线性二次型指标的最优控制.ppt
1,2023年9月14日,第8章 线性二次型指标的最优控制,8.3 线性定常系统的状态 调节器问题,8.4 输出调节器问题,李芳燕 罗婧 李一飞 李东芳 安海潮,8.3 线性定常系统的状态调节器问题,Beihang University,问题引入,对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时，其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。,Beihang University,问题引入,由例8-1的结果，从结果图中受到启发，当终端时间tf趋于无穷时，K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值。,tf=10时黎卡提矩阵微分方程的解K(t),Beihang University,问题引入,K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值，从而得到所谓无限时间(tf=)状态调节器或稳态状态调节器。,tf=1000时黎卡提矩阵微分方程的解K(t),Beihang University,问题引入,对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终端指标，取权阵P=0，其原因有：一是希望tf，x(tf)=0,即要求稳态误差为零，因而在性能指标中不必加入体现终端指标的终值项；二是工程上仅参考系统在有限时间内的响应，因而tf时的终端指标将失去工程意义。,Beihang University,问题引入,性能指标为：,式中，Q，R均为常数对称正定阵，u无约束。由于P=0，所以K(tf)=K()=P=0。从t=开始逆时间积分黎卡提矩阵微分方程，当K(t)的解存在且唯一时，经过一段时间，K(t)将达到稳态值，因此可认为在t=0开始很长一段时间内，K(t)是黎卡提微分方程的稳态解，即有 在稳态时，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提代数方程，解出的K阵为常值矩阵。,和二次型性能指标为,Beihang University,定理内容及说明,可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为,式中，u不受限制，Q和R为常数对称正定阵，则使J为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为,式中，K为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程,在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即,所对应的性能指标的最小值为,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为了保证积分值有限，x(t)和u(t)要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐进稳定的。,如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系统极点，使系统渐进稳定。,可控的条件可减弱为可稳，即只要不稳定的极点所对应的模态可控，通过反馈将它变为稳定即可。,对有限时间调节器来讲，因为积分上限tf为有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,2.闭环系统是渐进稳定的，即系统矩阵 的特征值均具有负实部，而不论原系统A的特征值如何。,证明：设李雅普诺夫函数为 因K正定，故V(x)是正定的。与黎卡提代数方程 比较得由于Q，R均为正定矩阵，故 负定，结论得证。,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间,故当tf时，性能指标的最优值 将趋于无穷大，即 这与性能指标的最优值 为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。,闭环最优调节系统是渐进稳定的。证明：利用反证法来证明。假设系统上述不是渐进稳定的，则 必具有非负实部的特征根。于是，当tf时，状态变量X(t)不会趋于零，即。,Beihang University,定理内容及说明,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,3.Q为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标J取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么Q为半正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。,Q为nn半正定常数矩阵，且 为能观测矩阵。,Beihang University,定理内容及说明,综上，状态调节器的设计步骤如下：1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q和R；2.由A,B,Q,R按 求解黎卡提矩阵代数方程，求得矩阵K；3.由式 求最优控制u(t);4.解式 求相应的最优轨迹x(t);5.按式 计算性能指标最优值。,Beihang University,举例说明,例1 设系统的状态方程为,性能指标为,试确定最优控制，使J最小。设ab2 0，保证Q为正定。,Beihang University,举例说明,例1,解 各矩阵分别为,验证系统稳定性：,系统状态完全能控，且Q及R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一。,Beihang University,举例说明,例1,设。,由式 得最优控制为,矩阵K满足黎卡提代数方程,Beihang University,举例说明,例1,即,展开整理，可得3个代数方程为,Beihang University,举例说明,例1,解之,在保证Q和K为正定矩阵条件下，则有,最优控制为,Beihang University,举例说明,例1,最优状态调节器闭环系统结构图如图所示,Beihang University,举例说明,例1,闭环系统的传递函数为,闭环极点为,故闭环系统是稳定的。a2时系统响应为衰减振荡；a2时系统不发生振荡，呈过程阻尼响应。,Beihang University,举例说明,例2 调节火箭的滚动姿态时，用液态副翼使滚动姿态角尽可能小，同时使副翼偏转角及偏转率 保持在物理限度内。系统状态方程为,其中，是滚动时间常数；是滚动角速度；是副翼执行机构的指令信号；C是副翼效率。使性能指标 取极小，其中 均为它们的最大要求值。求最优反馈控制u(t)。,满足黎卡提方程，且K0。由于对称性，独立的6个代数方程组经过消元并选取，有解,Beihang University,举例说明,例2,解 由题知,其中,Beihang University,举例说明,例2,其中，满足四次方程,Beihang University,举例说明,例2,若设,则四次方程为,其两正实根是 及，且后者破坏K0，故取。从而反馈控制,Beihang University,举例说明,例2,Beihang University,举例说明,例2,28,8.3 线性定常系统的状态调节器问题,参考书目：,巨永锋，李登峰，最优控制，重庆大学出版社，2005.李国勇等，最优控制理论与应用，国防工业出版社，2008.李国勇等，最优控制理论及参数优化，国防工业出 版社，2006.王朝珠，秦化淑，最优控制理论，科学出版社，2003.程兆林，马树萍，线性系统理论，科学出版社，2006.史忠科，线性系统理论，科学出版社，2008.,29,8.3 线性定常系统的状态调节器问题,谢谢！,30,8.3 线性定常系统的状态调节器问题,王朝珠，秦化淑，最优控制理论，科学出版社，2003.,31,8.4 输出调节器问题,Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下 以及性能指标,要求确其中，P 和Q(t)是半正定矩阵，R(t)是正定矩阵，tf是有限的终端时刻，控制函数u(t)不受约束。确定最优调节作用u*(t),使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量y(t)保持在零值附近。,y(t)=C(t)x(t),Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,将输出方程代入性能指标得到,状态调节器的性能指标函数,Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,在状态调节器的性能指标中，要求P和Q(t)为半正定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中 和 也是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器问题来阐述。即：对于系统和性能指标,Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,最优控制存在且唯一,K(t)为下列Riccati矩阵微分方程的解,满足边界条件,最优轨线是下列线性微分方程的解,Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,结论：最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量y(t)的线性函数，而仍然是状态向量x(t)的线性函数，表明构成最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统可观测，即有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的最优解，具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，仅在Riccati方程及其边界条件的形式上有微小的差别。,Beihang University,线性时不变系统输出调节器问题,前面所讨论的是终端时刻tf为有限值的情况。如果系统是线性时不变系统，即当tf=时其输出调节器问题可以参照tf=的状态调节器问题，得到相应的控制规律。但是，同时要求系统(A,B,C)是完全可控和完全可观测的。即,完全可观,完全可控,其性能指标为 u(t)不受约束，Q和R是正定常数矩阵，则最优控制存在且唯一，并且由下式确定 K满足Ricatti矩阵代数方程,Beihang University,线性时不变系统输出调节器问题,K()=P=0,最优状态满足,特征值具有负的实部,Beihang University,举例,例设系统状态空间表达式为：,性能指标为,试构造输出调节器，使性能指标最小。,Beihang University,举例,解：,因为,系统完全能控和能观。故最优控制 存在。,Beihang University,令，由Riccati方程得P是正定的。,Beihang University,最优控制为闭环系统的状态方程为 得到闭环系统的特征值闭环系统线性稳定。,Beihang University,原系统的脉冲响应曲线,Beihang University,输出反馈后系统的脉冲响应曲线,Thank You!,
