线性时不变系统.ppt
第2章 线性时不变系统,线性时不变（简称LTI，Linear，Time-invariant）系统,为什么引入LTI？,如果不对系统的性质加以限制，那么分析一个系统将是十分困难的。,LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法提供了思路。例如，线性时不变系统可以用冲激响应来表达，非线性系统可以用Volterra级数来表达。,给系统加上线性和时不变性的限制，那么系统的分析将变得十分简便。,需要说明的问题？,真实的系统，严格地讲，绝大多数是非线性和时变的。（例如:铁心的存在使得电感非线性）,这样的近似是合理的，一般来说，实际系统的时变性是可以忽略的，例如，在很多弱电系统中，电阻随着温度的变化可以忽略；在小信号的情况下，某些器件的非线性也可以用局部线性的方法分析，例如，晶体管的小信号模型就是其中的例子。,线性和时不变性可以认为是对现实系统的近似或者理想化。,因此，线性时不变系统的分析方法是实用的。,2.1离散时间LTI系统的卷积分析,一个经常遇到的问题是，给定一个输入信号，怎样求出系统的输出信号。,分析这个问题之前，我们先从输入信号入手。,如果我们能够将输入信号分解成为基本的信号，或者说用基本的信号来表示任意的信号，再利用叠加性质，那么LTI系统的分析将会十分简单。,用单位冲激函数表示离散时间信号,从波形的角度来观察离散时间信号，它可以看成是由许多加权了的单位冲激信号组合而成的,对于任意的离散时间信号：,上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相加，而不是数值相加。许多移了位的冲激信号的加权和，构成了xn。,特别地，我们有,2.1.2 卷积和,任何一个序列都可以表示为移位的冲激序列的线性组合。以此为基础，我们来表达系统的输出信号。首先我们定义一个特殊的输出信号，即系统在单位冲激信号的激励下的系统输出信号,由时不变性可得：,利用LTI系统的齐次性可得:,利用LTI系统的叠加性和式：,上式称为卷积和或者简称卷积。,我们为卷积运算引入一个运算符号：*,卷积和是离散时间信号（或者说函数）之间的一种运算，两个以n为时间变量的信号的卷积运算的结果，是一个以n为时间变量的信号,从实用的观点来说，如果对于任何输入，我们都能够求出系统的输出，这就说明我们对该系统有了足够的了解。,单位冲激响应hn完全描述了线性时不变系统的变换规律。不同的系统输入，都在hn的作用下产生相应的响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应hn就等于给定了该系统。,求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。,从计算某一个特定点的角度来看,进一步说明,先反转后平移,当然，我们也可以先平移后反转，但是这种方式不容易操作，容易出错。,例题2.1 已知一个LTI系统的输入信号为，,（,），该LTI系统的单位冲激响应为，,，试求该LTI系统的输出,解：,那么输出信号可以写成,卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。,在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能非零。,卷积序列的长度为M+N-1。,N,M,M+N-1,例题2.2 试求：,其中，,举一个限长度序列卷积的例子。,0,0,0,对于连续时间信号而言，我们也可以利用冲激函数的抽样性质来推导系统输出的卷积表示。,2.2 连续时间LTI系统的卷积分析,本小节我们讨论连续时间信号通过LTI系统的情况。,2.2.1 用冲激函数表示连续时间信号,冲激函数的选择性质是这样的：,由于冲激函数是偶函数，,于是有，,我们就得到了一个结论，可以将连续时间函数,表示为：,2.2.2 卷积积分,我们定义一个特殊的输出信号，,单位冲激响应,由LTI系统的时不变性：,由LTI系统的线性，我们有,卷积积分或者简称卷积。,单位冲激响应同样完全刻画了LTI系统的变换规律。