统计物理与热力学课程(陈培锋)第二讲.ppt

第二讲,近独立粒子系的麦克斯韦-玻尔兹曼MB分布,能量分布律,为什么都与能量有关,内在的基本规律是什么？,分布函数与T和能量的关系一致,本节讨论经典近独立粒子系系统的粒子数按能量分布规律,找出更一般的规律重力场、旋转力场气体位置分布,气体的速度分布等的规律性是其特例,可以用于能级分布,一、微观粒子的基本运动形式,分析微观粒子的几种基本运动形式的能量表达式给出能量与坐标x和动量px的关系说明分子的主要运动形式,(一)自由平动粒子,粒子在三维空间中运动时,自由度为3,位置可由坐标x、y、z确定,与之共轭的动量为,无外力作用,能量就是它的动能,在重力场中运动,(二)线性谐振子,一维线性谐振子自由度为1,粒子的位置由它的位移x确定,与之共轭的动量为,质量为m的粒子在弹性力F=-Ax作用下,将在原点附近作简谐振动,振动的圆频率,通过分子键组成的双原子分子,两原子在平衡位置附近的振动；晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动,以x和p为直角坐标,可构成二维的空间给定振子的能量,代表点的轨迹是椭圆,椭圆的面积等于,(三)转子,考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时所作的运动,双原子分子,除了两原子之间的相互振动外,还存在分子整体的转动。,球极坐标r、描述质点的位置,转动惯量,与、共轭的动量,统计物理中将双原子分子绕其质心的转动看作转子。双原子分子看作以细棒联结的质量为m1和m2的两个质点(类似哑铃)，“哑铃”绕其质心转动，具有转动能，“哑铃”绕其质心转动可以约化为约化质量的单体问题。,粒子运动状态的一般经典描述,设粒子的自由度为r,按照经典力学,粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1,q2,qr和与之共轭的r个广义动量p1,p2,pr在该时刻的数值确定,Lagrange函数定义为,广义坐标qi的共轭广义动量,广义坐标对时间的微商称为广义速度,粒子的能量是其广义坐标和广义动量的函数,经典统计物理的基本对象是分子需要给出一般的微观粒子运动状态统一表述分子的运动涉及上述三种基本运动。多原子分子具有：平动能、振动能、转动能。平动、振动、转动能相互转化为什么不考虑分子的内部运动能,近独立微观粒子的基本运动形式,分布函数与T和能量的关系一致,与T有关！,kT的量纲是什么？典型的值是多少？,1eV=1.610-19J,电子电荷=1.610-19库仑,h=6.62610-34Js,光子的典型能量是多少？,氢原子电子能级基本参数,Bohr半径,线光谱,正负离子相间的链状晶体的结合能(静电能),离子间距离为a(晶格常数),带电为q,根据电荷系的相互作用能,第i个粒子受到的静电相互作用能为,如a=0.3nm,q是一个质子所带的电荷,则这种结合能为3.3eV,分子内能不参与热运动！分子的运动有哪些形式？有多少自由度？,二、相宇和子相宇粒子系统状态描述,现在的任务是求近独立粒子的微观运动的分布规律,需要给出描述粒子的微观运动状态的统一表述在经典力学中,粒子在某时刻的运动状态完全由该时刻粒子的广义坐标和广义动量决定设粒子的自由度为r,足以能确定质点位置的任一组r个独立参量称为广义坐标qi。按照经典力学,一般情况下粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1,q2,qr和与之共轭的r个广义动量p1,p2,pr在该时刻的数值确定。,相宇粒子状态描述,设力学系统中一个粒子,做x方向的一维运动 坐标x和动量px力学系统某时刻的运动状态 x(t)和px(t)力学系统运动状况随时间变化的规律作互相垂直的x和px轴,二维空间内的一点对应于一组(x,px)值,系统的运动状态可用这二维空间内的一点来代表,这点称为力学系统的代表点。代表点在空间画出的“轨道”,给出力学系统运动状态随时间变化的规律空间Oxpx称为力学系统的相宇,或相空间(phase space)。相空间不是真实的描绘粒子位置的空间。,2Nr维空间、相宇、空间,系统有N个相同粒子，每个粒子做r维运动，第i个粒子的广义坐标和广义动量分别为物q1i、q2i、qri、p1i、p2i、pri，选取一个原点，作互相正交的轴q1i、qri、p1i、pri(i=1，2，3，N)，这样构成的2Nr维空间就是系统的相宇相宇中的一点代表系统的运动状态，代表点在相宇中画出的“轨道”描述系统运动状态随时间的变化,2r维空间、子相宇、空间,2r条互相正交的轴q1、q2、qr、p1、p2、pr N个粒子所组成的近独立粒子系的运动状态可用子相宇中的N个代表点来描述,类似于麦克斯韦的速度空间,但不相同,三、宏观状态和微观状态,从微观角度考察和描述的系统状态-微观态从宏观角度考察和描述的系统状态-宏观态确定系统的微观态就是要确定系统中每一个粒子的运动状态 确定系统的宏观态是确定系统的宏观状态参量宏观态对应子相宇一种分布,子相宇空间分割及宏观态的表示,把子相宇空间分成许多小体元j(j=1,2,l)j的大小应适当,不太大,也不太小Nj10由于j足够小,可近似认为代表点落在j内的粒子的运动状态是相同的,有相同的动量、能量等。