1离散第9讲命题与逻辑联结词.ppt
,专业基础课程,授课人：张桂芸,PowerPoint Template_Sub,逻辑学是一门非常古老的学科，到现在已经有了两千多年的历史。古典逻辑学主要起源于古希腊学者亚里士多德的逻辑学说，他的工具论是古代一部最完备的逻辑学著作。古典逻辑学的基本特点是用自然语言描述对逻辑的研究，而一旦超出这个范围，引入数学的方法来研究逻辑，就产生了远远优于古典逻辑学的现代逻辑学。数理逻辑也称符号逻辑，是现代逻辑学研究的主体部分，是一门运用数学方法研究思维规律的学科。将推理变成数学演算，是数理逻辑的指导思想，并且已经成为这门学科的主要特征。数理逻辑是用形式化(符号化)方法来研究推理的科学。,孔子是孔仲尼孔子是人 人是动物,PowerPoint Template_Sub,侦探调查了罪案的四个证人。从证人的话侦探得出的结论是：如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话；厨师和园丁说的不可能都是真话；园丁和杂役不可能都在说谎如果杂役说真话，那么厨师在说谎侦探能判断这四个证人分别是在说谎还是在说真话吗？,推理的例子,-5-,第9讲 命题与逻辑联结词,PowerPoint Template_Sub,命题与逻辑联结词,逻辑等价式和逻辑蕴涵式,范式,证明技术（补充）,第四章 逻辑代数（上）：命题演算,命题与逻辑联结词,离散数学第9讲,Textbook Page 56 to 62,-7-,第9讲 命题与逻辑联结词,内容提要,命题的概念断言与命题、命题真值表示原子命题和复合命题、命题常元、命题变元逻辑联结词、命题公式 公式的归纳定义真值表自然语句的形式化,-8-,第9讲 命题与逻辑联结词,命题(proposition或statement),命题(proposition)：表示判断的陈述句。或是真，或是假，但二者不能得兼（排中律）真、假常被称为命题的真值,用大写的英文字母T或“1”表示命题真值是“真的”F或“0”表示命题的真值是“假的”,-9-,第9讲 命题与逻辑联结词,命题举例,例4.1雪是白的。2+2=5。2是偶数且3也是偶数。陈胜起义那天杭州下雨。大于2的偶数均可以分解为两个质数的和。火星上有生物。好痛快啊!您去看电影吗？X+Y0。我只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。我正在说谎。,-10-,第9讲 命题与逻辑联结词,原子命题和复合命题,命题常元和变元命题变元指一个未确定真值的任意命题，其值在0,1上变化 命题常元指一个有确定真值的固定命题原子命题：一个不能再分解成更简单语句的命题原子命题是最简单的陈述句 原子命题通常记为p、q、r等小写字母，f表示恒假命题，t表示恒真命题 相对于原子命题的是复合命题，它是由原子命题通过逻辑联结词进行适当的组合而成的 复合命题的真值不仅依赖于这两个组成它的命题，而且还依赖于这个联结词的意义,-11-,第9讲 命题与逻辑联结词,举例,p：明天下雪；q：明天下雨 利用联结词“不”、“或”、“且”等可分别构成新命题：“非p”：明天不下雪“p或q”：明天要么下雪，要么下雨“p并且q”：明天下雨雪,-12-,第9讲 命题与逻辑联结词,常用5个逻辑联结词,否定词(negation)：P，“P不成立”、“并非P”否定词是一元运算。否定的是整个命题，并不是否定命题中个别的词。,真值表,“A和B都大于0”的否定：“A和B都不大于0”“A和B不都大于0”“A和B至少有一个不大于0”“A和B至少有一个小于等于0”,“A大于0”的否定：“A不大于0”“A小于等于0”,-13-,第9讲 命题与逻辑联结词,常用5个逻辑联结词,合取词(conjunction)：pq，“p并且q”、“p和q都成立”合取词是二元运算只有当p和q均为真时，pq才是真的，否则，pq是假的是可交换的,p:今天是星期三；q:今天上离散数学课；p q：今天是星期三并且上离散数学课；,-14-,第9讲 命题与逻辑联结词,常用5个逻辑联结词,析取词(disjunction)：pq，“p成立或者q成立”、“p或q”析取词是二元运算只有当p和q的真值均为假时，pq才是假的，否则，pq总是真的,p:我上午上离散数学；q:我上午上C+语言；p q：我上午或者离散数学，或者上C+语言；,p:我上午一二节课上离散数学；q:我上午一二节课上C+语言；p q：我上午一二节课要么上离散数上学，要么上C+语言(不会都上)；,同或,异或,-15-,第9讲 命题与逻辑联结词,常用5个逻辑联结词,蕴涵词(implication)：pq，“如果p，那么q”、“p蕴涵q”、“p是q的充分条件”从真值表可以看出，只有当前提为真，而结论是假时，pq才是假的,逆命题：qp；否命题：pq逆否命题：qp命题和逆否命题有相同的真值,“如果今天是星期五，那么2+3=6”：前提为假，蕴涵命题为真；前提和结论之间可以没有关系，称为实质蕴涵,p:天晴；q:我爬山；只要天晴，我就爬山：p q 只有天晴，我才爬山：q p,“只要下雨，我们队就能赢”,-16-,第9讲 命题与逻辑联结词,常用5个逻辑联结词,-17-,第9讲 命题与逻辑联结词,常用5个逻辑联结词,双向蕴涵词(two-way implication)：p q，“p当且仅当q”、“如果p，那么q；反之亦然”只有当p和q的真值相同时，pq才取真的真值 pq与(pq)(qp)有完全相同的真值。