线性代数课件-12特征值与特征向量.ppt
1,主要内容,第十二讲 特征值与特征向量,特征值与特征向量的概念、求法；,特征值与特征向量的性质.,基本要求,理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解其性质，并掌握其求法.,2,一、特征值与特征向量的概念,第二节 方阵的特征值与特征向量,定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式,成立，,那么这样的数 称为方阵 的特征值；,非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量.,注意：,关系式 是特征值与特征向量满足的条 件式，由此可知 必须为方阵.,零向量显然满足关系式，但零向量不 是特征向量.,特征向量是非零向量.,3,二、特征值与特征向量的求法,1.结论的引入,若 是 的特征值，是 的对应于 的特征向量，则有,方程 有非零解，且 是它的一个非零解,是代数方程 的根.,4,以 为未知数的一元 次方程,称为方阵 的特征方程.,以 为变元的 次多项式，即,称为方阵 的特征多项式.,5,2.结论,矩阵 的特征方程 的根就是 的特征值.在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重根按重数计算).,设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程,的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；,齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组.,6,例1 求矩阵 的特征值和特征向量.,解 析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.,的特征多项式,所以 的特征值为,7,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,8,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,9,解,的特征多项式,所以 的特征值为,10,当 时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,11,得基础解系,当 时，解齐次方程，,所以对应于 的全部特征向量为,12,解,的特征多项式,所以 的特征值为,13,当 时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,14,得基础解系,当 时，解齐次方程，,所以对应于 的全部特征向量为,(不同时为0).,15,说明,例2和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.,16,三、特征值与特征向量的性质,设 阶矩阵 的 个(在复数范围内)特征值为 则,(的迹),1.特征值的性质,若 是 的特征值，且，则 是矩阵的特征值.,17,若 是 的特征值，则 是矩阵 的特征值.,一般地，若 是 的特征值，且,则 是矩阵 的特征值.,说明,如果，则上述结论中的幂指数可取任意实数.,证明,若 是 的特征值，且，则 是 的特征值.,证明,特征值的性质,18,若 阶矩阵 的秩为，则 0 一定是的特征值.但是必须注意 0 不一定 是重特征值.,证明,设 为 阶矩阵，则 与 的特征值相同.,证明,特征值的性质,19,若 是 的对应于 的特征向量，则 也是 的对应于 的特征向量.,若 是 的对应于 的特征向量，则 也是 的对应于 的特征向量.,2.特征向量的性质,设 是方阵 的 个特征值，依次是与之对应的特征向量，,如果 互不相等，则 线性无关.,20,例4 设3阶矩阵 的特征值 为求,解 析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质(1)知，求得 的全部特征值，就可求得.此方法提供了求行列式的一个方法，即,方阵 的行列式=的全部特征值之积.,因为的特征值为，全不为0，,所以 可逆，且,则有,故 的特征值为,21,因此,22,例5 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和，,证,根据题设，有,析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.,用反证法，假设 是 的特征向量，,则存在数，使,证明 不是 的特征向量.,23,因为，所以 线性无关，故,即有,与题设矛盾.,因此 不是 的特征向量.,24,四、小结,设 是 阶矩阵，若有数 和非零列向量，使,则称 是 的特征值，为 的对应于 的特征向量.,矩阵 的特征值是特征方程 的根.,矩阵 的对应于特征值 的特征向量是齐次方程,的非零解.,特征值和特征向量的性质.,25,特征值的性质的证明,证,因为 是 的 个特征向量，则有,即,令，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有,26,这些项中不含,比较两端的 的系数，可得,即,证毕,特征值的性质的证明,27,特征值的性质的证明,因为 是 的特征值，,证,所以存在非零向量 使,又由 知，,可逆，且，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,28,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,用 左乘上式两端得,这表明 是矩阵 的特征向量.,类似地，可以证 是矩阵 的特征向量.,证毕,29,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,又因为，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,30,特征值的性质的证明,证,因为,所以 而,有非零解,因此存在非零向量，使,这表明 0 是 的特征值.,证毕,31,特征值的性质的证明,证,根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证 与 的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值相同.,证毕,32,特征向量的性质的证明,证,设存在 使,是方阵 的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),33,类推下去,有,(m),把以上 个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，,当 互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有,特征向量的性质的证明,34,即,又,因此必有,所以 向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,
