自动控制原理与系统课件第四章控制系统的频率特性.ppt

1,第四章 控制系统的频率特性分析,2,4.1 频率特性的基本概念,一、频率特性的定义,系统对不同频率的正弦输入的稳态响应特性称为频率特性。,采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。,3,幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(j)表示,系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性，简称幅频特性，它随角频率变化，常用M()表示。,输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它也随角频率变化，常用()表示，,4,频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号作用下稳态时输出相量与输入相量之比。,幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(),描述系统对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减）特性。相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差(),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。,5,二、频率特性与传递函数的关系,由拉氏变换可知，传递函数的复变量s=+j。当=0时，s=j。所以G（j）就是=0时的G（s），即复域与频域的关系为：,6,三、频率特性的表示方法,图4-2,1、数学式表示法,7,例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。,解：惯性环节的传递函数为,其频率特性为,幅频特性为,相频特性为,8,2、图形表示法,1）极坐标图（又称奈奎斯特图）,当从0变化时，根据频率特性的极坐标式G(j)=A()()，可以算出每一个值所对应的A()和()，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。,2）对数频率特性（Bode图）,定义：L()=20lgA()对数幅频特性()=G(j)对数相频特性,对数幅频特性曲线（半对数坐标图）,对数相频特性曲线,图4-3,横坐标表示频率，单位为rad/s。按对数分度，即以标注刻度。但为方便读数，横轴标注本身的数值，所以横坐标的刻度是不均匀的。角频率变化10倍，在横坐标上距离的变化为一个单位，即lg10=1，称为一个“10倍频程”，记为dec。零频（=0）不可能在横坐标上表达出来。横坐标的最低频率，一般以我们感兴趣的频率范围来决定。,10,4.2 典型环节的Bode图,一、比例环节,传递函数：,频率特性：,对数频率特性：,比例环节放大倍数K变化，系统的L()上下平移，但()不变。,Bode图：,对数幅频特性L()为水平直线，其高度为20lgK。对数相频特性()为与横轴重合的水平直线。如图4-4所示。,图4-4,11,二、积分环节,传递函数：,频率特性：,对数频率特性：,Bode图：,对数幅频特性L()过点（1，0）、斜率为-20dB/dec的一条直线。对数相频特性()为一条-90o的水平直线。,图4-5,1,1,12,三、理想微分环节,传递函数：,频率特性：,对数频率特性：,Bode图：,对数幅频特性L()为过点（1/，0）、斜率为20dB/dec的一条直线。对数相频特性()()为一条90o的水平直线。如图4-6所示。,图4-6,13,四、惯性环节,传递函数：,频率特性：,对数频率特性：,Bode图：,对数幅频特性L()是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的绘制方法,用两条渐进线近似表示.,低频渐近线：,高频渐近线：,低频渐近线为零分贝线。,14,修正量：最大误差发生在交接频率=1/T处，该处的实际值为,图4-7,1/T,高频渐近线为一条在=1/T处穿越横轴、且斜率为-20dB/dec的直线。对数幅频特性曲线可近似地用上述两条直线表示，且它们相交于=1/T（转折频率）处。由这两条直线构成的近似对数幅频特性曲线称为渐近对数幅频特性曲线。,-,15,对数相频特性,低频：当0时，()0。高频：当时，()-90o。转折频率处的相位：当=1/T时，()=-arctan1=-45o。,图4-7,1/T,16,五、比例微分环节,传递函数：,频率特性：,对数频率特性：,Bode图：,因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。如图48,图48,17,1.传递函数 2.频率特性 3.对数频率特性 4Bode图,六、振荡环节,18,（1）对数幅频特性 当 时，,即低频区，对数幅频特性曲线为与横轴重合的直线；当时,，即高频区,对数幅频特性曲线为一条在=1/处穿越横轴、且斜率为-40dB/dec的直线。对数幅频特性曲线可近似用上述两条直线表示（渐近对数幅频特性曲线），且它们相交于=1/处。=1/处的频率称为转折频率，也就是无阻尼自然角频率n。,19,当=1/T=n，渐近对数幅频特性曲线与实际曲线的误差为：振荡环节渐近对数幅频特性曲线与实际曲线的误差与和有关。