结构的位移计算.ppt

1.领会变形体虚功原理和互等定理。2.掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。3.熟练掌握荷载产生的位移计算。4.熟练掌握图乘法求位移。5.了解温度改变、支座移动引起的位移计算。,第6章 结构的位移计算,目的要求,6-1 概 述,1结构的位移,（1）结构的位移 结构在外因的影响下将产生变形，由于变形使结构上各截面的位置将发生变化，这种位置的变化称为位移。（2）位移的分类及表示 位移可分为线位移及角位移f，为计算方便常把线位移分解为水平及竖直两个方向，分别用Cx(或CH)、Cy(或CV)表示，如图6-1所示。角位移用fC(或C)表示如图6-2所示。位移的表示符号右下方有两个脚标，其物理意义为：第一个脚标表示发生位移的截面，第二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。,位移又可分为绝对位移（如图6-1所示）及相对位移，如图6-2中C、D两截面的水平线位移Cx、Dx之和CD=Cx+Dx表示C、D两截面在水平方向上的相对线位移，又如 fAB=fA+fB表示A、B两截面的相对转角。无论是绝对位移或相对位移，今后统称为广义位移，可用表示。,图6-1 图6-2,2计算结构位移的目的（1）验算结构的刚度 结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要求。（2）结构在施工过程中需要计算位移 结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，而这种变形与结构正常使用时完全不同。如图6-3为悬臂拼装架梁的示意图。在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施工时悬臂端B处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控制因素之一。,图6-3,（3）为超静定结构的计算打基础 在超静定结构的计算中，除考虑平衡条件外，还必须考虑变形协调条件，因此计算结构的位移是解超静定结构的一个重要手段。（4）结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的移。3计算位移时的有关假定（1）结构的材料服从虎克定理。即应力与应变呈线性关系。（2）结构的变形很小，可以认为结构变形前后的几何尺寸相同，称为弹性小变形问题。（3）受弯杆件不考虑轴向变形的影响。上述假定可使位移计算得到简化，其计算精度可以满足工程要求。满足上述假定的体系其位移与荷载呈线性关系，称为线性变形体。若位移与荷载之间不呈线性关系的体系称为非线性变形体。本书只考虑线性变形体。4引起结构产生位移的原因除荷载外，还有温度变化、支座移动、制造误差、混凝土收缩等因素。,1虚功和虚功原理（1）虚功 力在其位移上做功，当力与位移彼此独立无关时，这时的功称为虚功。（2）刚体的虚功原理 理论力学中讲过刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，所有外力所作虚功的总和为零。（3）变形体的虚功原理 对于变形体来讲，当给体系一虚位移时，除了外力(荷载、约束反力等)在虚位移上做虚功外，内力在其相应的变形上也要做功，这个功称为变形虚功。变形体的虚功原理可表述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所做虚功总和等于各微段的内力在其变形上所做的虚功总和。,6-2 变形体系的虚功原理,若用W表示外力虚功，WV表示变形虚功，则上述原理可写为 W=WV(6-1)由于力与位移的独立性，为计算方便，常把力状态与位移状态分开画，在力状态所有的力(荷载与支座反力等)处于平衡状态，在位移状态中，虚位移可由其它任何原因(如另一组力系、温度变化、支座移动等)引起，但必须是约束条件所允许的微小位移。