空间距离及其计算、折叠问题.ppt

新课标高中一轮总复习,第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量,第66讲,空间距离及其计算、折叠问题,1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法.2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离.3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则.,1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为(),C,A.a B.aC.a D.a,如图，点A到直线A1C的距离，即为RtA1AC斜边上的高AE.由AB=BC=a,得AC=a.又AA1=2a,所以A1C=a,所以AE=a.,2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为(),B,A.B.C.D.,取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM平面A1BC.作AHA1M，垂足为H,则AH平面A1BC.在RtA1AM中，AA1=1，AM=,A1M=2,故AH=.,3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是B1C1、BB1的中点，则：(1)直线EF与CD间的距离为;(2)直线EF与平面D1AC1的距离是;(3)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是.,a,a,a,(1)取EF的中点G，连接CG，则CG为异面直线EF与CD的公垂线段，且CG=a.(2)易知EF平面D1AC1.过E作EHBC1于H.因为D1C1平面BB1C1C，所以D1C1EH,故EH平面D1AC1，从而EF与平面D1AC1的距离为EH=a.(3)因为平面AB1D1平面C1BD,连接A1C,设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,则O1O2为所求距离,且O1O2=A1C=a.,4.如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是(),D,A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面ABC,由已知BAAD,CDBD，又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.从而CDAB,又BAAD,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.,一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的 的长度.2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，的长度.3.点到平面的距离：自点向平面引垂线，的长度.4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,.的长度.,线段,点到垂足之间线段,点到垂足间线段,到垂足间线段,点,5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的 的长度.,线段,这点到垂足间线段,公垂线段,二、求距离的一般方法与步骤1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用 求解.2.平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求 的距离.3.求距离的基本步骤是：()找出或作出有关距离的图形；()证明它符合定义；()在平面图形内计算.,平面几何方法,点面间,三、折叠问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持.,不变,例1,题型一 点面距离和线面距离及求法,如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB=BC=AD=a,PA平面ABCD,且PA=a，点F在AD上，且CFPC.(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离.,（1）通过论证平面 PAC平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长.（2）由于AD平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD平面PBC，找到过点A的垂线.,(方法一)(1)连接AC.因为PA平面ABCD，所以PACF.又CFPC，PAPC=P，所以CF平面PAC，所以平面PFC平面PAC.过点A作AHPC于H，所以PH平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离.由已知AB=BC=a，所以AC=a,PC=a.在RtPAC中，得AH=a.,(2)因为BCAD，BC 平面PBC，所以AD平面PBC.过A作AEPB于E，又AEBC,PBBC=B,所以AE平面PBC,所以AE的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a,所以AE=a.,（方法二）(1)建立空间直角坐标系，如图.则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,y,0).则=(-a,y-a,0),=(-a,-a,a).因为PCCF,所以，所以=(-a)(-a)+(-a)(y-a)+0a=a2-a(y-a)=0.,所以y=2a，即F(0,2a,0).设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),n=-ax+ay=0 x=y n=-ax-ay+az=0 z=2x.取x=1，得n=(1,1,2).设点A到平面PCF的距离为d,=(a,a,0),则d=a.,则,，解得,(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0)，n1=-ax0+az0=0 x0=z0 n1=ay0=0 y0=0.取x0=1，得n1=(1,0,1).设点A到平面PBC的距离为h，因为AD平面PBC，所以h为AD到平面PBC的距离，h=a.,由,，得,线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键.,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AB=1，ABC=90.点D、E分别在BB1、A1D上，且B1EA1D，四棱锥CABDA1与直三棱柱的体积之比为35.求异面直线DE与B1C1的距离.,因为B1C1A1B1，且B1C1BB1，A1B1BB1=B1，故B1C1平面A1ABB1，从而B1C1B1E.又B1EDE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线段.