,“只有你健康，你才会感到快乐；只有感觉快乐你才健康”,-18-,第9讲 命题与逻辑联结词,命题公式(proposition formula),命题公式：是一个表达式，它是由命题常元、命题变元、联结词符号和圆括号所组成的一个字符串 归纳定义：命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子如果A，B是命题公式，那么（A）、（AB）、（AB）、（AB）、（AB）也是命题公式只有有限步引用条款（1）、（2）所组成的符号串是命题公式参见教材P60例4.8中的正例与反例,-19-,第9讲 命题与逻辑联结词,简写约定,为了减少圆括号的使用，我们约定：省掉最外面的括号联结词的结合能力强弱为、（、）、结合能力平等的联结词从左到右运算(p)(q(r q)s)p q(r q s),-20-,第9讲 命题与逻辑联结词,语句形式化举例,我和他既是兄弟又是同学 pq，其中：p：我和他是兄弟，q：我和他是同学我和他至少有一个要去外地pq，其中：p：我去外地，q：他去外地狗急跳墙pq，其中：p：狗急了，q：狗跳墙除非他来，否则我不同他和解pq，(pq)(pq)，其中：p：他来，q：我同他和解,-21-,第9讲 命题与逻辑联结词,语句形式化举例,如果我和他不都是傻子，那么我们俩都不会去自讨没趣（pq）（rs），其中：p：我是傻子；q：他是傻子r：我会去自讨没趣；s：他会去自讨没趣若天气不下雨或不起雾，则航行比赛将举行而且救生表演将进行如果他没来见你，那么他或者是生病了，或者是不在本地,语句形式化步骤,要准确确定原子命题，并将其形式化要选用恰当的联结词要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）否定词的位置要放准确必要时可以进行改述，但要保证表达意思一致(逻辑等价)需要的括号不能省略要注意语句的形式化未必是唯一的,-23-,第9讲 命题与逻辑联结词,语句形式化举例,设p：a是偶数 q：a是奇数 r：a是质数 s：a=2，如何理解下述命题公式pq pr s p（r s）rs q（qs）r r（q s）r q s,-24-,第9讲 命题与逻辑联结词,指派(assignment),设公式A含有n个命题变元p1，p2，pn记为A(p1,pn)给定这n个变元任意一组确定的值（每一变元都有取真或假两种可能），公式A得到一个确定的值（1或0），我们称这一组确定的值为公式A的一组指派 常用表示指派，若在某一指派下A取真的真值，则称弄真A，记为(A)=1,反之称弄假A，记为(A)=0,-25-,第9讲 命题与逻辑联结词,复合命题公式的真值表,首先确定在公式中出现的命题变元的个数。写出公式A的所有指派，一个指派为一行，若有n个命题变元，则有2n组指派，也就是说真值表有2n+1行。确定公式中联结词的个数，写出单个联结词的真值，一般讲，一个联结词对应着一列。,例4.9(p(qr)的真值表,(pq)r)p的真值表,-26-,第9讲 命题与逻辑联结词,指派举例,使公式A:(pq)r)p为真的指派,(A)=1,1.(pq)r)=1，(p)=1，,2.(pq)r)=0，(p)=0(r)=0,(r)=1,1.1.(q)=1,1.1.1.(r)=0,1.1.2.(r)=1,1.2.(q)=0,1.2.1.(r)=0,2.1.(q)=0,2.2.(q)=1,(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),-27-,第9讲 命题与逻辑联结词,推理的例子,侦探调查了罪案的四个证人。从证人的话侦探得出的结论是：如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话；厨师和园丁说的不可能都是真话；园丁和杂役不可能都在说谎如果杂役说真话，那么厨师在说谎,p、q、r、s：分别表示男管家、厨师、园丁、杂役说的是真话,1、pq2、qr3、rs4、sq,哪些指派使这四个命题公式同时为真？,-28-,第9讲 命题与逻辑联结词,本讲小结,主要内容命题的概念：什么是命题、命题的真值五个主要的逻辑联结词命题公式的概念、命题公式的真值表语句的形式化作业 P62.3(9)(10)(11)(12)4(6)(7)(9)5(1),-29-,第9讲 命题与逻辑联结词,推理的例子,一个探险者被几个吃人者抓住了。有两种吃人者：总是说谎的和永不说谎的。除非探险者能判断出一位指定的吃人者是说谎者还是说真话者，否则就要被吃人者烤了吃。探险者只被允许问这位吃人者一个问题。“你是说真话者？”、“你是说谎者？”或它们的组合,p：你是说真话的人,构造一个公式S，让吃人者回答,pp,-30-,第9讲 命题与逻辑联结词,推理的例子,边远村庄的每个人要么总说真话，要么总说谎。对旅游者的问题，村民要么回答“是”，要么回答“不”。假定你在这一地区旅游，走到了一个岔路口，一条岔路口通向你想去的遗址，另一条岔路口通向丛林深处。此时恰有一村民在岔路口，问村民什么样的一个问题就能决定走哪条路呢？,p：你是说真话的人；q：应该向右走构造一个公式S，让村民回答,pq,