2变形虚功的计算 在力状态取微段ds为隔离体，如图6-4(c)所示，在位移状态对应微段的变形为du、ds、df，当略去二阶微量时，ds微段的变形虚功为dWV=FNdu+FSds+Mdf，对于整个结构则为 WV=dWV=FNdu+FSds+Mdf(6-2),故虚功方程为：W=dWV=FNdu+FSds+Mdf(6-3),图6-4,3.虚功原理的应用(1)虚位移原理 给定力状态，虚设位移状态，利用虚功方程来求解力状态的未知力，称为虚位移原理。(2)虚力原理 给定位移状态,虚设力状态，利用虚功方程求解位移状态中的位移，称为虚力原理。本章将根据这一原理计算位移。,在利用虚力原理时，由于力状态是虚设的，故将上节所述力状态改称为“虚拟状态”，位移状态改称为“实际状态”。为了计算方便，在“虚拟状态”沿欲求“实际状态”的指定截面位移方向K加一个对应的单位力，如图6-5所示。根据(6-1)、(6-3)式可得 式中、为单位力 引起的内力(在虚拟状态)，上式移项后可得(6-5),6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,1.单位荷载法,由(6-5)式可以看出，欲求“实际状态”的某一位移如K，则必须在“虚拟状态”加一个相应的单位力，然后利用虚功原理求出K，故此种计算位移的方法称为单位荷载法。,图6-5,2.单位力的作法 具体计算中，欲求的位移可能是角位移、相对线位移、相对角位移，则对应的虚拟力应分别为一个单位力偶，一对指向相反的单位力或一对方向相反的力偶(见图6-6)，在桁架中由于只承受结点集中荷载，当欲求图中BC杆转角时，虚拟力则是加在BC杆两端结点垂直于杆轴线的一对集中力1/lBC，它们组成一个单位力偶m=1/lBClBC=1。,图6-6,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,式(6-5)中的du、ds、d为“实际状态”中ds微段的变形，该变形可以由荷载引起或温度变化或支座移动等原因引起。本节先讨论荷载的影响，其它因素将在后面各节分述。当只考虑荷载的影响时，式(6-5)可写为(a)由材力可知：(b)式中FNP、FSP、MP为“实际状态”中荷载引起的微段内力，,E为材料的弹性模量，I、A分别为杆件截面的惯性矩和面积，G为剪切弹性模量，k为截面上剪应力分布不均匀系数，它与截面的形状有关。如矩形截面k=6/5，圆形截面k=32/27，工字形截面kA/Af，Af是腹板的面积。将(b)式代入(a)式得(6-6)在计算梁和刚架时，因剪切及轴向变形的影响比弯曲变形小得多，可以略去不计，故式(6-6)可简化为(6-7)在桁架计算中，因只有轴力一项，且每根杆EA、l均为常数，故式(6-6)可写为(6-8),对于组合结构，受弯杆件只计弯曲变形的影响，二力杆只有轴向变形，则式(6-6)可写为(6-9)例6-1 试求简支梁在荷载作用下跨中C截面的竖向线位移Cy。EI=常数。见图6-7(a)。解：1.建立“虚拟状态”。欲求Cy则应在C处加一单位集中力作为虚拟力，见图6-7(b)。2.写出、表达式。设x坐标如图所示，A为坐标原点。在虚拟状态中，由单位力引起的内力、反力均在其相应的表示符号上加一横线，AC与CB段内力表达式形式不一样，故“两种状态”中的内力应分两段写出,AC段=ql/2x-qxx/2(0 xl/2)=x/2(0 xl/2)CB段=ql/2x-qxx/2(l/2xl)=x/2-1(x-l/2)=l/2-x/2(l/2xl),图6-7,3.代入式(6-7)计算Cy。计算结果得正值说明Cy的方向与虚拟力方向一致，数据后面一定要注明所求位移的实际方向。例6-2 求图6-8(a)所示圆弧曲杆B点的竖向线位By。EI=常量，不计轴力及曲率的影响。解：1.建立虚拟状态如图6-8(c)所示。2.写出、表达式。,取分离体分别如图6-8(b)、(d)所示。