设BD的长为x，则四棱锥CABDA1的体积为V1=S四边形ABDA1BC=(DB+A1A)ABBC=(x+2)BC.,而直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V2=SABCAA1=ABBCAA1=BC.由已知条件V1V2=35,故(x+2)=,解得x=.从而B1D=B1B-DB=.在RtA1B1D中，A1D=.又因为SA1B1D=A1DB1E=A1B1B1D,故B1E=.,例2,题型二 折叠问题,在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC=AB=a(如图），将ADC沿AC折起，使D到D，记平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为（如图）.,（1）若二面角-AC-为直二面角，求二面角-BC-的大小；（2）若二面角-AC-为60，求三棱锥D-ABC的体积.,(1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形，所以AC=a,CAB=45.过点C作CHAB,由AB=2a，可推得AC=BC=a，所以ACBC.取AC的中点E，连接DE，则DEAC.又二面角-AC-为直二面角,所以DE.,又因为BC平面，所以BCDE，所以BC.而DC，所以BCDC，所以DCA为二面角-BC-的平面角.由于DCA=45，所以二面角-BC-的大小为45.,(2)取AC的中点E，连接DE，再过点D作DO，垂足为O，连接OE.因为ACDE，所以ACOE，所以DEO是二面角-AC-的平面角，所以DEO=60.在RtDOE中，DE=AC=a，DO=sin60DE=a，所VD-ABC=SABCDO=ACBCDO,=a a a=a3.,分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.,如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图).(1)证明：ACBO1；(2)求二面角OACO1的正弦值.,（方法一）（1）证明：由题设知，OAOO1，OBOO1,所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.从而AO平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1内的射影.因为tanOO1B=,tanO1OC=,所以OO1B=60，O1OC=30,从而OCBO1，由线面垂直得ACBO1.,(2)由(1)知,ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC.设OCO1B=E,过点E作EFAC于F,连接O1F,则EF是O1F在平面AOC内的射影.由线面垂直得ACO1F，所以O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1=，O1C=1，所以O1A=2,AC=，从而O1F=.又O1E=OO1sin30=,所以sinO1FE=.,(方法二)(1)证明:由题设知OAOO1,OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图.则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0)，C(0,1,)，O1(0,0,).从而=(-3,1,),=(0,-3,),故=-3+=0，所以ACBO1.,(2)因为=-3+=0,所以BO1OC.由(1)知ACBO1，ACOC=C，所以BO1平面OAC，所以 是平面OAC的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量，n=0-3x+y+z=0 n=0 y=0，,由,，得,取z=,得n=(1,0,).设二面角OACO1的大小为，由n、的方向可知=n,，所以cos=cosn，=，则sin=.即二面角OACO1的正弦值为.,1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.,3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活.一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法.4.将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力.,5.平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段.,(2009重庆卷)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS=2AD=2;E为BS的中点,CE=2,AS=3.求：(1)点A到平面BCS的距离；(2)二面角E-CD-A的大小.,(方法一)(1)因为ADBC,且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从而点A到平面BCS的距离等于点D到平面BSC的距离.因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，从而ADDS.由ADBC，得BCDS.又CSDS，故DS平面BSC，从而DS为点D到平面BCS的距离.因此，在RtADS中，DS=3-1=2.,(2)如图所示,过点E作EGCD,交CD于点G,又过点G作GHCD,交AB于H,故EGH为二面角E-CD-A的平面角,记为.过点E作EFBC,交CS于点F，连接GF.故=-EGF.由于E为BS的中点，F为CS的中点故CF=CS=1.在RtCFE中,EF=2-1=1.,因为EF平面CSD，又EGCD，故可证得FGCD，从而又可得CGFCSD，因此=.而在RtCSD中,CD=,故FG=DS=.在RtEFG中，tanEGF=，可得EGF=，故所求二面角的大小为=.,(方法二)(1)如图所示，以S(O)为坐标原点，射线SD、SC分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系.设A(xA，yA,zA).因为平面COD平面ABCD，ADCD，故AD平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA=0,zA=|=1.又xA2+12=|2=3，xA0，解得xA=.,从而A(，0，1).因ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA=.(2)易知C(0，2，0)，D（，0，0）.因为E为BS的中点，BCS为直角三角形，CE=，知|=2|=2.设B（0，2，zB）,zB0，则zB=2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.所以=(-,2,-1),=(0,0,-1),=(0,1,-1),=(-，-1，-1）.设面平ACD的一个法向量为n1=（x1,y1,z1),n1=0-x1+2y1-z=0 n1=0 0 x1+0y1-z1=0,x1=y1 z1=0同理，平面ECD的一个法向量为n2=(,1,1).则cosn1,n2=.故所求的二面角的大小为.,则,即,亦即,令y1=1,则n1=(,1,0).,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,