对于不同值，上述误差值列于下表。,计算表明，在=n处，当0.40.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当0.4或0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。,20,对数相频特性()低频：当0时，()0。因此，低频段为一条()0的水平线。高频：当时，()-180o。因此，高频段一条()-180o的水平线。交接频率处的相位：当=n时，()=-90o。,21,振荡环节的对数相频特性既是的函数，又是的函数。随阻尼比不同，对数相频特性在转折频率附近的变化速度也不同。越小，相频特性在转折频率附近的变化速度越大，而在远离转折频率处的变化速度越小。T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。,22,4.3 控制系统开环对数频率特性的绘制,一、系统开环Bode图的简便画法 若系统的开环传递函数G(s)为 G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)其对应的开环频率特性为 G(j)=G1(j)G2(j)G3(j)其对应的开环幅频特性为 L()=20lgA1()A2()A3()=20lg A1()+20lg A2()+20lg A3()=L1()+L2()+L3()其对应的开环相频特性为()=1()+2()+3()由此可见，串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。,23,绘制控制系统Bode图的一般步骤为：1）将控制系统的开环传递函数化成典型环节的乘积，整理成标准形式。2）计算出各典型环节的转折频率，将它们按由小到大的次序排列。3）选定Bode图频率范围。一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，最高频率为最高转折频率的10倍左右。4)在对数幅频特性图上，找到横坐标为=1、纵坐标为20lgK点，过该点作斜率为-20dB/dec的斜线。其中为系统中理想积分环节的个数，直到第一个转折频率1。如果11，则该直线延长线经过（1，20lgK）点。5）在对数幅频特性图上，按下述原则依次改变系统L（）的斜率：若过惯性环节的转折频率，斜率减去20dB/dec；若过比例微分环节的转折频率，斜率加上20dB/dec；若过振荡环节的转折频率，斜率减去40dB/dec；若过二阶微分环节的转折频率，斜率加上40dB/dec；,24,6）如有必要，可对对数渐进幅频特性进行修正，以得到精确的对数幅频特性。7）在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线（惯性环节、比例微分环节、振荡环节和二阶微分环节的对数相频特性曲线用模型板画更方便）。将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。,25,解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这 些典型环节的传递函数都化成标准形式。,2）由小到大书写转折频率。,3)选定坐标轴的比例尺及频率范围（即取坐标）。一般取最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右。,26,4）计算20lgK,找到横坐标为=1、纵坐标为L()=20lgK=20 lg10=20dB的点，过该点作斜率为-20vdB/dec=-20dB/dec的直线至c1点，其中v为积分环节的个数。本例中v=1。5）每过转折频率c，斜率按下列原则变：若过惯性环节的转折频率，斜率增加-20；若过比例微分环节的转折频率，斜率增加+20；若过振荡环节的转折频率，斜率增加-40。6）如果需要，可对渐进线进行修正，以获得较为精确的对数幅频特性曲线。最后得到开环对数幅频特性曲线如图4-10所示。,27,对数相频特性曲线()的绘制步骤：画出各典型环节的对数相频特性曲线，把它们按频率逐点相加，即可得到系统的对数相频特性曲线。如图4-10所示。,28,29,二、最小相位系统,若传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧的系统称为最小相位系统。若传递函数的极点和(或)零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统。,传递函数的分子、分母中无正实根且无延迟环节时，该系统必定为最小相位系统。最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性是一一对应的，知道对数幅频特性，也就知道其对数相频特性。因此,对于最小相位系统,只要根据对数幅频特性就能写出其传递函数。利用Bode图对最小相位系统进行分析时，往往只分析对数幅频特性。,30,三、由对数频率特性求相应的传递函数,例4-3 求如图4-11所示环节的传递函数。,图4-11,31,解：1）由图4-11a低频段的斜率为-20dB/dec，可推知该系统含一个积分环节，其传递函数为 G(s)=K/s 由于=1时，L()=20lgK。