2.4常用的连续型分布.ppt
24 常用的连续型分布,二、指数分布,三、正态分布,一、均匀分布,一、均匀分布,均匀分布,均匀分布的分布函数,一、均匀分布,均匀分布,均匀分布的数字特征,二、指数分布,指数分布,指数分布的分布函数,指数分布的数字特征,二、指数分布,指数分布,二、指数分布,指数分布,定理25(指数分布的无记忆性),非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是 对任意正实数r和s 有,例222 某元件的寿命X服从指数分布 已知其平均寿命为1000 h 求3个这样的元件使用1000 h 至少已有一个损坏的概率,由题设知 EX1000 h 于是该指数分布的参数为,从而X的分布函数为,e1,1F(1000),1PX1000,PX1000,由此得,各元件的寿命是否超过1000 h是独立的 于是3个元件使用1 000h都未损坏的概率为e3 从而至少有一个已损坏的概率为1e3,三、正态分布,正态分布,正态分布的数字特征,可见 正态分布的两个参数实际上分别为其数学期望和方差,正态分布的期望和方差为 EX DX 2(276),说明,正态分布的密度函数的特征,正态分布的“钟型”特征与实际中很多随机变量的“中间大 两头小”的分布规律相吻合,说明,正态分布的密度函数的特征,比如考察一群人的身高 个体的身高作为一个随机变量 其分布的特点是 在平均身高附近的人较多 特别高和特别矮的人较少,说明,正态分布的密度函数的特征,一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征 进一步的理论研究表明 一个变量如果受到大量的独立因素的影响(无主导因素)则它一般服从正态分布,1 正态分布的分布函数,正态分布的密度函数的特征,标准正态分布,2 标准正态分布表,在附录中列出了标准正态分布的密度函数值表和分布函数值表 但表中只列出x0时0(x)和0(x)的值 这是因为由正态分布的对称性可以导出0(x)和0(x)在x0时的值,标准正态分布表,标准正态分布,2 标准正态分布表,标准正态分布表,对于0(x)而言 直接由其对称性有 0(x)0(x)因而 当x0时 0(x)0(x)在表中查0(x)即得0(x),提示,标准正态分布,2 标准正态分布表,标准正态分布表,对于0(x)由于0(x)关于x0对称 有 0(x)0(x)1(280),特别地 有0(0)05 当x0时 由0(x)10(x)查表得0(x)即可得0(x),例223 设XN(0 1)(1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2(2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c,解,(1)直接查表可得,根据0(x)的对称性 有,097725084131081855,0(2)0(1)1,PX1960(196),0975,PX1960(196),10(196),109750025,P|X|196P196X196,0(196)0(196),20(196)1,209751095,P1X20(2)0(1),0(2)1(1),例223 设XN(0 1)(1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2(2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c,解,(2)直接查表可得a053,P|X|b20(b)109242,由,查表即得 b178,查表得c053,0(c)10(c)07019,所以c0 根据对称性 有,由于PXc0298105,c053,提示,3 一般正态分布与标准正态分布的关系,定理26(正态分布的线性变换)设XN(2)YaXb a b为常数 且a0 则 YN(ab a2 2),推论1,通常称为X的标准化,推论2 XN(2)的充要条件是存在一个随机变量N(0 1)使得X,推论3 设XN(2)(x)(x)分别为其分布函数与密度函数 0(x)0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有,4 一般正态分布的概率计算,一般正态分布与标准正态分布的关系 为一般正态分布的概率计算提供了有效的途径 对于一般正态分布的有关问题 尤其是概率计算 都可以转化为标准正态分布来解决,例224 已知XN(8 052)求(1)(9)(7)(2)P75X10(3)P|X8|1(4)P|X9|05,(1),解,(9)PX9,0(2),097725,(7)PX7,0(2),10(2),002275,例224 已知XN(8 052)求(1)(9)(7)(2)P75X10(3)P|X8|1(4)P|X9|05,(2),解,09999708413108413,0(4)0(1)1,0(4)0(1),例224 已知XN(8 052)求(1)(9)(7)(2)P75X10(3)P|X8|1(4)P|X9|05,(3),解,20(2)1,09545,20.977251,(4),0(3)0(1),01573,09986508413,例225 某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(2)已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为9236%为使其寿命在x和x之间的概率不小于09 x至少为多大？,由PX250PX350,解,根据密度函数关于x对称,
