线性控制系统教案2-信号与系统.ppt
线性控制系统Linear Control Systems,张国山 天津大学电气与自动化工程学院,第2章：信号与系统Chapter 2:Signals and Sytems,2.1 Introduction信号的表示与分类(representation and classification)信号强度的测量(strength measure)信号的范数和性质(norms and properties)信号空间(signal space),2.2 信号与范数Signals and their Norms,信号可以定义为向量空间的一个点(point)。某性质P，定义 Sx:PS为满足性质P的信号x的集合。信号的能量(energy content)：限制能量的信号集：,信号空间(signal spaces),一些基本概念：测度为零的集合S(a subset S of measure zero)可测函数(measurable function)“几乎处处”(almost everywhere)勒贝格可测函数(Lebesgue measurable function)勒贝格积分(Lebesgue integrals)黎曼积分(Rieman integrals),L2与L空间,L2空间：两个不同的信号空间：与赋范空间(normed space)信号的平方可以理解成功率(power)，信号平方的积分可以理解成能量(energy)。,由内积诱导的范数(norms induced by inner products),内积由内积诱导的范数或Cauchy-Schwarz 不等式(inequality):,信号的正交(orthogonal),信号的正交：两个信号的内积等于零：与(f is orthogonal to g.)子空间的正交与直和：,频域信号Signals in the Frequency Domain,傅氏变换(Fourier transform):2范数：L2空间的内积时频域之间的关系：和,哈代空间Hardy Spaces,1877-1947哈代空间是指在开右半平面解析和有界的函数集，即H2 是哈代空间(H2 space):,时频域的同构(isomorphism),与 分别同构(isomorphic)于 与(Paley-Wiener Theorem)同构：元素一一对应 运算关系对应,L信号和有限能量信号L Signals and Bounded Power Signals,控制中广泛使用的信号：L2和L设 是m维向量，则 ess sup=essential supremum 除了测度为0的集合以外的最大值(上确界),2.3 系统与范数Systems and their Norms,信号通过一个装置实现从输入到输出传递，因此可以看成从输入空间到输出空间的一个映射。系统可以按不同方式分类：因果的(causal)与非因果的(non-causal)时变的(time-varying)与时不变的(time invariant)线性的(linear)与非线性的(nonlinear),线性系统的特征,线性系统信号传输的时频关系为(卷积 convolution integral)G(s)被称为系统的传递矩阵2.3.1 传递矩阵的性质(略),2.3.2 无穷范数和2范数-Norms and 2-Norms,L空间定义为L范数的定义为L范数与L2范数之关系满足矩阵范数不等式,传递矩阵的H空间 H space of transfer matrices,H空间定义为RL空间：没有极点在虚轴上的矩阵空间RH空间：没有极点在闭右半平面的矩阵空间,系统的2-范数2-norm of a system,系统(矩阵传递函数)的2-范数：矩阵2-范数是向量2-范数的更一般形式,2.4 H2范数的计算Computation of H2 Norm,设G(s)是稳定的，严格真的有理传递函数，且(A,B,C)为其一个实现，A稳定，则在零初始条件下，有则传递函数及其拉氏逆变换为,帕斯瓦定理Parsevals Theorem,帕斯瓦定理得2-范数,这里，是能控性格拉姆矩阵(controllability gramian).或P可以由Lyapunov方程解出则可计算2-范数同理可得,同理可得：Q为对称阵(observability gramian)且满足,2.5 H范数的计算Computation of H Norm,从H范数的定义可以计算H范数，但过于复杂。这里 表示矩阵G的最大奇异值(largest singular value)考虑矩阵 的值“小(small)”，指其最大奇异值小，反之，考虑矩阵 的值“大(large)”，指其最小奇异值大。,一个算法A algorithm,设 且 取 或记H称为哈密尔顿矩阵(Hamiltonian matrix).则H矩阵在虚轴上没有特征值.算法：取，计算H矩阵特征值，如果有虚轴上的特征值，则增大，否则，减小.,2.6 H范数与有关的代数关系H Norm and Associated Algebraic Relationship,定理2.1 下面条件是等价的：(a)(b)没有虚轴上的特征值.(c)(d),关于哈密尔顿矩阵On Hamiltonian matrix,涉及Riccati方程解及能稳性，内容较多，从略。,2.7 全通系统All Pass Systems,一些概念：全通(all pass)系统，带通(band pass)系统，低通(low pass)系统，高通(high pass)系统.G称为全通的，如果对于全通系统，可推得如果S1与S2同维数，则,全通系统状态空间描述,定理2.2 设 是能检测的，对称且满足Lyapunov方程则下面各式成立：(a)当且仅当A是稳定的；(b)暗含；(c)，是能控的，且 暗含。,2.8 伴随算子The Adjoint Operator,定义：性质：,2.9 逆系统Inverse Systems,系统的逆系统 如果两个系统表示为：则,求逆系统,转换关系变换得逆系统,求两个系统乘积,乘积表示系统串联使用关系 时得乘积系统,总 结 Summary,理解信号的概念，信号的强度，信号与系统的关系；熟悉L2与L空间，及H2与H，RH空间的含义；掌握H2范数与H范数的计算方法；会求系统的逆与乘积。,作业,教材P33：7，8，10,
