线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt
一、二阶矩阵的定义1由4个数a，b，c，d排成的正方形数表_ 称为 二阶矩阵,2元素全为0的二阶矩阵_称为零矩阵，简记为 _ 矩阵 称为二阶单位矩阵，记为.,二、几种特殊线性变换1旋转变换 直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋 转角的旋转变换的坐标变换公式是 对应的二阶矩阵为,2反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线 性变换叫做关于直线l的反射3伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数，这样的几何变换为伸缩变换,4投影变换 设l是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点P 作直线l的垂线，垂足为点P，则称点P为点P在直 线l上的投影，将平面上每一点P对应到它在直线l上的 投影P，这个变换称为关于直线l的投影变换,5切变变换 平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为_，平行于y轴的切变变换对应的二阶矩阵为_,三、变换、矩阵的相等1设，是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果 对平面内的任意一点P，都有，则称这 两个线性变换相等,（P）=（P）,2对于两个二阶矩阵A与B，如果它们的_都分 别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作AB.,对应元素,四、矩阵与向量的乘法 设A 规定二阶矩阵A与向量的乘 积为向量_，记为 或，即 这是矩阵 与向量 的乘法,Aa,五、线性变换的基本性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个 向量，是一个任意实数，则(1)A()；(2)A().性质2.二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线 变成_ 定理：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个 向量，1，2是任意两个实数，则 A(12)1A2A.,A,AA,直线（或一点）,六、二阶矩阵的乘法1设A 则 AB,2对直角坐标系xOy内的任意向量，有A(B).,3二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C.,4AkAl_，(Ak)lAkl.,(AB)a,(AB)C,Ak+l,1已知矩阵M 向量，试判 断(MN)与M(N)的关系，MN与NM的关系,解：(MN)M(N)所以(MN)M(N)又因为MN,NM，所以MNNM.,2求圆C：x2y24在矩阵A 对应变换作用下的 曲线方程，并判断曲线的类型,解：设P(x，y)是圆C：x2y24上的任一点，P1(x，y)是P(x，y)在矩阵A 对应变换作用下新曲线上的对应点，则将 代入x2y24，得 y24，方程 1表示的曲线是焦点为(2，0)，长轴长为8的椭圆,3设a，bR，若M 所定义的线性变换把直线l：2xy70变换成另一直线l：xy70，求a，b 的值,解：取直线l：2xy70上任一点(x0,72x0)，则它在对应的变换作用下有而点(ax0，x07b2bx0)在直线l：xy70上，即ax0 x07b2bx07.由x0的任意性得,4.运用旋转矩阵，求直线2xy10绕原点逆时针旋转 45后所得的直线方程,解：旋转矩阵直线2xy10上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0，y0)，,直线2xy10绕原点逆时针旋转45后所得的直线 方程是即,1二阶方阵的运算关键是记熟运算法则2注意运算时运算律的应用，它满足结合律即(MN)P M(NP)(MP)N.,已知M，求二阶矩阵X，使MXN.,求二阶矩阵可先设出二阶矩阵X，根据矩阵乘法法则，应用待定系数法求解.,解：设X，按题意有根据矩阵乘法法则有,解之得,1若，试求x的值,解：,伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合,在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积这里M,因为矩阵M表示反射变换，矩阵N表示旋转变换，所以变换后所得图形与原图形全等.,解：在矩阵N 的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形，在矩阵M 的作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形因此ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为1.,2直角坐标系xOy中，点(2，2)在矩阵M 对应 变换作用下得到点(2,4)，曲线C：x2y21在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程,解：根据题意，即2a4，解得a2，设曲线C变换前后对应点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则 代入曲线C的方程x2y21，整理得 y2x21，即曲线C的方程为x2 y21.,在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆,已知曲线C：xy1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线C的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程,首先要确定能够实施变换的矩阵，求出变换后的曲线C的方程，再研究曲线C的几何性.,解：(1)由题设条件，,变换：,即有解得,代入曲线C的方程为y2x22，所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45后，得到的曲线C的方程是y2x22.(2)由(1)知，只需求曲线y2x22的焦点及渐近线，由于a2b22，故c2，又焦点在y轴上，从而其焦点为(0,2)，(0，2)，渐近线方程为yx.,3已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A(1,2)变成了 点A(4,5)，点B(3，1)变成了点B(5,1)(1)求矩阵M；(2)若在矩阵M的变换作用下，点C(x,0)变成了点C(4，y)，求x，y.,解：(1)设该二阶矩阵为由题意得所以解得故M,(2)因为解得x2，y2.,矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，从而研究新图形的性质，难度不大，属中档题，如2008江苏高考21题.,(2008江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2y21在矩阵A 对应的变换下得到曲线F，求F的方程,解设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P(x0，y0)，则有即,又因为点P在椭圆上，故从而(x0)2(y0)21.所以，曲线F的方程为x2y21.,利用矩阵变换这一工具，建立变换前后任一点坐标间的关系，从而代入变换前的平面图形对应的方程，求出变换后的图形对应的方程，其实质是解析几何中相关动点(即代入法)求曲线方程的思想，本题若改为“将椭圆4x2y21绕原点逆时针旋转30后得到曲线F，试求F的方程”,
