线性代数总复习北京石油化工学院专版.ppt
线性代数总复习,冯 媛,天下难事，必作于易，天下大事，必作于细,1,2,二、行列式的计算(2阶、3阶、4阶),三、余子式和代数余子式的计算,第一章 基本题型,一、考查n阶行列式的定义,1,3,一、考查n阶行列式的定义,1.在6阶行列式中，项所带的正负号是.,2.试判断下列乘积是否都是6阶行列式中的项：,所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。,排列的逆序数,1,4,二、行列式的计算,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再进行计算,2阶，3阶，4阶行列式的计算。,1,5,若d的第i行第j列元素的余子式和代数余子式分别记做Mij，Aij，求,已知 为4阶行列式.,三、余子式和代数余子式的计算,P21，例13,1,6,第二章 基本题型,二、矩阵的运算,三、求可逆矩阵的逆矩阵,一、基本概念和运算法则,四、简单证明（利用概念）,1,7,一、基本概念和运算法则,1.若矩阵满足,，且,，则,判断题：,3.设A为三阶矩阵，则,1,8,填空题：,1.设A，B都是n阶可逆矩阵，则矩阵方程,的解,则A的伴随阵,_.,2.设,_.,一、基本概念和运算法则,1,9,二、矩阵的运算,已知,分块对角矩阵的逆矩阵、行列式、乘积等运算(P50),1,10,（1）AT；（2）B-1(伴随矩阵法)；（3）,1.已知矩阵 求,三、求可逆矩阵的逆矩阵,具体矩阵和抽象矩阵两种类型都要求,1,11,四、简单证明(利用概念),1.设A，B都是n阶对称矩阵，证明AB也,是对称矩阵的充分必要条件是,1,12,一、矩阵的秩的求法和性质,第三章 基本题型,二、判定线性方程组解的情况,三、求逆矩阵的初等变换法,四、求解矩阵方程的初等变换法,1,13,判断题：1）在秩为r 的矩阵中，一定有等于零的r-1阶子式.2)设A是8阶可逆方阵，则矩阵A的秩小于8.,一、矩阵的秩的求法和性质,填空题：设A是5阶方阵，且满足A2+A=E，则矩阵A+E的秩R(A+E)=。,1,14,1.若n元非齐次线性方程组Amnx=b有解且R(A)=r，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方程组有无穷多解。,二、判定线性方程组解的情况,2.设有线性方程组,1,15,3.非齐次线性方程组的增广矩阵为,则当k取何值时方程组无解？当k取何值时方程组有无穷解？,k=0，k=2,二、判定线性方程组解的情况,1,16,注意：,求逆矩阵的另外一种方法伴随矩阵法,三、求逆矩阵的初等变换法,1,17,四、求解矩阵方程的初等变换法,1,18,设，且满足 求矩阵X.,四、求解矩阵方程的初等变换法,1,19,第四章 基本题型,二、向量组线性相关性的判定和证明,三、求向量组的最大无关组和秩,四、求齐次线性方程组的基础解系和通解,五、求非齐次线性方程组的通解和特解,一、向量组线性表示与向量组的等价,1,20,一、向量组线性表示与向量组的等价,1,21,一、向量组线性表示与向量组的等价,1,22,二、向量组线性相关性的判定和证明,1.讨论下面向量组的线性相关性。,2.已知向量组a1，a2，a3线性无关。证明：向量组b1，b2，b3也线性无关，其中,判定向量组线性相关性的充要条件,1,23,三、求向量组的最大无关组和秩,1.向量组的秩是.,方法：构造矩阵A=（a1,a2,a3,a4），而后求矩阵的秩A，即为向量组的秩。,1,24,三、求向量组的最大无关组和秩,最大无关组不唯一，故答案不唯一。,1,25,四、求齐次线性方程组的基础解系和通解,高斯消元法,1,26,五、求非齐次线性方程组的通解和特解,例 求以下非齐次线性方程组的通解：,高斯消元法,1,27,第五章 基本题型,一、特征值与特征向量的求法,四、化二次型为标准形的正交变换法,五、判别二次型正定、负定,三、求可逆矩阵(正交矩阵)使矩阵对角化,二、特征值的性质的证明及应用,1,28,一、特征值与特征向量的求法,已知,求A的特征值与特征向量,3.求出(A-iE)x=0的通解（去掉零解）就是特征值i对应的全部特征向量。,求矩阵的特征值和特征向量的步骤：,单位矩阵,注意表达方法（P118-119）,1,29,二、特征值的性质的证明及应用,1,30,二、特征值的性质的证明及应用,利用概念,1,31,三、求可逆矩阵(正交矩阵)使矩阵对角化,利用可逆矩阵将矩阵化为对角矩阵的具体步骤为：,2.,1.,以A的线性无关的特征向量构成可逆 矩阵P，则,求矩阵的方幂An,1,32,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的具体步骤为：,2.,1.,5.以它们为列向量构成正交矩阵P，则,三、求可逆矩阵(正交矩阵)使矩阵对角化,对称矩阵的性质,1,33,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,系数为特征值,四、化二次型为标准形的正交变换法,1,34,五、判别二次型正定、负定,正定（负定）二次型的常用判别方法：,(1)主子式判别法；,(2)特征值判别法.,先写二次型的矩阵,1,35,感谢同学们一个学期的支持，预祝同学们期末考出好成绩！冯媛,1,36,复习(Review)：,向量组 1,2,m 线性相关,齐次线性方程组x11+x22+xmm=0有非零解。,矩阵A=(1,2,m)的秩（或向量组1,2,m的秩）小于向量的个数m。,存在不全为零的一组数1,2,m,使得11+22+mm=0。,等价定义（P87）,线性方程组的向量形式,其中至少有一个向量可由其余向量线性表示,