=-FRsin=Rsin,且ds=Rd3.代入式(6-7)计算By。,图6-8,例6-3 计算图6-9(a)所示桁架下弦C结点的竖向线位移Cy、CD及CE两杆的相对角位移C。各EA=3104kN。解:由于桁架的杆件较多，一般多采用表格形式进行计算。本题两种状态内力均为正对称，故表6-1中只列出一半杆件内力。由式(6-8)得 Cy=2(9.43+6.67)10-4+13.3310-4=45.5310-4m=45.5310-2cm()C=6.6710-4rad(下面角度增大)，CD杆与CE杆夹角减小。,图6-9,表6-1,6-5 图 乘 法,1.引言 在梁与刚架的位移计算中，当荷载比较复杂时，积分运算十分繁琐，但在一定的条件下，可简化为“图乘法”进行运算。2.图乘法的三个前提条件(1)该杆段是一直杆，(2)在杆段内EI为一常数，(3)在该杆段中 或 图至少有一个是一直线图形。3公式推导 设 图为曲线，图为一直线图形。=xtan代入积分式,由合力矩定理可得，用yc表示 图形心C所对应的 图上的纵距，则 4乘积正负号的取法当Ayc在基线同一侧时，Ayc取正；二者在基线异侧时，A yc取负。整个结构进行图乘运算时，则式(6-7)就可写为(6-10),图6-10,例6-4 求图6-11(a)所示简支梁A截面的转角A。设EI为常量。解：1.假设虚拟状态见图611(b)。2.绘、图。3.由于 图的面积及形心较容易求出，故yc可取自 图，计算如下(顺时针转动),图6-11,5.常见图形的面积和形心位置 进行图乘运算时，经常见到的几种图形面积和形心位置如图6-12所示。其中标准抛物线是指该曲线顶点的切线必须与基线平行。,图6-12,6两个梯形图形之间的图乘 在运算时还常遇到两个梯形图形进行图乘，在此推导一个便于记忆的图乘公式，由图6-13(a)当a、b、c、d在基线同侧时乘积为正，反之为负。如图6-13(b)：,图6-13,图6-14,例6-5 求图6-14(a)所示悬臂梁B截面竖向线位移By。解：1.假设虚拟状态如图6-14(b)所示。2.绘、图。3.计算By。由于AC与CB段EI值不同，故图乘时应分段进行图乘，由第三章可知，AC段的MP图可看为一个梯形图形A3与一个标准二次抛物线图形A2叠加而成，具体计算如下,例6-6 求图6-15(a)所示组合结构A截面的竖向线位Ay。已知E=2.1104kN/m2，A=12cm2，I=3600cm4。解：1.假设虚拟状态如图6-15(c)所示。2.绘MP、图，计算DE杆FNP、值，见图6-15(b)-(d)。3.计算Ay。,图6-15,6-6 静定结构温度变化时的位移计算,静定结构在温度变化的影响下，结构各截面均不产生内力，只产生变形。下面将用单位荷载法计算温度变化影响下的位移。首先推导实际状态中任意微段ds的变形dut、dt、tds，然后代入式(6-5)即可求得任意K截面的位移即(6-11)设为材料的线膨胀系数，t1、t2表示结构外、内侧温度改变值(设t2t1)。并假定温度沿截面高h按直线变化。由图6-16(c)可知,(a),式中 为杆轴线处的温度变化值。若截面对称于形心轴即h1=h2，则。(b)式中t=t2-t1为杆件两侧之温差，此外由于温度变化并不引起截面的剪切变形，故tds=0。将(a)、(b)式代入式(6-11)得(c),图6-16,若每根杆件沿其全长温度的改变相同，且截面高度不变，则(c)式又可写为(6-12)式(6-12)即为静定结构由于温度变化时位移的计算公式。应注意在总和号“”中每根杆件计算时的正负号，由于tA 及 表示内力所做的变形虚功，故当“实际状态”由于温度变化引起的变形与“虚拟状态”虚拟力产生的内力方向一致时取正，反之取负，t及t在式(6-12)中就只代绝对值。受弯杆件在温度变化时，不能忽略轴向变形的影响，这是与承受荷载时的不同之处。