又由图可知：=1时，L()=0dB，所以,由此可得 K=1=10,G(s)=10/s,32,2）图4-11b可见，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）；又由于低频段的高度为L1()，即20lgK=0，可求得K=1。由过点1斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T1s+1）,式中T1=1/1。由过点2斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T2s+1）,式中T2=1/2。综上所述，可得此环节的传递函数为,3）由图4-11c可知，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）；又由于低频段的高度为L1()，即20lgK=L1()，可求得K。由过点1斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T1s+1）,式中T1=1/1。,33,由过点2斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T2s+1）,式中T2=1/2。由过点3斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T3s+1）,式中T3=1/2。由过点4斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T4s+1）,式中T4=1/4。综上所述，可得此环节的传递函数为,由上例可归纳出由Bode图求取传递函数的一般规则：由低频段的斜率，可推知所含积分环节的个数，由低频段在=1处的高度L()=20lgK或由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线交点来求得增益K.由低频高频，斜率每增加一个+20dB/dec，即含一个比例微分环节；斜率每增加一个-20dB/dec，即含一个惯性环节；斜率每增加一个-40dB/dec，即含一个振荡环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比。,34,4.4 控制系统性能的频域分析,一、系统稳定性的频域判据,对数频率稳定判据是建立在Nyquist 图基础之上的，因而又称为Nyquist稳定判据。作Nyquist 图较麻烦，所以工程上一般都是采用系统的开环波德图来判断系统的稳定性，即对数频率稳定性判据。对数频率稳定性判据实际上是Nyquist判据在波德图上的应用。该判据不但可以回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参数对系统稳定性的影响。,35,1对数频率稳定判据,1）对数频率稳定判据的内容：若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是：当L()线过0dB线时，对应的()在-180o线的上方；或当()=-180o时，对应的L()在0dB线下方。,36,2）稳定裕量设计控制系统时，应在绝对稳定的前提下，保证一定的相对稳定性。稳定裕量 表征系统相对稳定的程度，也就是系统的相对稳定性。稳定裕量通常用相位裕量和增益裕量来表示。,37,定义：,显然，0，稳定，越大，系统相对稳定性越好=0，系统临界稳定 0，系统不稳定,相位裕量：当L()=0dB时，对应的()高于-180o线多少。其中，L()线穿0dB线时的频率，叫幅值穿越频率，用c表示。,c,38,显然，Kg0，系统稳定，Kg越大，系统相对稳定性越好 Kg=0，系统临界稳定 Kg 0，系统不稳定为了确保系统的相对稳定性，要求系统应具有4045的相位裕量和610dB的增益裕量。,定义：,增益裕量Kg：当()=-180o时，对应的L()低于0dB线多少。其中，()=-180o时的频率，叫相位穿越频率，用g表示。,g,39,Bode图中的中频段:指L()的渐进线穿越0dB线附近频率的一段区段，也就是幅值穿越频率c附近的一段区段。1相位裕量反映系统的相对稳定性 越大，%越小，相对稳定性越好。2幅值穿越频率c反映系统动态过程的响应速度和变化的快慢 c越大，ts越小，系统的响应越快。因此,系统的开环对数频率特性的中频段表征着系统的动态性能.,二、开环对数频率特性与系统性能的关系,40,Bode图中的低频段是指L()的渐进线在第一个转折频率以前的区段，也就是最左边的区段。L()低频段（渐进线）的斜率代表着系统的型别：若L()低频段（渐进线）的斜率为0dB/dec（水平线），则v=0，为0型系统。若L()低频段（渐进线）的斜率为-20dB/dec，则v=1，为I型系统。若L()低频段（渐进线）的斜率为-40dB/dec，则v=2，为II型系统。L()在=1的高度为20lgK代表系统的增益K。综上所述，系统开环对数幅频特性L()低频段曲线的斜率愈陡，L()在=1的高度愈高，则系统的稳态误差将愈小，系统的稳态精度愈好。,41,高频段是指开环对数幅频特性曲线在中频段以后的一段区域。由于 L（）0所以有 G（j）1单位负反馈系统的闭环幅频特性为 表明在高频段系统的闭环幅频特性与开环幅频特性近似相等。开环对数幅频特性曲线高频段反映输出与输入幅值之比,高频段的分贝值越低，其输出与输入幅值之比越小，说明系统对高频输入信号抑制能力越强。,42,