,卷积是连续时间信号（或者说函数）之间的一种运算，两个以为t时间变量的信号的卷积运算的结果，是一个以t为时间变量的信号。,不同的系统输入，都在单位冲激响应的作用下产生相应的响应;,因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应，就等于给定了该系统。,例题2.3 已知给定的LTI系统的输入信号为,，,该系统的单位冲激响应为,试求该系统的输出信号,解：,2.3 卷积的性质,交换律(Commutative Property),引入了卷积的概念以后，本节介绍卷积算子的基本性质。,常量,常量,类似于乘法运算，卷积运算也服从交换律，即,利用卷积的交换律，可能会大大简化卷积的计算过程。,在Matlab中，卷积计算函数conv只能计算有限长度序列的卷积，而且默认这些序列是从0开始的，所以，一旦遇到起始点不为零的序列进行卷积的情况，我们必须利用LTI系统的时不变性，将序列的起始点移位到0，卷积完成以后再移位回来。,利用时不变性，我们有：,再利用交换律，我们有：,下面我们将举例说明，两个起始点不为0的序列的卷积。,起始点为零的序列。,例题2.5 已知信号,求卷积,1,2,3,解2:,1,2,3,类似于乘法运算，卷积计算对加法还具有分配律,2.3.2 分配律(Distributive Property),利用卷积运算的分配律，我们可以简化两个LTI系统的并联。,2.3.3 结合律(Associative Property),通过证明，我们还可以看到，类似于乘法运算，卷积计算还服从结合律，即,2.4 LTI系统的性质,本节用卷积算子来重新讨论一下LTI系统的性质。我们将看到，可以用单位冲激响应的性质来描述LTI系统的性质。,LTI系统可以由其单位冲激响应或者来刻划或者说描述。,下面通过冲激响应与系统性质的关系，进一步说明这个观点。,2.4.1 LTI系统的记忆性质,系统就是对信号的变换.,从函数集到函数集的映射,无记忆系统：一个系统的每一时刻的输入仅仅取决于该时刻的输入。,数值（输入信号的值）,数值（输出信号的值）,无记忆系统,变换,从一个函数集到函数集的映射，退化为一个复数集到复数集（或者是实数集到实数集）的映射。,进一步地，无记忆的LTI系统还具备线性：,LTI系统无记忆的必要条件,任何信号与冲激信号的卷积的结果都是该信号本身，所以，上式也是LTI系统无记忆的充分条件。,LTI系统为无记忆系统的充分必要条件是：其单位冲激响应与单位冲激信号成正比。,一个反例来说明这个必要条件,2.4.2 LTI系统的可逆性,恒等系统的单位冲激响应就是单位冲激信号。卷积运算里面，单位冲激函数的地位，相当于1在乘法里面的地位。,利用时不变性,、,下面我们再来讨论LTI系统的可逆性,LTI系统为可逆系统的充要条件是：,例题2.7 求延时器,的逆系统,解：,例题2.8 试确定累加器,的逆系统。,解：,单位冲激响应,可得累加器的逆系统的解析表达为,求和运算的逆过程就是差分运算,2.4.3 LTI系统的因果性,离散时间LTI系统因果的充分必要条件为：,类似地，连续时间LTI系统为因果系统的充分必要条件为：,2.4.4 LTI系统的稳定性,我们知道，系统的稳定性条件，可以形式地描述为：,Xn有界,yn有界,离散时间LTI系统稳定的充分条件为：,可以证明，式(2-27)也是离散时间LTI系统稳定的必要条件,对于连续时间LTI系统有,连续时间LTI系统稳定的充分条件为：,可以证明，式(2-28)也是连续时间LTI系统稳定的必要条件,下面再看看2个例子，,该LTI系统稳定。,该LTI系统不稳定。,2.5 单位阶跃响应,当输入信号为单位阶跃信号时，LTI系统的响应称为该LTI系统的单位阶跃响应。,许多早期的文献是以单位阶跃响应为支点来讨论LTI系统的。物理上，阶跃响应比冲激响应容易得到，电路一合上，给出的就是一个阶跃信号，而冲激信号则涉及无穷大的数值和无限短的时间，实现起来很困难。,本小节讨论单位阶跃响应与单位冲激响应之间的关系。如果我们可以在物理上求得阶跃响应，然后，在数学上通过阶跃响应求得冲激响应，这将是一种非常理想的情况。,单位阶跃响应,LTI,LTI,依据LTI系统的单位阶跃响应的定义,可以通过LTI系统的单位阶跃响应求出该系统的单位冲激响应。,
