 402tan 70sin(3010)2cos 402=2,