,只要知道了j(j=1,2,l)体元内代表点数Nj(j=1,2,l),就可确定系统的体积、内能等宏观量,系统的宏观态也就确定了系统的宏观态可用一组数N1、N2、Nl来描述,或简洁地用Nj来描述,宏观态的组态或配容,经典物理认为粒子是可分辨的,一个宏观态对应着许多不同的微观态。j体元内的粒子数Nj(j=1,2,l)虽然确定了,但究竟是哪些粒子占据Nj个粒子的代表点可以有不同的方式,粒子代表点在子相宇各体元内的这种分配方式称为一种组态或配容。组态是比分布更细致的代表点分配方式,一个分布Nj对应着许多不同的组态,或者说,一个宏观态对应着许多不同的微观态。,宏观态对应的组态数,一个宏观态对应的微观态数就是一种宏观分布Nj对应的组态数N是系统总粒子数,N个代表点按每一种新的排列次序排好后依次放入小体元1、2、l就得到一种可能的新的组态,分子上的N!由此而来。但j小体元内的Nj个代表点相互交换不产生新的组态,因此N!中多算了Nj!倍,所以要除以分母,这是数学上的什么问题？,四、等概率原理和最概然统计法,如果对于系统的各种微观态没有更多的知识,就假定一切符合所有约束条件的微观态出现的概率相等。它是以对称性为基础提出来的,它的正确性只能靠实践来检验具体到用子相空间表示,等概率原理表述为：在对于系统的各种微观态没有更多的知识的前提下,任一代表点进入子相空间j小体元的概率与其体积j成正比。,因此,子相宇体元1中有1个粒子的概率正比于1,子相宇体元1中有N1个粒子的概率正比于；子相宇体元2中有N2个粒子的概率正比于；子相宇体元1中有N1个编号粒子，子相宇体元2中有N2个编号粒子，子相宇体元j中有Nj个编号粒子的一种组态的概率正比于,此概率只与分布Nj有关，换句话说当一个分布确定后，分布中的每一个组态的概率相等。,一个宏观分布Nj出现的概率,正比于上述的每个组态出现的概率与组态数的乘积,注意本讲义中Nj和aj经常通用，因为两本教材中不同表述,平衡态时系统的最概然统计,最概然统计法:认为出现概率最大的那个宏观态对应于平衡态,也就是认为对应的微观态数最多的那种宏观态对应于平衡态后面说明：对于宏观系统,最大概率分布处的微观态数是一个非常尖锐的极大值,在它的一个极其微小的领域内的分布所具有的微观态数几乎占据了全部的微观态。而当对最大概率分布仅有极微小偏离时,物理上实际是无法区分的对于由大数粒子组成的宏观系统,最概然统计法是可信赖的。,五、最概然分布求算,一个宏观分布Nj出现的概率为。应用最概然统计法,热力学平衡时系统的宏观态Nj是出现概率最大的那种宏观态,也就是使ln()极大的那种分布。因此可利用极值条件ln()=0来确定这种分布,为什么要用ln？,极值方程,在所求的那种分布Nj附近,Nj改变Nj,求对任意Nj满足下式的Nj,由于N和j都是不变的，因而,化简,对于lnNj!可用大数的斯特林(J.Stirling)公式j的划分时已保证Nj一般是大数,求对任意Nj满足左式的Nj,孤立系平衡态条件下的方程,Nj必须满足下列能量和粒子数守恒条件,拉格朗日未定乘子法,用和分别乘两个限制条件式，然后与极值式相加,选择合适的和,求对任意Nj满足上式的Nj,拉格朗日不定乘子法,由于存在两个约束条件,因此Nj不独立,只有N-2个是独立的,引入两个拉格朗日不定乘子、后,把Nj的不独立性转嫁到拉格朗日未定乘子上,而认为Nj是彼此独立的,最后再从约束条件求出,既然Nj是彼此独立的，由得,结果,对任意Nj满足极值条件,是极大值,麦克斯韦玻尔兹曼能量分布律，简称麦玻分布或MB,利用,定义配分函数Z,六、的确定：比较,是一个普遍量,七、分子射线束实验,轴旋转角速度可调节，两盘边缘上都有一小凹槽，但凹槽错开某角度 满足v=L/的分子可以穿过两个凹槽,麦克斯韦速度和速率分布律,MB分布物理意义,在一定的宏观条件下系统可能处于不同的宏观态分布NjMB分布是出现概率最大的一种分布，别的分布出现的概率可忽略MB分布就给出了系统处于平衡态时同一时刻系统内粒子取某个能量值的概率MB分布也给出了平衡态时同一粒子在不同时刻取某个能量值的概率,玻尔兹曼因子,正如大气分子数密度分布公式中的 一样，玻尔兹曼因子反映了平衡态时最低能量原理和热运动这两种竞争因素达成的某种“妥协”。,重点,宏观态是子相宇中的一种能量分布大量微观态属于同一宏观态一种宏观分布的微观态数配容等概率原理不同微观态出现的概率相等不同分布对应不同概率最概然能量分布 概率最大的宏观态,作业,1、一个晶体样品处于均匀的外磁场中,用电磁波照射这样品时,功率吸收的最大值出现在100兆周处,功率吸收导致质子自旋取向反转,自旋反转需要吸收能量h的光子。试求温度300K时,自旋的分数极化强度,N和N分别为自旋平行与反平行与磁场方向的质子数,2、根据麦克斯韦速度分布律,求速率倒数的平均值它等于速率平均值的倒数 吗？3、设气体分子的总数为N,试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为,为误差函数,4、北方的冬天寒风凛冽。风大,表示空气分子速度大；寒表示温度低,即空气分子的速度小。这矛盾吗？5、试解释为什么氢气在地面的含量(占空气的百分比)比高处低？6、文献中常有”等离子体中的电子温度为Te,离子温度为Ti”的说法,且TeTi。为什么二者可以不同？,