桁架在温度改变时，其微段变形仅有dut=tds项，故式(6-9)可写为(6-13),当桁架因制造误差与设计长度不同时，若各杆长度的误差为，则位移计算公式为(6-14)此外，在工程中混凝土收缩与徐变的性质与温度变化类似，所产生的变形相当于降温25，如果混凝土为分段浇筑，则取值-15。例6-7 求图6-17(a)所示刚架D截面的水平线位移Dt。各杆截面为矩形，截面高度h=60cm，刚架内侧温度上升15，外侧温度无变化。线膨胀系数=0.00001。解：1.假设“虚拟状态”如图6-17(b)所示。2.绘、图，如图6-17(c)、(d)所示。3.计算Dt。t=15-0=+15，t=(0+15)/2=+7.5，t为正号说明杆轴线处温度是升高7.5，变形是沿杆轴伸长，,由“实际状态”的温度变化t=+15可以看出刚架各杆内侧纤维伸长，虚拟力的方向可从、图中看出。利用式(6-12)可得,图6-17,=(7.516-7.516-7.516),=(-45-540/0.6)=-0.00945m=-0.945cm(),6-7 静定结构支座移动时的位移计算,静定结构在支座发生移动时，各杆既不变形也无内力，只有刚体位移，位移计算的一般式简化为(6-15)式中表示在“虚拟状态”中，由虚拟力引起的各支座反力，C为“实际状态”中，各支座的移动量。为反力虚功，当虚反力与实际支座移动C方向一致时，其乘积为正，反之为负。总和符号前的负号，是该项移到等号右边时而得来的，计算时切勿遗漏。,例6-8 求图6-18(a)所示刚架在B支座发生移动时，铰C两侧截面的相对角位移C。解：1.假设“虚拟状态”并求虚反力，如图6-18(b)所示。2.求。=-(1/40.02)=-0.005rad(下面角度增大),图6-18,6-8 线弹性结构的互等定理,1功的互等定理 设两组外力分别作用在同一线弹性结构上如图6-19所示。首先计算“第一状态”的外力、内力在“第二状态”相应的位移和变形上所做的虚功W12及虚变形能W i 1 2，并根据虚功原理W12=W i 1 2可得(a)再计算“第二状态”的外力、内力在“第一状态”相应的位移和变形上所做的虚功W21和虚变形能W i 21，同理可得(b)比较(a)、(b)两式，可以看出 F112=F221(6-16),式(6-16)表示“第一状态”的外力F1在“第二状态”相应位移12上所做的虚功等于“第二状态”的外力F2在“第一状态”相应位移21上所做的虚功，称为功的互等定理。,图6-19 图6-20,2.位移互等定理 假定图6-19中F1=F2=1，若用12、21表示单位力引起的位移（图6-20），则式(6-16)可写为 12=21(6-17)式(6-17)表示第二个单位力所引起的在第一个单位力作用点沿其方向上的位移12，等于第一个单位力引起的在第二个单位力作用点沿其方向上的位移21，称为位移互等定理。是一个广义的位移，单位力也是一个广义的力。如图6-21(a)欲求简支梁跨中作用单位集中力时A截面的转角A，与图6-21(b)中欲求A截面作用一单位力偶时跨中截面C的竖向线位移Cy，利用图乘法进行计算，可得出A=Cy的结论。如图6-21(a)欲求简支梁跨中作用单位集中力时A截面的转角A，与图6-21(b)中欲求A截面作用一单位力偶时跨中截面C的竖向线位移Cy，利用图乘法进行计算，可得出A=Cy的结论。,(顺时针转),()二者数值及量纲均相同，但表示的位移是不同的，前者表示角位移，后者表示线位移，位移互等定理在力法中大量应用。3.反力互等定理 图6-22(a)中当支座1发生单位位移1=1时，引起的各支座反力分别为r01，r11，r21，r31。在图6-22(b)中当支座2发生单位位移2=1时，各支座反力为r02，r12，r22，r32。利用(6-16)式可得 r21=r21(6-18),图6-2,式(6-18)表示当支座2发生单位位移引起在支座1处的反力r12等于支座1发生单位位移引起在支座2处的反力r21。称为反力互等定理。反力互等定理只在超静定结构中适用，因为在静定结构中支座移动不产生反力。,图6-22,